2020年高中数学新教材同步必修第二册 第十章 10.2　事件的相互独立性

10.2　事件的相互独立性
学习目标　1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.

知识点一　相互独立事件的概念
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.
知识点二　相互独立事件的性质
如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立.

1.不可能事件与任何一个事件相互独立.(　√　)
2.必然事件与任何一个事件相互独立.(　√　)
3.“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件.(　√　)
4.如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的.(　√　)

一、事件独立性的判断
例1　判断下列事件是否为相互独立事件.
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.
解　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件.
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件.

反思感悟　两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件.
跟踪训练1　分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________.(填序号)
①A，B；②A，C；③B，C.
答案　①②③
解析　根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可.
利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.
可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).
所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立.
二、相互独立事件概率的计算
例2　根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
解　记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，
则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，
则D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()·P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.
延伸探究　本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？
解　记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，
方法一　则事件E包括B，A，AB，且它们彼此为互斥事件.
所以P(E)＝P(B＋A ＋AB)＝P(B)＋P(A)＋P(AB)＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.
方法二　事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件.
所以P(E)＝1－P( )＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.
反思感悟　(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件之间是相互独立的.
②求出每个事件的概率，再求积.
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的.
跟踪训练2　甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：
(1)两人都能破译的概率；
(2)恰有一人能破译的概率；
(3)至多有一人能破译的概率.
解　记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”.
(1)两个人都破译出密码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.
(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，
∴其概率为1－P(AB)＝1－＝.
三、相互独立事件概率的综合应用
例3　计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.

解　(1)记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则
P(A)＝×＝，
P(B)＝×＝，
P(C)＝×＝.
因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大.
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，
由题易知三人是否获得合格证书相互独立，则
P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝.
反思感悟　求较复杂事件的概率的一般步骤如下
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式.
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
跟踪训练3　三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？

解　记T1正常工作为事件A，T2正常工作为事件B，T3正常工作为事件C，
则P(A)＝，P(B)＝P(C)＝，
电路不发生故障，即T1正常工作且T2，T3至少有一个正常工作，T2，T3至少有一个正常工作的概率P1＝1－×＝，
所以整个电路不发生故障的概率为P＝P(A)×P1＝×＝.

方程思想在相互独立事件概率中的应用
典例　甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率.
解　记事件A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品.
由题设知
解方程组并舍去不合题意的根，得
P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，.
[素养提升]　对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定义、公式等构造方程(组)，通过解方程(组)解决问题，提升数学抽象素养.

1.坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸到白球，A2表示第2次摸到白球，则A1与A2(　　)
A.是互斥事件 B.是相互独立事件
C.是对立事件 D.不是相互独立事件
答案　D
解析　互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错.而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件.
2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为(　　)
A.1 B.0.629
C.0 D.0.74或0.85
答案　B
解析　设“甲保险丝熔断”为事件A，“乙保险丝熔断”为事件B，
则P(A)＝0.85，P(B)＝0.74，
由事件A与B相互独立，
得“两根保险丝都熔断”为事件AB，
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.85×0.74＝0.629.
3.从应届高中生中选飞行员，已知这批学生体形合格的概率为，视力合格的概率为，其他综合标准合格的概率为，从中任选一学生，则三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意知三项标准互不影响，
∴P＝××＝.
4.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是(　　)
A.0.26 B.0.08 C.0.18 D.0.72
答案　A
解析　甲种子发芽而乙种子不发芽的概率为0.8×0.1＝0.08.
乙种子发芽而甲种子不发芽的概率为0.9×0.2＝0.18，
故恰有一粒种子能发芽的概率为0.08＋0.18＝0.26.
5.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________.
答案　
解析　加工出来的零件的正品率是××＝，因此加工出来的零件的次品率为1－＝.

1.知识清单：
(1)相互独立事件的判断.
(2)相互独立事件概率的计算.
2.方法归纳：构造方程(组)、通过解方程(组)求概率，正难则反思想求概率.
3.常见误区：相互独立事件与互斥事件易混淆.


1.掷一颗骰子一次，设事件A：“掷出偶数点”，事件B：“掷出3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　)
A.互斥但不相互独立
B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立
D.既不相互独立也不互斥
答案　B
解析　事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此事件A与B相互独立.当“掷出6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件.
2.某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是(　　)
A.0.64 B.0.56 C.0.81 D.0.99
答案　C
解析　Ai表示“第i次击中目标”，i＝1,2，
则P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81.
3.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为(　　)
A.0.12 B.0.42 C.0.46 D.0.88
答案　D
解析　设“甲被录取”记为事件A，“乙被录取”记为事件B，则两人至少有一人被录取的概率P＝1－P( )＝1－(1－P(A))(1－P(B))＝1－0.4×0.3＝0.88.
4.从甲袋中摸出1个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则可能是(　　)
A.2个球不都是红球的概率
B.2个球都是红球的概率
C.至少有1个红球的概率
D.2个球中恰有1个红球的概率
答案　C
解析　记4个选项中的事件分别为A，B，C，D，则
P(A)＝1－×＝，
P(B)＝×＝，
P(C)＝1－×＝，
P(D)＝×＋×＝.
5.甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获冠军.若每局两队获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　根据已知条件，可知甲队要获得冠军可分为甲队直接胜一局，或乙队先胜一局，甲队再胜一局，这两种情况互斥.甲队直接胜一局，其概率为P1＝；乙队先胜一局，甲队再胜一局，其概率为P2＝×＝.由互斥事件的概率加法公式可得甲队获胜的概率为P＝＋×＝.
6.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________.
答案　
解析　设此队员每次罚球的命中率为p，
则1－p2＝，所以p＝.
7.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________.
答案　
解析　从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因为事件M，N相互独立，所以能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝.
8.甲、乙、丙三位同学上课后独立完成自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，则三人中至少有一人及格的概率为________.
答案　
解析　设甲及格为事件A，乙及格为事件B，丙及格为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，∴P()＝，P()＝，P()＝，
则P( )＝P()P()P()＝××＝，
∴所求概率P＝1－P( )＝.
9.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.
解　记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；
记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品的一种”.
(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)易知D＝(A)∪(B)，则P(D)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
(3)易知＝ ，则P()＝P( )＝P()P()＝0.5×0.4＝0.2.故P(E)＝1－P()＝0.8.
10.为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表：

200元
300元
400元
500元
老年
0.4
0.3
0.2
0.1
中年
0.3
0.4
0.2
0.1
青年
0.3
0.3
0.2
0.2

某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点.
(1)求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率；
(2)求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率.
解　(1)设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1，
则P1＝(0.7)2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448.
(2)消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002，
消费总额为1 400元的概率是(0.1)2×0.2＋2×(0.2)2×0.1＝0.010，
消费总额为1 300元的概率是(0.1)2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋0.23＋2×0.22×0.1＝0.033，
所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045.

11.同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中，满足xy＝4的概率为(　　)

A. B.
C. D.
答案　C
解析　满足xy＝4的所有可能如下：
x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
∴所求事件的概率为
P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)
＝×＋×＋×＝.
12.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意知，P()·P()＝，
P()·P(B)＝P(A)·P().
设P(A)＝x，P(B)＝y，
则即
∴x2－2x＋1＝，
∴x－1＝－，或x－1＝(舍去)，
∴x＝.
13.有一道数学难题，学生A解出的概率为，学生B解出的概率为，学生C解出的概率为.若A，B，C三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为________.
答案　
解析　一道数学难题恰有一人解出，包括：①A解出，B，C解不出，概率为××＝；②B解出，A，C解不出，概率为××＝；③C解出，A，B解不出，概率为××＝.所以恰有1人解出的概率为＋＋＝.
14.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.
答案　0.128
解析　由已知条件知，第2个问题答错，第3,4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A，则P(A)＝0.8，故P＝P[(A＋)AA]＝[1－P(A)]·P(A)·P(A)＝0.128.

15.如图，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为(　　)

A. B.
C. D.
答案　C
解析　灯泡不亮包括四个开关都断开，或下边的2个都断开且上边的2个中有一个断开，这两种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，
∴灯泡不亮的概率为×××＋×××＋×××＝.
∵灯泡亮与不亮是对立事件，∴灯亮的概率是1－＝.
16.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4的概率.
解　甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为
1－－＝，1－－＝.
(1)租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况.
都付0元的概率为P1＝×＝；
都付2元的概率为P2＝×＝；
都付4元的概率为P3＝×＝.
所以，甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝.
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元.
所以可得P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，
即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为.