2020年高中数学新教材同步必修第二册 第十章 微专题4　古典概型的应用

微专题4　古典概型的应用

古典概型求概率问题在考试中经常出现，在解决这类问题时，首先要审题，正确理解样本点与事件的关系，求某个事件包含的样本点的常用方法是列举法(画树状图、列表).注意做到不重不漏，对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，再求所求概率.

一、“放回”与“不放回”问题

例1　从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次.

(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；

(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率.

解　(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，由6个样本点组成，而且这些样本点的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.事件A由4个样本点组成，所以P(A)＝＝.

(2)有放回地连续取出两次，样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，共9个样本点.由于每一件产品被取到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.事件B由4个样本点组成，因而P(B)＝.

反思感悟　抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响.另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取.

二、概率模型的多角度构建

例2　口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率.

解　方法一　需要找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数.

解题过程如下：用A表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来，如图所示：

由上图可知，试验的所有可能结果数是24，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以，这24种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有12种，

故第二个人摸到白球的概率P(A)＝＝.

方法二　把2个白球编上序号1,2，两个黑球也编上序号1,2,4个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸出的球的所有可能的结果如图所示：

由图可知，试验的所有结果数是12，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这12种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有6种，

故第二个人摸到白球的概率P(A)＝＝.

反思感悟　当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法.树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.另外，如果试验结果具有对称性，可简化结果以便于模型的建立与解答.

三、“正难则反”思想，利用对立事件求概率

例3　有3个完全相同的小球a，b，c，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率.

解　a，b，c三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件为：

两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空，所包含事件：甲盒子a，b，c，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a，b，c，共2个，故P＝1－＝.

反思感悟　在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得或采用正难则反的原则，转化为其对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得.

四、古典概型的综合应用

例4　甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.

(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；

(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.

解　(1)方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝{(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12.

(2)不公平.甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝，因为<，所以此游戏不公平.

反思感悟　游戏公平性的标准及判断方法

(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平.

(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较.