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    2020年高中数学新教材同步必修第二册 期中检测试卷1

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    2020年高中数学新教材同步必修第二册 期中检测试卷1

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    期中检测试卷(时间:120分钟 满分:150)一、单项选择题(本大题共8小题每小题540)1.已知向量a(1m)向量b(1)abm等于(  )A.  B.  C.  D.答案 B解析 由题意得1×m×(1)0m=-.2.已知i为虚数单位z则复数z的虚部为(  )A.2i  B.2i  C.2  D.2答案 D解析 z22i,故虚部为-2.3.已知边长为2的正方形ABCDEAD的中点连接BE·等于(  )A.2  B.1  C.1  D.2答案 B解析 A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立直角坐标系,则A(0,0)B(2,0) E(0,1)(2,1)(0,-1)·=-1.4.(2019·淮北、宿州模拟)已知i为虚数单位在复平面内复数的共轭复数对应的点位于(  )A.第一象限   B.第二象限C.第三象限   D.第四象限答案 D解析 由题意可得i则其共轭复数为i,对应的点位于第四象限.5.在长方形ABCDECD的中点FAE的中点ab等于(  )A.ab   B.abC.ab   D.ab答案 A解析 如图所示,由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得ba.6.ABCA120°·=-2||的最小值是(  )A.2  B.4  C.2  D.12答案 C解析 ·||||cos A=-||||=-2||||4||||||2||2||2||242||||412当且仅当||||时取等号,所以||2.7.已知向量a(cos  θ2sin θ)其中θR|a|的最小值为(  )A.1  B.2  C.  D.3答案 A解析 因为a(cos θ2sin θ)所以|a|因为θR,所以-1cos θ1|a|的最小值为1.8.已知点OABC内一点满足2m则实数m(  )A.2  B.2  C.4  D.4答案 D解析 2m,则ABD三点共线,如图所示,反向共线,解得m=-4.二、多项选择题(本大题共4小题每小题520.全部选对的得5部分选对的得3有选错的得0)9.ABCsin2Asin2B<sin2CABC的形状不可能是(  )A.锐角三角形   B.直角三角形C.钝角三角形   D.等边三角形答案 ABD解析 由正弦定理知,sin Asin Bsin C.sin2Asin2B<sin2C可化为a2b2<c2a2b2c2<0.cos C<0.C为钝角,ABC为钝角三角形.10.z是复数则下列命题中的真命题是(  )A.z20z是实数B.z2<0z是虚数C.z是虚数z20D.z是纯虚数z2<0答案 ABD解析 zabiabRz2a2b22abi对于Az20,则b0,所以z是实数,真命题;对于Bz2<0,则a0,且b0,可得z是虚数,所以B为真命题;对于Cz是虚数,则b0,所以z2也可能是虚数,不能比较大小,所以C是假命题;对于Dz是纯虚数,则a0b0,所以z2<0,所以D是真命题.11.ABClg alg clg sin B=-lgBABC的形状可能(  )A.等边三角形   B.等腰三角形C.钝角三角形   D.直角三角形答案 BD解析 lg alg clg sin B=-lgsin BBBcos Ba2b2,则abABC∴△ABC为等腰直角三角形.12.定义两个非零平面向量的一种新运算a*b|a|·|b|sinab〉,其中ab表示ab的夹角则对于两个非零平面向量ab下列结论一定成立的有(  )A.ab上的投影向量为asinabB.(a*b)2(a·b)2|a|2|b|2C.λ(a*b)(λa)*bD.a*b0ab平行答案 BD解析 由投影向量的定义可知,A显然不成立;(a*b)2(a·b)2|a|2|b|2sin2ab〉+|a|2|b|2·cos2ab〉=|a|2|b|2,故B成立;λ(a*b)λ|a||b|sinab〉,(λa)*b|λa||b|sinab〉,当λ<0时不成立,故C不成立;a*b0,得sinab〉=0,即两向量平行,故D成立.三、填空题(本大题共4小题每小题520)13.i是虚数单位则复数______其实部为______.(本题第一空3第二空2)答案 i 0解析 i,其实部为0. 14.已知向量ab的夹角为θ|a|2|b|a·b3θ________.答案 解析 由题意,利用向量的夹角公式,得cos θ,又由θ[0π] θ.15.(2019·南宁模拟)在正方形ABCDE为线段AD的中点λμλμ________.答案 解析 因为,所以λμ1.16.(2019·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象被喻为地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产我国拥有世界上最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的蓝洞的口径AB两点间的距离现在珊瑚群岛上取两点CD测得CD80ADB135°BDCDCA15°ACB120°AB两点间的距离为___________.答案 80解析 由已知,在ACD中,ACD15°ADC150°∴∠DAC15°由正弦定理,得AC40()BCD中,BDC15°BCD135°∴∠DBC30°由正弦定理,得BC160sin 15°40()ABC中,由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cosACB1 600(84)1 600(84)2×1 600()×()×1 600×161 600×41 600×20解得AB80则两目标AB间的距离为80.四、解答题(本大题共6小题70)17.(10)已知复数z3mi (mR)(13i)z为纯虚数.(1)求复数z(2)z(2i)w求复数w的模|w|. (1)(13i)·(3mi)(33m)(9m)i(13i)·z是纯虚数,33m0,且9m0m1z3i.(2)w1i.|w|.18.(12)已知向量a(1,2)b(3,4).(1)abab的夹角(2)c满足c(ab)(ca)bc的坐标. (1)a(1,2)b(3,4).ab(2,6)ab(4,-2)(ab)·(ab)=-20|ab|2|ab|2.abab的夹角为θ,则cos θ=-θ[0π]θ.(2)c(xy),则ca(x1y2)c(ab)(ca)b解得c.19.(12)ABCABC的对边分别为abc已知CcABC周长的取值范围. 由正弦定理得2a2sin Ab2sin BABC的周长为Labc2(sin Asin B)222sin.0<BA<0<A<<A<<sin1∴△ABC周长的取值范围是(22].20.(12)设复数z12ai(aR)z243i.(1)z1z2是实数z1·z2(2)是纯虚数z1的共轭复数. (1)z1z26(3a)i是实数,3a0a=-3z123iz1·z2(23i)(43i)176i.(2)是纯虚数,a=-z12iz1的共轭复数为2i.21.(12)已知|a|2|b|(a2b)·(b3a)9.(1)ab的夹角θ(2)ABCabBC边的长度. (1)(a2b)·(b3a)=-3a22b25a·b=-3×222×()25a·b9a·b=-3cos θ=-θ[0π]θπ.(2)ba||2(ba)2b2a22b·a()2222×(3)13BC边的长度为| |.22.(12)ABC已知cos B(cos A2sin A)cos C0.(1)求角C的余弦值(2)BCAB边上的中线CDABC的面积. (1)ABC中,cos B=-cos(AC)所以-cos(AC)(cos A2sin A)cos C0sin A(sin C2cos C)0sin A0所以sin C2cos Ctan C2因为C(0π),所以0<C<由三角函数的基本关系式,可得1cos2C4cos2C解得cos C.(2)因为2所以||2||22||·||cos C4||2所以||252||×4×2,解得||1.sin C所以SABCCA·CB·sin C1.

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