高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数教课内容ppt课件

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1.了解幂函数的概念.
3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.
NEIRONGSUOYIN
知识点一　幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
知识点二　五个幂函数的图象与性质
知识点三　一般幂函数的图象特征
1.所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 .2.当α>0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是 函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象 ；当0<α<1时，幂函数的图象 .3.当 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数.4.幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称.5.在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从 到 的顺序排列.
1.下列函数中不是幂函数的是________.①y＝x0； ②y＝x3；③y＝2x； ④y＝x－1.
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
解析　当幂函数为奇函数时，α＝－1,1,3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，所以α＝1,3.
3.当x∈(0,1)时，x2________x3.(填“>”“＝”或“<”)
解析　幂函数有①⑥两个.
(2)已知 是幂函数，求m，n的值.
判断函数为幂函数的方法(1)自变量x前的系数为1.(2)底数为自变量x.(3)指数为常数.
解析　由幂函数的定义知k＝1.
解析　因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
二、幂函数的图象及应用
得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0).
(1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象.②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象.(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同.同时，注意分类讨论思想的应用.
跟踪训练2　(1)如图所示，C1，C2，C3为幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取
(2)在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－ 的图象可能是
例3　比较下列各组数的大小.
解　因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
解　因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量.
跟踪训练3　比较下列各组数的大小：
核心素养之数学抽象与直观想象
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE CHOU XIANG YU ZHI GUAN XIANG XIANG
解　因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.
所以a＋1>3－2a>0或3－2a通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养.
1.以下结论正确的是A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
2.下列不等式成立的是
3.函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________.
解析　令m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3符合要求.当m＝－1时，m2－2m－3＝0不符合要求.故m＝2.
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：(1)幂函数的定义.(2)几个常见幂函数的图象.(3)幂函数的性质.2.方法归纳：(1)运用待定系数法求幂函数的解析式.(2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想.3.常见误区：对幂函数形式的判断易出错，只有形如y＝xα(α为常数)为幂函数，其它形式都不是幂函数.