2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6.2.1　向量的加法运算

6.2　平面向量的运算

6.2.1　向量的加法运算

学习目标　1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.

知识点一　向量加法的定义及其运算法则

1.向量加法的定义

求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

2.向量求和的法则

位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.

思考　|a＋b|与|a|，|b|有什么关系？

答案　(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.

知识点二　向量加法的运算律

向量加法的运算律

1.0＋a＝a＋0＝a.(　√　)

2.＋＝.(　√　)

3.＋＝0.(　√　)

4.＋>.(　×　)

5.||＋||＝||.(　×　)

一、向量加法法则

例1　(1)如图①所示，求作向量a＋b.

(2)如图②所示，求作向量a＋b＋c.

解　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示.

(2)方法一　(三角形法则)如图④所示，

首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求.

方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示，

首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，

以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，

则＝＋＝a＋b.

再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，

则＝＋＝a＋b＋c即为所求.

反思感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系

跟踪训练1　如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.

(1)＋＝________；(2)＋＝________；(3)＋＝________.

答案　(1)　(2)　(3)0

解析　(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故＋＝.

(2)因为＝，故＋与方向相同，长度为的长度的2倍，故＋＝.

(3)因为＝，故＋＝＋＝0.

二、向量加法运算律的应用

例2　化简：

(1)＋；(2)＋＋；(3)＋＋＋＋.

解　(1)＋＝＋＝.

(2)＋＋＝＋＋

＝(＋)＋＝＋＝0.

(3)＋＋＋＋

＝＋＋＋＋

＝＋＋＋

＝＋＋

＝＋＝0.

反思感悟　向量加法运算律的意义和应用原则

(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.

(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.

跟踪训练2　已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.

答案　2

解析　|＋＋＋|＝|＋＋＋|＝|＋|＝2||＝2.

三、向量加法的实际应用

例3　河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 km/h，求小船的实际航行速度.

解　设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作＝a，＝b，以，为邻边作矩形OACB，连接，如图，则＝a＋b，并且即为小船的实际航行速度.

∴||＝＝＝20(km/h)，

tan∠AOC＝＝，∴∠AOC＝60°，

∴小船的实际航行速度为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行.

反思感悟　应用向量解决实际问题的基本步骤

(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.

(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.

(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.

跟踪训练3　如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)

解　如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.

由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.

∴||＝||cos 30°

＝10×＝5(N)，

||＝||cos 60°

＝10×＝5(N).

∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.

1.化简＋＋等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　根据平面向量的加法运算，

得＋＋＝(＋)＋＝＋＝.

2.下列等式不正确的是(　　)

①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；

②＋＝0；

③＝＋＋.

A.②③  B.②  C.①  D.③

答案　B

解析　②错误，＋＝0，①③正确.

3.在四边形ABCD中，＝＋，则(　　)

A.四边形ABCD一定是矩形

B.四边形ABCD一定是菱形

C.四边形ABCD一定是正方形

D.四边形ABCD一定是平行四边形

答案　D

解析　由＝＋知，A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形.

4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.

5.已知向量a表示“向东航行3 km”，b表示“向南航行3 km”，则a＋b表示_________.

答案　向东南航行3 km

解析　根据题意由于向量a表示“向东航行3 km”，向量b表示“向南航行3 km”，那么可知a＋b表示向东南航行3 km.

1.知识清单：

(1)向量加法的三角形法则.

(2)向量加法的平行四边形法则.

(3)向量加法的运算律.

2.方法归纳：数形结合.

3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点.

1.化简＋＋等于(　　)

A.  B.  C.0  D.

答案　D

解析　＋＋＝＋＝.

2.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　)

A.0 B.

C. D.

答案　D

解析　＋＋＝＋＋＝＋＝.

3.若正方形ABCD的边长为1，则|＋|等于(　　)

A.1   B.

C.3   D.2

答案　B

解析　在正方形ABCD中，AB＝1，可知AC＝，

所以|＋|＝||＝AC＝.

4.已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是(　　)

A.＋＝   B.＋＝

C.＋＝   D.＋＝

答案　C

5.(多选)下列说法错误的有(　　)

A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同

B.在△ABC中，必有＋＋＝0

C.若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点

D.若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|

答案　ACD

解析　A错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；

B正确；C错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0；D错，|a＋b|≤|a|＋|b|.

6.已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则a＋b＋c＋d＝________.

答案　e

解析　a＋b＋c＋d＝＋＋＋＝＝e.

7.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，||＝1，则|＋|＝________.

答案　1

解析　如图，由题意知△ABD为等边三角形，

所以|＋|＝||＝||＝1.

8.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.

(1)＋＋＝________；

(2)＋＋＝________.

答案　(1)　(2)0

9.如图，已知在▱ABCD中，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：

(1)＋；(2)＋.

解　(1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量即为所求.

(2)在AB上取点G，使AG＝AB，则向量即为所求.

10.在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.

解　作出图形，如图所示.

设船速v船与岸的方向成α角，

由图可知v水＋v船＝v实际，

结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，

在Rt△ACD中，

||＝||＝|v水|＝10 m/min，

||＝|v船|＝20 m/min，

∴cos α＝＝＝，

∴α＝60°，从而船行进的方向与水流方向成120°角.

∴船是沿与水流方向成120°角的方向行进.

11.在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为(　　)

A.2  B.4  C.12  D.6

答案　B

解析　因为＋＝，

所以＋＋的长度为的模的2倍.

又||＝＝2，

所以向量＋＋的长度为4.

12.若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是(　　)

A.正三角形   B.锐角三角形

C.斜三角形   D.等腰直角三角形

答案　D

解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，∵AB＝AC＝1，AD＝，∴∠ABD为直角，该四边形为正方形，∴∠BAC＝90°，△ABC为等腰直角三角形.

13.已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______.

答案　0

解析　如图所示，连接AG并延长交BC于点E，点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE＝ED，

则＋＝，＋＝0，∴＋＋＝0.

14.如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N.则F1和F2的合力为________ N.

答案　12

解析　如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝.

在△OCA中，||＝24，

||＝12，∠OAC＝60°，

∴∠OCA＝90°，∴||＝12.

∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为与F2成90°角，竖直向上.

15.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.

证明　＝＋，＝＋，

∴＋＝＋＋＋.

∵与大小相等，方向相反，

∴＋＝0，

故＋＝＋＋0＝＋.

16.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：＋＋＝0.

证明　由题意知，＝＋，

＝＋，＝＋.

由平面几何知识可知，＝，＝，

所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)

＝(＋＋＋)＋(＋)

＝(＋＋＋＋)＋0

＝＋＋＝＋＋＝0.