2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6.3.5　平面向量数量积的坐标表示

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
学习目标　1.掌握平面向量数量积的坐标表示.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.

知识点　平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
则a·b＝x1x2＋y1y2.
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.
(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(3)cos θ＝＝.
思考　若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？
答案　不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.

1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.(　×　)
2.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角.(　×　)
提示　当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0°，不是锐角.
3.两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.(　×　)
4.若向量a＝(1,0)，b＝，则|a|＝|b|.(　×　)
提示　|a|＝1，|b|＝＝，显然|a|≠|b|.

一、数量积的坐标运算
例1　已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　)
A.10 B.－10 C.3 D.－3
答案　B
解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.

反思感悟　进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系
(1)|a|2＝a·a.
(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
跟踪训练1　向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于(　　)
A.－1 B.0 C.1 D.2
答案　C
解析　因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，
则(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
二、平面向量的模
例2　已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，求a－2b及其模的大小.
解　∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，
∴|a－2b|＝＝.
反思感悟　求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方.
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
跟踪训练2　已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　)
A. B. C.5 D.25
答案　C
解析　∵a＝(2,1)，∴a2＝5，
又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50，
即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.
三、平面向量的夹角、垂直问题
例3　(1)已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
又因为θ∈[0，π]，则θ＝.
所以向量a与b夹角的大小为.
(2)设向量m＝(2x－1,3)，向量n＝(1，－1)，若m⊥n，则实数x的值为(　　)
A.－1 B.1 C.2 D.3
答案　C
解析　因为向量m＝(2x－1,3)，向量n＝(1，－1)，m⊥n，
所以m·n＝(2x－1)×1＋3×(－1)＝2x－1－3＝0，解得x＝2.
反思感悟　解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
跟踪训练3　已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
答案　7
解析　∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3).
又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.

1.若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于(　　)
A.3 B.－3 C. D.－
答案　A
解析　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
2.已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　|a|＝＝5，|b|＝＝13.
a·b＝3×5＋4×12＝63.
设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝.
3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)
A.1 B. C.2 D.4
答案　C
解析　∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2
＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，
∴n2＝3，∴|a|＝＝2.
4.若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于(　　)
A.(－3,6) B.(3，－6)
C.(6，－3) D.(－6,3)
答案　A
解析　由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，
则|b|＝＝|λ|＝3，
又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6).
5.已知向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于(　　)
A. B. C.2 D.10
答案　B
解析　由题意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2.
再由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)，
可得|a＋b|＝.

1.知识清单：
(1)平面向量数量积的坐标表示.
(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量).
(3)cos θ＝(θ为非零向量a，b的夹角).
2.方法归纳：化归与转化.
3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错.





1.设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是(　　)
A.|a|＝|b| B.a·b＝0
C.a∥b D.(a－b)⊥b
答案　D
解析　a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，
所以(a－b)⊥b.
2.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5，
∴cos θ＝＝＝(θ为a，b的夹角).
又∵a，b的夹角的范围为[0，π].
∴a与b的夹角为.
3.已知向量a＝(1,2)，b＝(－1，m)，若a⊥b，则m的值为(　　)
A.－2 B.2 C. D.－
答案　C
解析　因为向量a＝(1,2)，b＝(－1，m)，a⊥b，
所以a·b＝－1＋2m＝0，解得m＝.
4.a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于(　　)
A.23 B.57 C.63 D.83
答案　D
解析　3|a|2－4a·b＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.
5.已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,4)，且a∥b，则|a－b|等于(　　)
A.5 B.3 C.2 D.2
答案　B
解析　因为a∥b，所以4＋2x＝0，所以x＝－2，
a－b＝(1，－2)－(－2,4)＝(3，－6)，
所以|a－b|＝3.
6.已知a＝(－1,1)，b＝(1,2)，则a·(a＋2b)＝________.
答案　4
解析　∵a＋2b＝(1,5)，∴a·(a＋2b)＝4.
7.设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，则m＝________.
答案　－1
解析　由题意得ma－b＝(m＋1，－m)，
根据向量垂直的充要条件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，
所以m＝－1.
8.设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
答案　－2
解析　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0，
即m＋2＝0，解得m＝－2.
9.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解　(1)∵a⊥b，
∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，
解得x＝－1或x＝3.
(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
∴a－b＝(－2,0)，∴|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
∴a－b＝(2，－4)，
∴|a－b|＝2.
∴|a－b|＝2或2.
10.已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围.
解　∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
又∵a，b的夹角α为钝角，
∴即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).

11.已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于(　　)
A.－4 B.－3 C.－2 D.－1
答案　B
解析　因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，
由(m＋n)⊥(m－n)，
可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
12.已知＝(－2,1)，＝(0,2)且∥，⊥，则点C的坐标是(　　)
A.(2,6) B.(－2，－6)
C.(2，－6) D.(－2,6)
答案　D
解析　设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，
＝(x，y－2)，＝(2,1)，
∵∥，∴2(x＋2)＝0，①
∵⊥，∴2x＋y－2＝0，②
由①②可得∴C(－2,6).
13.设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“⊗”为m⊗n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，p⊗q＝(－4，－3)，则q的坐标为________.
答案　(－2,1)
解析　设q＝(x，y)，则p⊗q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3).
∴∴∴q＝(－2,1).
14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·的值是________.

答案　
解析　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.

∵AB＝，BC＝2，
∴A(0,0)，B(，0)，C(，2)，D(0,2)，
∵点E在边CD上，且＝2，
∴E.∴＝，＝，
∴·＝－＋4＝.

15.已知向量a＝(1,1)，b＝(1，m)，其中m为实数，则当a与b的夹角在内变动时，实数m的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.
C.∪(1，) D.(1，)
答案　C
解析　如图，作＝a，则A(1,1).

作，，
使∠AOB1＝∠AOB2＝，
则∠B1Ox＝－＝，
∠B2Ox＝＋＝，
故B1，B2(1，).
又a与b的夹角不为0，故m≠1.
由图可知实数m的取值范围是∪(1，).
16.已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4).
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值.
(1)证明　∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3).
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)解　∵⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴解得∴C点坐标为(0,5).
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
∴·＝8＋8＝16.
又||＝2 ，||＝2 ，
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝>0，
∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.