2020年高中数学新教材同步必修第二册 章末检测试卷三(第8章)1

章末检测试卷三(第八章)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.棱锥的侧面和底面可以都是(　　)
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
答案　A
解析　三棱锥的侧面和底面均可以为三角形.
2.下面多面体中有12条棱的是(　　)
A.四棱柱 B.四棱锥 C.五棱锥 D.五棱柱
答案　A
解析　∵n棱柱共有3n条棱，n棱锥共有2n条棱，∴四棱柱共有12条棱；四棱锥共有8条棱；五棱锥共有10条棱；五棱柱共有15条棱.
3.如图，Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是(　　)

A.　　　　　　 B.1
C. D.2
答案　D
解析　∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，
斜边O′B′＝2，
∴直角三角形的直角边长是，
∴直角三角形的面积是××＝1，
∴原平面图形的面积是1×2＝2.
4.如图所示，平面α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)

A.点A B.点B
C.点C但不过点M D.点C和点M
答案　D
5.将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为(　　)
A.6 cm B.6 cm
C.2 cm D.3 cm
答案　B
解析　设圆锥中水的底面半径为r cm，
由题意知πr2×r＝π×22×6，
得r＝2，
∴水面的高度是×2＝6(cm).
6.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°
答案　C
解析　如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，

则AC∥A1C1∥DE，
则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角.
由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°.
7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)
A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD
C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
答案　C
解析　如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1，

从而A1B1⊥BC1，
又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1CD，
所以BC1⊥平面A1B1CD，
又A1E⊂平面A1B1CD，
所以A1E⊥BC1.
8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
答案　B
解析　米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，
设圆锥底面半径为r，则×2πr＝8，
得r＝，
所以米堆的体积为×πr2×5≈(立方尺)，
÷1.62≈22(斛).
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.下面关于四棱柱的命题中，为真命题的是(　　)
A.若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
B.若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
C.若四个侧面全等，则该四棱柱为直四棱柱
D.若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
答案　BCD
10.如图所示，空间四边形PABC的各边都相等，D，E，F，G分别是AB，BC，CA，AP的中点，下列四个结论中正确的是(　　)

A.DF∥平面PBC
B.AB⊥平面PDC；
C.平面PEF⊥平面ABC
D.平面PAE⊥平面PBC
答案　ABD
解析　∵BC∥DF，DF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴DF∥平面PBC，故A正确；
∵PD⊥AB，CD⊥AB，PD∩CD＝D，PD，DC⊂平面PCD，
∴AB⊥平面PDC，故B正确；
∵PE⊥BC，AE⊥BC，PE∩AE＝E，PE，AE⊂平面PAE，
∴BC⊥平面PAE，
∵BC⊂平面PBC，∴平面PAE⊥平面PBC，故D正确.
只有C错误.
11.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，成立的是(　　)
A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β
答案　ABC
解析　∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l.
∵AB∥l，∴AB∥m.故A一定正确.
∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m.故B一定正确.
∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α.
∴AB⊄β，l⊂β，∴AB∥β.故C也正确.
∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，
当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立.
故D不一定成立.
12.如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中正确的是(　　)

A.AE⊥CE
B.BE⊥DE
C.DE⊥平面CEB
D.平面ADE⊥平面BCE
答案　ABD
解析　由AB是底面圆的直径，则∠AEB＝90°，
即AE⊥EB.
∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，
∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.
∴BE⊥AD，又AD∩AE＝A，AD，AE⊂平面ADE，
∴BE⊥平面ADE，DE⊂平面ADE，
∴BE⊥DE.
同理可得AE⊥CE.
又∵BE⊂平面BCE，
∴平面BCE⊥平面ADE.
可得A，B，D正确.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r1，r2，且满足2l＝r1＋r2，其侧面积为8π，则l＝________.
答案　2
解析　S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝2πl2＝8π，所以l＝2.
14.已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.
答案　②④
15.空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是________.
答案　45°
解析　如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.

因为AB＝AD，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD.
因此，∠ACO即为AC与平面BCD所成的角.
由于∠BAD＝90°＝∠BCD，所以AO＝OC＝BD，
又AO⊥OC，所以∠ACO＝45°.
16.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的侧面积为________，体积是________.(本题第一空2分，第二空3分)
答案　48 48
解析　设球的半径为r，
则πr3＝π，
得r＝2，柱体的高为2r＝4.
又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，
所以底面正三角形的边长为4，
所以正三棱柱的侧面积S侧＝3×4×4＝48，
体积V＝×(4)2×4＝48.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)如图所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为50 cm，两底面直径分别为40 cm和30 cm.求纸篓(外侧部分)的表面积.

解　根据题意可知，纸篓底面圆的半径r′＝15 cm，上口的半径r＝20 cm，母线长l＝50 cm，
则纸篓的表面积
S＝π(r′2＋r′l＋rl)
＝π(152＋15×50＋20×50)＝1 975π(cm2).
18.(12分)在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且＝＝.

求证：直线EH，BD，FG相交于一点.
证明　如图所示，连接EF，GH.

∵H，G分别是AD，CD的中点，∴GH∥AC，且GH＝AC.
∵＝＝，∴EF∥AC，且EF＝AC.
∴GH∥EF，且GH≠EF.
∴EH与FG相交，设交点为P.
∵P∈EH，EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD.
同理P∈平面BCD.
又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.
∴直线EH，BD，FG相交于一点.
19.(12分)如图所示，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点.

求证：(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
证明　(1)∵E，F分别是AB，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD.
∵EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，
∴直线EF∥平面ACD.
(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.
∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.
又∵EF∩CF＝F，EF，CF⊂平面EFC，
∴BD⊥平面EFC.
∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.
20.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.

(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(2)求证：PD⊥平面PBC；
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
(1)解　由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD.
在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝，
故cos∠DAP＝＝.
∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
(2)证明　∵AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，
∴AD⊥PD.
又∵BC∥AD，∴PD⊥BC，
又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，
∴PD⊥平面PBC.
(3)解　过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，

则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
∵PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
∴∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD∥BC，DF∥AB，可得BF＝AD＝1.
由已知，得CF＝BC－BF＝2.
又AD⊥DC，故BC⊥DC.
在Rt△DCF中，可得DF＝＝2.
在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝.
∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
21.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M.

求证：(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
证明　(1)∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，
又∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，AD⊂平面ADMN，
∴AD∥MN.
∴MN∥BC.
又∵N为PB的中点，∴M为PC的中点，
∴MN＝BC.
∵E为AD的中点，∴DE＝AD＝BC＝MN，
∴DE∥MN且DE＝MN，
∴四边形DENM为平行四边形，∴EN∥DM.
又∵EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，
∴EN∥平面PDC.
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，E为AD中点，
∴BE⊥AD.
又∵PE⊥AD，PE∩BE＝E，PE，BE⊂平面PBE，∴AD⊥平面PEB.
∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥PB.
又∵PA＝AD＝AB，且N为PB的中点，∴AN⊥PB.
∵AD∩AN＝A，AD，AN⊂平面ADMN，
∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面ADMN.

22.(12分)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.
(1)求证：AD′⊥BE；
(2)求四棱锥D′－ABCE的体积；
(3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.

(1)证明　根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，∴∠DEA＝∠CEB＝45°，
∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE.
∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，
∴BE⊥平面D′AE，
∵AD′⊂平面D′AE，
∴AD′⊥BE.
(2)解　取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE，且D′F＝.
∵平面D′AE⊥平面ABCE，
且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，D′F⊂平面D′AE，
∴D′F⊥平面ABCE，
∴VD′－ABCE＝S四边形ABCE·D′F
＝××(1＋2)×1×＝.
(3)解　如图所示，连接AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，使得D′B∥平面PAC，连接PQ.

∵D′B⊂平面D′BE，平面D′BE∩平面PAC＝PQ，
∴D′B∥PQ，
∴在△EBD′中，＝.
∵△CEQ∽△ABQ，
∴＝＝，
∴＝＝，即EP＝ED′，
∴在棱ED′上存在一点P，且EP＝ED′，
使得D′B∥平面PAC.