2020年高中数学新教材同步必修第二册 期中检测试卷

这是一份数学必修 第二册全册综合同步测试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间：120分钟 满分：150分)


一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)


1.已知向量a＝(1，m)，向量b＝(－1，eq \r(3))，若a∥b，则m等于( )


A.eq \r(3) B.－eq \r(3) C.eq \f(\r(3),3) D.－eq \f(\r(3),3)


答案 B


解析 由题意得1×eq \r(3)－m×(－1)＝0，∴m＝－eq \r(3).


2.已知i为虚数单位，z＝eq \f(4,1＋i)，则复数z的虚部为( )


A.－2i B.2i C.2 D.－2


答案 D


解析 z＝eq \f(4,1＋i)＝eq \f(41－i,1＋i1－i)＝eq \f(41－i,2)＝2－2i，故虚部为－2.


3.已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，则eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))等于( )


A.－2 B.－1 C.1 D.2


答案 B


解析 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0) E(0,1)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq \(EA,\s\up6(→))＝(0，－1)，eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))＝－1.


4.(2019·淮北、宿州模拟)已知i为虚数单位，在复平面内，复数eq \f(1,1－i)的共轭复数对应的点位于( )


A.第一象限 B.第二象限


C.第三象限 D.第四象限


答案 D


解析 由题意可得eq \f(1,1－i)＝eq \f(1＋i,1－i1＋i)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i，


则其共轭复数为eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i，对应的点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)))位于第四象限.


5.在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则eq \(BF,\s\up6(→))等于( )


A.－eq \f(3,4)a＋eq \f(1,2)b B.eq \f(3,4)a－eq \f(1,2)b


C.eq \f(1,2)a－eq \f(3,4)b D.eq \f(1,2)a＋eq \f(3,4)b


答案 A


解析 如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b－eq \f(3,4)a.





6.在△ABC中，若lg a－lg c＝lg sin B＝－lgeq \r(2)且B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则△ABC的形状是( )


A.等边三角形 B.等腰三角形


C.等腰直角三角形 D.直角三角形


答案 C


解析 ∵lg a－lg c＝lg sin B＝－lgeq \r(2)，


∴eq \f(a,c)＝sin B＝eq \f(\r(2),2)，


∵B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴B＝eq \f(π,4)，


∴cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋\r(2)a2－b2,2a·\r(2)a)＝eq \f(\r(2),2)，


∴a2＝b2，则a＝b，∴A＝B＝eq \f(π,4)，


∴C＝eq \f(π,2)，


∴△ABC为等腰直角三角形.


7.在△ABC中，∠A＝120°，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－2，则|eq \(BC,\s\up6(→))|的最小值是( )


A.2 B.4 C.2eq \r(3) D.12


答案 C


解析 eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs A＝－eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|


＝－2⇒|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|＝4，


|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))|⇒|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝|eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))|2


＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋4≥2|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|＋4＝12，


当且仅当|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|时取等号，


所以|eq \(BC,\s\up6(→))|≥2eq \r(3).


8.已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则a＋b在b上的投影为( )


A.2 B.eq \r(3) C.1 D.－1


答案 A


解析 a＋b在b上的投影为


eq \f(a＋b·b,|b|)＝eq \f(a·b＋b2,|b|)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(3,2)))＋1,1)＝2.


9.已知向量a＝(cs θ－2，sin θ)，其中θ∈R，则|a|的最小值为( )


A.1 B.2 C.eq \r(5) D.3


答案 A


解析 因为a＝(cs θ－2，sin θ)，


所以|a|＝eq \r(cs θ－22＋sin2θ)＝eq \r(1－4cs θ＋4)＝eq \r(5－4cs θ)，


因为θ∈R，所以－1≤cs θ≤1，


故|a|的最小值为eq \r(5－4)＝1.


10.已知点O是△ABC内一点，满足eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＝meq \(OC,\s\up6(→))，eq \f(S△AOB,S△ABC)＝eq \f(4,7)，则实数m为( )


A.2 B.－2 C.4 D.－4


答案 D


解析 由eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＝meq \(OC,\s\up6(→))得eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(m,3)eq \(OC,\s\up6(→))，


设eq \f(m,3)eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))，则eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))，


∴A，B，D三点共线，


如图所示，





∵eq \(OC,\s\up6(→))与eq \(OD,\s\up6(→))反向共线，


∴eq \f(|\(OD,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(m,m－3)，


∴eq \f(S△AOB,S△ABC)＝eq \f(|\(OD,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(m,m－3)＝eq \f(4,7)，


解得m＝－4.


11.在△ABC中，若sin2A＋sin2B