人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率导学案及答案，共10页。学案主要包含了互斥事件和对立事件的判断，事件的运算，随机事件的表示及含义等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.理解事件的关系与运算.2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念.





知识点一 事件的关系





知识点二 交事件与并事件





知识点三 互斥事件和对立事件








1.若A，B表示随机事件，则A∩B与A∪B也表示事件.( √ )


2.若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.( × )


3.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.( √ )


4.若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个发生.( × )





一、互斥事件和对立事件的判断


例1 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件.


(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.


解 (1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.


(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件.由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.


(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件.


(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”.即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.


(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.


反思感悟 判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生.这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件.


跟踪训练1 (1)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是( )


A.至少有一个红球与都是红球


B.至少有一个红球与都是白球


C.至少有一个红球与至少有一个白球


D.恰有一个红球与恰有两个红球


答案 D


解析 根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件.


(2)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )


A.互斥但非对立事件 B.对立事件


C.非互斥事件 D.以上都不对


答案 A


解析 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.


二、事件的运算


例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：


(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；


(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.


解 (1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.


同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.


且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.


(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，


所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).


同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.


反思感悟 事件间运算方法


(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.


(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.


跟踪训练2 抛掷相同硬币3次，设事件A＝{至少有一次正面向上}，事件B＝{一次正面向上，两次反面向上}，事件C＝{两次正面向上，一次反面向上}，事件D＝{至少一次反面向上}，事件E＝{3次都正面向上}.


(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；


(2)试求事件A与事件D的交事件，事件B与事件C的并事件，并判断二者的关系.


解 (1)B⊆A，C⊆A，E⊆A，且A＝B＋C＋E.


(2)A∩D＝{有正面向上，也有反面向上}，B∪C＝{1次正面向上或2次正面向上}，A∩D＝B∪C.


三、随机事件的表示及含义


例3 设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.


(1)三个事件都发生；


(2)三个事件至少有一个发生；


(3)A发生，B，C不发生；


(4)A，B都发生，C不发生；


(5)A，B至少有一个发生，C不发生；


(6)A，B，C中恰好有两个发生.


解 (1)ABC (2)A∪B∪C (3)Aeq \x\t(B)eq \x\t(C) (4)ABeq \x\t(C) (5)(A∪B)eq \x\t(C) (6)ABeq \x\t(C)∪Aeq \x\t(B)C∪eq \x\t(A)BC


延伸探究


本例条件不变，试用A，B，C表示以下事件.


(1)三个事件都不发生；


(2)三个事件至少有两个发生.


解 (1)eq \x\t(A) eq \x\t(B) eq \x\t(C) (2)ABC∪ABeq \x\t(C)∪Aeq \x\t(B)C∪eq \x\t(A)BC(或AB∪BC∪AC)


反思感悟 清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.


跟踪训练3 5个相同的小球，分别标上数字1,2,3,4,5，依次有放回的抽取两个小球.记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示A，B，C，A∩B，eq \x\t(A)∩eq \x\t(C)，eq \x\t(B)∩C.


解 总的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，


A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，


B＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,2)，(5,4)}，


C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.


A∩B＝{(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，(5,2)，(5,4)}，


eq \x\t(A)∩eq \x\t(C)＝{(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)}，


eq \x\t(B)∩C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.





1.某人射击一次，设事件A为“击中环数小于4”，事件B为“击中环数大于4”，事件C为“击中环数不小于4”，事件D为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是( )


A.A与B为对立事件


B.B与C为互斥事件


C.C与D为对立事件


D.B与D为互斥事件


答案 D


2.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )


A.至多有2件次品 B.至多有1件次品


C.至多有2件正品 D.至少有2件正品


答案 B


解析 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件.共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品.


3.设M，N，P是三个事件，则M，N至少有一个不发生且P发生可表示为( )


A.(eq \x\t(M)∪eq \x\t(N))P B.(eq \x\t(M) eq \x\t(N))P


C.(eq \x\t(M)∪eq \x\t(N))∪P D.(eq \x\t(M)N)∪(Meq \x\t(N))


答案 A


4.甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则eq \x\t(A)B∪Aeq \x\t(B)表示的含义是________，事件“密码被破译”可表示为________.


答案 只有一人破译密码 eq \x\t(A)B∪Aeq \x\t(B)∪AB


5.从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个不重复的两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为_______.


答案 {10,20,30,40,50,32,42,52,54}





1.知识清单：


(1)事件的包含关系与相等关系.


(2)交事件和并事件.


(3)互斥事件和对立事件.


2.方法归纳：列举法、Venn图法.


3.常见误区：互斥事件和对立事件之间的关系易混淆.








1.下列各组事件中，不是互斥事件的是( )


A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6


B.统计一个班级期中考试数学成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分


C.播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒


D.检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%


答案 B


2.许洋说：“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为( )


A.至多做完三套练习题B.至多做完二套练习题


C.至多做完四套练习题D.至少做完二套练习题


答案 B


解析 至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6，…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题.


3.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )


A.对立事件B.相等


C.互斥但不对立事件D.以上说法都不对


答案 C


解析 因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件并不是必有一个发生，所以它们不是对立事件.


4.向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件eq \x\t(A)B用样本点表示为( )


A.{(5,5)} B.{(4,6)，(5,5)}


C.{(6,5)，(5,5)} D.{(4,6)，(6,4)，(5,5)}


答案 D


5.设A，B为两事件，则(A∪B)(eq \x\t(A)∪eq \x\t(B))表示( )


A.必然事件 B.不可能事件


C.A与B恰有一个发生 D.A与B不同时发生


答案 C


解析 A∪B表示事件A，B至少有1个发生，eq \x\t(A)∪eq \x\t(B)表示事件A，B至少有一个不发生，


∴(A∪B)(eq \x\t(A)∪eq \x\t(B))表示A与B恰有一个发生.


6.设某随机试验的样本空间Ω＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{2,3,4}，B＝{3,4,5}，C＝{5,6,7}.则：


(1)A∪B＝________________；


(2)eq \x\t(A)∩B＝________；


(3)A∩(B∩C)＝________.


答案 (1){2,3,4,5} (2){5} (3)∅


7.在某大学的学生中任选一名学生，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是大三学生，事件C表示该生是运动员，则事件ABeq \x\t(C)的含义是________________.


答案 该生是大三男生，但不是运动员


8.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则事件取出的是理科书可记为________.


答案 B∪D∪E


解析 由题意可知事件“取到理科书”可记为B∪D∪E.


9.从某大学数学系图书室中任选一本书.设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2000年后出版的书}.问：


(1)A∩B∩eq \x\t(C)表示什么事件？


(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A?


(3)如果eq \x\t(A)＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？


解 (1)A∩B∩eq \x\t(C)＝{2000年或2000年前出版的中文版的数学书}.


(2)在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.


(3)是.eq \x\t(A)＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书.同时eq \x\t(A)＝B又可等价成eq \x\t(B)＝A，因而也可以解释为：图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有外文版的书都是数学书.


10.盒子里有3个红球，2个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.求：


(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？


(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？


(3)把红球记为1,2,3，白球记为a，b，试用集合的形式表示A∪C，C∩D.


解 (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.


(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C∩A＝A.


(3)A∪C＝{(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(2,3，a)，(2,3，b)，(1,2,3)，(1，a，b)，(2，a，b)，(3，a，b)}，


C∩D＝{(1，a，b)，(2，a，b)，(3，a，b)，(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(2,3，a)，(2,3，b)}.





11.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )


A.A⊆D B.B∩D＝∅


C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D


答案 D


12.(多选)一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有( )


A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品”


B.“至少有1件次品”和“都是次品”


C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品”


D.“至少有1件次品”和“都是正品”


答案 AD


解析 对于A，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件；


对于B，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；


对于C，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件；


对于D，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件，故AD是互斥事件.


13.盒子内分别有3个红球，2个白球，1个黑球，从中任取2个球，则下列选项中的两个事件互斥而不对立的是( )


A.至少有1个白球，至多有1个白球


B.至少有1个白球，至少有1个红球


C.至少有1个白球，没有白球


D.至少有1个白球，红球、黑球各1个


答案 D


解析 当取出的2个球是1白1红时，A中两个事件同时发生，所以A中的两个事件不是互斥事件，此时B也一样，所以排除A，B；C中，两个事件不可能同时发生，但是必有一个发生，所以C中的两个事件是对立事件，所以排除C；D中，两个事件不可能同时发生，但是当取出的2个球都是红球时，这两个事件都没有发生，所以D中的两个事件是互斥事件但不是对立事件.


14.电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝____________.(用B，C，D间的运算关系式表示)





答案 (BC)∪(BD)或B∩(C∪D)





15.如果A，B是互斥事件，那么( )


A.eq \x\t(A)∪eq \x\t(B)是必然事件


B.eq \x\t(A)与eq \x\t(B)一定是互斥事件


C.eq \x\t(A)与eq \x\t(B)一定不是互斥事件


D.A∪B是必然事件


答案 A


解析 由互斥事件的概念，A，B互斥即A∩B为不可能事件，所以eq \x\t(A)∪eq \x\t(B)是必然事件，故A正确；C选项中，当B＝eq \x\t(A)时，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)互斥，故C错误；D和B可举反例，如投掷骰子试验中，A表示向上数字1，B表示向上数字为2，A∪B不是必然事件，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)不是互斥事件，故B，D错误.


16.投掷一枚均匀的硬币，连续投掷3次.Ai表示第i次正面朝上，试用文字叙述下列事件.


(1)A1∪A2；


(2)A1∪A2∪A3；


(3)eq \x\t(A)2A3；


(4)eq \x\t(A1∪A2)；


(5)eq \x\t(A)1∩eq \x\t(A)2；


(6)A1A2∪A2A3∪A1A3.


解 (1)A1∪A2表示第1次和第2次投掷硬币至少有1次正面朝上.


(2)A1∪A2∪A3表示3次投掷硬币中至少有1次正面朝上.


(3)eq \x\t(A)2A3表示第2次投掷硬币反面朝上且第3次正面朝上.


(4)eq \x\t(A1∪A2)表示第1次和第2次投掷硬币均反面朝上.


(5)eq \x\t(A)1∩eq \x\t(A)2表示第1次和第2次投掷硬币均反面朝上.


(6)3次投掷硬币中至少有2次正面朝上.定义
符号
图示
包含关系
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等
A＝B
定义
符号
图示
并事件


(或和事件)
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B


(或A＋B)
交事件


(或积事件)
一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B


(或AB)
定义
符号
图示
互斥事件
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
A∩B＝∅
对立事件
一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq \x\t(A)
A∪B＝Ω


A∩B＝∅
符号
事件的运算
集合的运算
A
随机事件
子集
eq \x\t(A)
A的对立事件
A的补集
AB
事件A与B的交事件
集合A与B的交集
A∪B
事件A与B的并事件
集合A与B的并集