人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试当堂达标检测题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试当堂达标检测题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间：120分钟 满分：150分)


一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)


1.若eq \(OA,\s\up6(→))＝(－1,2)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，－1)，则eq \(AB,\s\up6(→))等于( )


A.(－2,3) B.(0,1)


C.(－1,2) D.(2，－3)


答案 D


解析 eq \(OA,\s\up6(→))＝(－1,2)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，－1)，


所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3).


2.已知平面上A，B，C三点不共线，O是不同于A，B，C的任意一点，且(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC是( )


A.等腰三角形 B.直角三角形


C.等腰直角三角形 D.等边三角形


答案 A


解析 (eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0⇔eq \(CB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0⇔(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0⇔|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，所以△ABC是等腰三角形.


3.已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )


A.－13 B.9 C.－9 D.13


答案 C


解析 设C点坐标为(6，y)，


则eq \(AB,\s\up6(→))＝(－8,8)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，y＋6).


∵A，B，C三点共线，∴－8(y＋6)－8×3＝0，∴y＝－9.


4.已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，则cs B等于( )


A.eq \f(11,16) B.eq \f(7,9) C.eq \f(21,16) D.eq \f(29,16)


答案 A


解析 依题意设a＝4k，b＝3k，c＝2k(k>0)，则cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(16k2＋4k2－9k2,2×4k×2k)＝eq \f(11,16).


5.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(2,1)，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))等于( )


A.5 B.4 C.3 D.2


答案 A


解析 ∵四边形ABCD为平行四边形，∴eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，∴eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2×3＋(－1)×1＝5.


6.已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，a＋λb与a垂直，则λ等于( )


A.－2 B.1 C.－1 D.0


答案 C


解析 a＋λb＝(1＋4λ，－3－2λ)，


因为a＋λb与a垂直，所以(a＋λb)·a＝0，


即1＋4λ－3(－3－2λ)＝0，解得λ＝－1.


7.已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，则实数m等于( )


A.2eq \r(3) B.eq \r(3) C.0 D.－eq \r(3)


答案 B


解析 ∵a·b＝(1，eq \r(3))·(3，m)＝3＋eq \r(3)m，


a·b＝eq \r(12＋\r(3)2)×eq \r(32＋m2)×cs eq \f(π,6)，


∴3＋eq \r(3)m＝eq \r(12＋\r(3)2)×eq \r(32＋m2)×cs eq \f(π,6)，


∴m＝eq \r(3).


8.已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )


A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心


答案 B


解析 eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)为eq \(AB,\s\up6(→))方向上的单位向量，


eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)为eq \(AC,\s\up6(→))方向上的单位向量，


则eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)的方向为∠BAC的角平分线eq \(AD,\s\up6(→))的方向.


又λ∈(0，＋∞)，


所以λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))的方向与eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)的方向相同.


而eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))，


所以点P在eq \(AD,\s\up6(→))上移动，


所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.


二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)


9.已知A(2，－3)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，－2)，点M为线段AB的中点，则下列点的坐标正确的是( )


A.B(5，－5) B.B(1,1)


C.Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，－4)) D.M(0,0)


答案 AC


10.对于任意的平面向量a，b，c，下列说法中错误的是( )


A.若a∥b且b∥c，则a∥c


B.(a＋b)·c＝a·c＋b·c


C.若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c


D.(a·b)c＝a(b·c)


答案 ACD


解析 选项A中，若b＝0，则命题不成立；


选项C中，若a和b，c都垂直，显然b，c在模长方面没有任何关系，所以命题不成立；


选项D中，(a·b)c是一个与向量c共线的向量，而a(b·c)是一个与向量a共线的向量，错误；B显然成立.


11.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个说法中正确的是( )


A.若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则△ABC一定是等边三角形


B.若acs A＝bcs B，则△ABC一定是等腰三角形


C.若bcs C＋ccs B＝b，则△ABC一定是等腰三角形


D.若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形


答案 AC


解析 由eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，


利用正弦定理可得eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(sin B,cs B)＝eq \f(sin C,cs C)，


即tan A＝tan B＝tan C，


所以A＝B＝C，△ABC是等边三角形，A正确；


由acs A＝bcs B，可得sin Acs A＝sin Bcs B，


即sin 2A＝sin 2B，


所以2A＝2B或2A＋2B＝π，


△ABC是等腰三角形或直角三角形，B不正确；


由bcs C＋ccs B＝b，


可得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin B，


即sin(B＋C)＝sin B，所以sin A＝sin B，


则A＝B，△ABC是等腰三角形，C正确；


由余弦定理可得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)>0，角C为锐角，角A，B不一定是锐角，D不正确.


12.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是( )


A.若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点


B.若eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，则点M在边BC的延长线上


C.若eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(BM,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))，则点M是△ABC的重心


D.若eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq \f(1,2)，则△MBC的面积是的△ABC面积的eq \f(1,2)


答案 ACD


解析 A.eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))⇒eq \f(1,2)eq \(AM,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AM,\s\up6(→))，即eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点；


B.eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，则点M在边CB的延长线上，所以B错误.


C.如图，设BC中点D，则eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(BM,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝2eq \(MD,\s\up6(→))，由重心性质可知C成立.





D.eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq \f(1,2)⇒2eq \(AM,\s\up6(→))＝2xeq \(AB,\s\up6(→))＋2yeq \(AC,\s\up6(→))，2x＋2y＝1，设eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(AM,\s\up6(→))，


所以eq \(AD,\s\up6(→))＝2xeq \(AB,\s\up6(→))＋2yeq \(AC,\s\up6(→))，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的eq \f(1,2).


三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)


13.若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的值为________.


答案 eq \f(1,2)


解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(a－2，－2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，b－2)，


依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，


即ab－2a－2b＝0，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,2).


14.在△ABC中，若a＝eq \r(2)，b＝2，A＝30°，则C＝________.


答案 105°或15°


解析 由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，


得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(2sin 30°,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).


∵0°