人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数本章综合与测试综合训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数本章综合与测试综合训练题，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间：120分钟 满分：150分)


一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)


1.复数i3(1＋i)2等于( )


A.2 B.－2 C.2i D.－2i


答案 A


解析 i3(1＋i)2＝－i·(2i)＝2.


2.i是虚数单位，复数eq \f(7－i,3＋i)等于( )


A.2＋i B.2－i


C.－2＋i D.－2－i


答案 B


解析 eq \f(7－i,3＋i)＝eq \f(7－i3－i,10)＝eq \f(20－10i,10)＝2－i.


3.复数z＝eq \f(i,1＋i)在复平面上对应的点位于( )


A.第一象限 B.第二象限


C.第三象限 D.第四象限


答案 A


解析 z＝eq \f(i,1＋i)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i，对应点在第一象限.


4.在复平面上，一个正方形的三个顶点按顺序分别对应的复数是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )


A.3＋i B.3－i


C.1－3i D.－1＋3i


答案 D


解析 在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i.


5.当z＝－eq \f(1－i,\r(2))时，z100＋z50＋1的值等于( )


A.1 B.－1 C.i D.－i


答案 D


解析 z2＝eq \f(1－i2,2)＝－i，


则z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i12×4＋2＋(－1)25·i6×4＋1＋1＝－1－i＋1＝－i.


6.已知复数z＝1－i，则eq \f(z2－2z,z－1)等于( )


A.2i B.－2i


C.2 D.－2


答案 B


解析 ∵z＝1－i，


∴eq \f(z2－2z,z－1)＝eq \f(－2i－2＋2i,1－i－1)＝eq \f(－2,－i)＝－2i.


7.已知i为虚数单位，若复数z＝eq \f(1－ai,1＋i)(a∈R)的虚部为－3，则|z|等于( )


A.eq \r(10) B.2eq \r(3) C.eq \r(13) D.5


答案 C


解析 因为z＝eq \f(1－ai,1＋i)＝eq \f(1－ai1－i,1＋i1－i)＝eq \f(1－a－a＋1i,2)＝eq \f(1－a,2)－eq \f(a＋1,2)i，所以－eq \f(a＋1,2)＝－3，解得a＝5，所以z＝－2－3i，所以|z|＝eq \r(－22＋－32)＝eq \r(13).


8.已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，i为虚数单位，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为( )


A.－eq \f(4,3) B.eq \f(4,3)


C.－eq \f(3,4) D.eq \f(3,4)


答案 D


解析 因为z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]


＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i＝(2－m)＋(3m－1)i，


所以2－m＝3m－1，即m＝eq \f(3,4).


经检验，m＝eq \f(3,4)能使2－m＝3m－1>0，


所以m＝eq \f(3,4)满足题意.


二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)


9.设z＝－3＋2i，则在复平面内eq \x\t(z)对应的点不可能位于( )


A.第一象限 B.第二象限


C.第三象限 D.第四象限


答案 ABD


解析 由z＝－3＋2i，得eq \x\t(z)＝－3－2i，对应点(－3，－2)位于第三象限.


10.设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，i为虚数单位，则以下结论不正确的是( )


A.z对应的点在第一象限


B.z一定不为纯虚数


C.eq \x\t(z)对应的点在实轴的下方


D.z一定为实数


答案 ABD


解析 ∵2t2＋5t－3＝(2t－1)(t＋3)，


∴2t2＋5t－3的符号可正、可负、可为0，


又t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，


∴不正确的有A，B，D.


11.下面关于复数z＝eq \f(2,－1＋i)的四个说法中，正确的有( )


A.|z|＝2


B.z2＝2i


C.z的共轭复数为1＋i


D.z的虚部为－1


答案 BD


解析 ∵z＝eq \f(2,－1＋i)＝eq \f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝－1－i，


∴|z|＝eq \r(2)，A不正确；


z2＝(－1－i)2＝2i，B正确；


z的共轭复数为－1＋i，C不正确；


z的虚部为－1，D正确.


12.设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是( )


A.若|z1－z2|＝0，则eq \x\t(z)1＝eq \x\t(z)2


B.若z1＝eq \x\t(z)2，则eq \x\t(z)1＝z2


C.若|z1|＝|z2|，则z1·eq \x\t(z)1＝z2·eq \x\t(z)2


D.若|z1|＝|z2|，则zeq \\al(2,1)＝zeq \\al(2,2)


答案 ABC


解析 对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以eq \x\t(z)1＝eq \x\t(z)2；


对于B若z1＝eq \x\t(z)2，则z1和z2互为共轭复数，所以eq \x\t(z)1＝z2；


对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，若|z1|＝|z2|，则eq \r(a\\al(2,1)＋b\\al(2,1))＝eq \r(a\\al(2,2)＋b\\al(2,2))，z1·eq \x\t(z)1＝aeq \\al(2,1)＋beq \\al(2,1)，z2·eq \x\t(z)2＝aeq \\al(2,2)＋beq \\al(2,2)，所以z1·eq \x\t(z)1＝z2·eq \x\t(z)2；


对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，


而zeq \\al(2,1)＝1，zeq \\al(2,2)＝－1，所以zeq \\al(2,1)＝zeq \\al(2,2)不正确.


三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)


13.i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________.


答案 1


解析 因为(1＋i)z＝2，


所以z＝eq \f(2,1＋i)＝1－i，


所以其实部为1.


14.若z1＝1－i，z2＝3－5i，在复平面上与z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则Z1，Z2的距离为________.


答案 2eq \r(5)


解析 由z1＝1－i，z2＝3－5i知Z1(1，－1)，Z2(3，－5)，


由两点间的距离公式得，


d＝eq \r(3－12＋－5＋12)＝2eq \r(5).


15.若复数z＝a＋i(a∈R)与它的共轭复数eq \x\t(z)所对应的向量互相垂直，则a＝________.


答案 ±1


解析 eq \x\t(z)＝a－i，因为复数z与它的共轭复数eq \x\t(z)所对应的向量互相垂直，所以a2＝1，所以a＝±1.


16.已知复数z1＝cs θ－i，z2＝sin θ＋i，则z1·z2的实部最大值为________，虚部最大值为________.(本题第一空2分，第二空3分)


答案 eq \f(3,2) eq \r(2)


解析 z1·z2＝(cs θ－i)·(sin θ＋i)


＝(cs θsin θ＋1)＋i(cs θ－sin θ)


实部cs θsin θ＋1＝1＋eq \f(1,2)sin 2θ≤eq \f(3,2)，最大值为eq \f(3,2)，


虚部cs θ－sin θ＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))≤eq \r(2)，最大值为eq \r(2).


四、解答题(本大题共6小题，共70分)


17.(10分)已知复数z1＝2－3i，z2＝eq \f(15－5i,2＋i2).求：


(1)z1z2；(2)eq \f(z1,z2).


解 z2＝eq \f(15－5i,2＋i2)＝eq \f(15－5i,3＋4i)＝eq \f(15－5i3－4i,3＋4i3－4i)


＝eq \f(25－75i,25)＝1－3i，


则(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.


(2)eq \f(z1,z2)＝eq \f(2－3i,1－3i)＝eq \f(2－3i1＋3i,1－3i1＋3i)


＝eq \f(11＋3i,10)＝eq \f(11,10)＋eq \f(3,10)i.


18.(12分)已知复数z满足(1＋2i)eq \x\t(z)＝4＋3i.


(1)求复数z；


(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.


解 (1)∵(1＋2i)eq \x\t(z)＝4＋3i，


∴eq \x\t(z)＝eq \f(4＋3i,1＋2i)＝eq \f(4＋3i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq \f(10－5i,5)＝2－i，∴z＝2＋i.


(2)由(1)知z＝2＋i，则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i，


∵复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－a＋12>0，,4a＋1>0，))解得－1