数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直导学案

这是一份数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直导学案，共13页。学案主要包含了异面直线所成的角，直线与直线垂直等内容，欢迎下载使用。

8.6.1 直线与直线垂直


学习目标 理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角.





知识点一 回顾两直线的位置关系


1.异面直线


(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.


(2)画法：





2.两条直线的位置关系





3.两个定理


(1)基本事实4


①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行.


②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒a∥c.


③作用：证明空间两条直线平行.


(2)等角定理


①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.


②作用：证明两个角相等或互补.


4.平面内两直线的夹角


(1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.


(2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.


知识点二 异面直线所成的角


1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).


2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.





1.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.( × )


2.异面直线所成角的大小与点O的位置无关，所以求解时，可根据需要合理选择该点.


( √ )


3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直.( √ )


4.不在某个平面内的两条直线为异面直线.( × )





一、异面直线所成的角


例1 如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：





(1)BE与CG所成的角；


(2)FO与BD所成的角.


解 (1)∵CG∥FB，


∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.


在Rt△EFB中，EF＝FB，


∴∠EBF＝45°，


∴BE与CG所成的角为45°.


(2)连接FH，





∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，


∴FB＝HD，FB∥HD，


∴四边形FBDH是平行四边形，


∴BD∥FH，


∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，


则△AFH是等边三角形，


又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，


∴FO与BD所成的角为30°.


反思感悟 求两异面直线所成角的三个步骤


(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.


(2)证：证明作出的角就是要求的角.


(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.


可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.


跟踪训练1 如图所示，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2eq \r(3)，AE＝2.





(1)求直线BC和EG所成的角；


(2)求直线AE和BG所成的角.


解 (1)连接AC(图略).∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角.


∵在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2eq \r(3)，


∴tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°，


∴直线BC和EG所成的角是45°.


(2)∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角.


易知tan∠FBG＝eq \r(3)，


∴∠FBG＝60°，


∴直线AE和BG所成的角是60°.


二、直线与直线垂直


例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B.





证明 如图，∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，


∴A1D1綉BC，


∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C，


∴直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角，


连接AC，AD1，易证AC＝AD1，


又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C，


∴AO⊥A1B.


反思感悟 要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直.


跟踪训练2如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.





证明 取CC′的中点F，连EF，BF，





∵E为AC的中点，F为CC′的中点，


∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角∠BEF


即为异面直线BE与AC′所成角，且EF＝eq \f(1,2)AC′.


在正三棱柱ABC－A′B′C′中，AC′＝2eq \r(2)，∴EF＝eq \r(2).


在等边△ABC中，BE＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，


在Rt△BCF中，BF＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5).


在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，


∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.





1.垂直于同一条直线的两条直线一定( )


A.平行 B.相交


C.异面 D.以上都有可能


答案 D


2.在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是( )


A.SB B.SC C.BC D.AB


答案 C


3.在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )


A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直


答案 A


解析 如图，在正方体AC1中，∵A1B∥D1C，





∴A1B与D1C可以确定平面A1BCD1，


又∵EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，


∴直线A1B与直线EF的位置关系是相交.


4.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为________.





答案 60°


解析 依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.


5.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________.





答案 60°


解析 连接BC1，AD1，


∵MN∥BC1∥AD1，


∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1.


∵△ACD1是等边三角形，∴∠D1AC＝60°.





1.知识清单：


(1)平面内两直线的夹角.


(2)异面直线所成的角.


(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直.


2.方法归纳：转化与化归.


3.常见误区：容易忽视异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°.








1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )


A.异面 B.平行


C.相交 D.以上都有可能


答案 D


解析 当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面或平行.


2.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是( )





A.l与AD平行


B.l与AB异面


C.l与CD所成的角为30°


D.l与BD垂直


答案 A


解析 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，


l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行.


由于AD∥B1C1，∴l必与直线AD不平行.


3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )


A.有无数条 B.有两条


C.至多有两条 D.有一条


答案 A


解析 如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角，除去两条与l共面的母线，其余都符合要求.





4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )


A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(7),2)


答案 C


解析 如图，连接BE，∵AB∥CD，





∴异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.


不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝eq \r(5)，AC＝2eq \r(2)，AE＝3.


∴AB2＋BE2＝AE2，∴AB⊥BE，


∴tan∠EAB＝eq \f(BE,AB)＝eq \f(\r(5),2).


5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线B1D1与CD所成角的大小是________.





答案 45°


6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________.


答案 eq \f(1,3)


解析 设棱长为1，∵A1B1∥C1D1，


∴∠AED1(或其补角)就是异面直线AE与A1B1所成的角.


在△AED1中，cs∠AED1＝eq \f(D1E,AE)＝eq \f(\f(1,2),\f(3,2))＝eq \f(1,3).


7.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝eq \r(2)，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________.





答案 60°


解析 因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，


则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角.


在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，连接BA1，


∵AB＝AC＝AA1＝1，∴BA1＝eq \r(2)，CA1＝eq \r(2).


∴△BCA1是等边三角形，


∴异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.


8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：





①AB⊥EF；


②AB与CM所成的角为60°；


③EF与MN是异面直线；


④MN∥CD.


以上结论正确的为________.(填序号)


答案 ①③


解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确.


9.P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝2eq \r(5)，D，E分别为PC，AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA与BC所成的角的大小.





解 如图，取AC的中点F，连接DF，EF，在△PAC中，





∵D是PC的中点，F是AC的中点，∴DF∥PA.


同理可得EF∥BC.


∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).


在△DEF中，DE＝3，


又DF＝eq \f(1,2)PA＝2，EF＝eq \f(1,2)BC＝eq \r(5)，


∴DE2＝DF2＋EF2，


∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.


10.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.证明：CD1⊥EF.





证明 如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.





∵E是BD1的中点，


∴EG∥BC，EG＝eq \f(1,2)BC，


∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，


∴DF∥BC，DF＝eq \f(1,2)BC，


∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，


∴EF∥DG，


∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.


又∵A1A＝AB，


∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，


又G为CD1的中点，


∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，


∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，


∴CD1⊥EF.





11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( )





A.直线AA1B.直线A1B1


C.直线A1D1D.直线B1C1


答案 D


解析 根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行.


∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确.


12.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________.





答案 5


解析 取AD的中点P，连接PM，PN，





则BD∥PM，AC∥PN，


∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，


∴∠MPN＝90°，


PN＝eq \f(1,2)AC＝4，PM＝eq \f(1,2)BD＝3，


∴MN＝5.


13.如图，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正弦值是________.





答案 eq \f(\r(30),6)


解析 ∵AD∥BC，∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角)，


连接D1C，在△D1BC中，





∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，


∴D1B＝2eq \r(6)，BC＝2，D1C＝2eq \r(5)，D1B2＝BC2＋D1C2，


∴∠D1CB＝90°，


∴sin∠D1BC＝eq \f(D1C,D1B)＝eq \f(2\r(5),2\r(6))＝eq \f(\r(30),6)，


故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是eq \f(\r(30),6).


14.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为________.


答案 15°或75°


解析 如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，





则EG∥AB且EG＝eq \f(1,2)AB，


GF∥CD且GF＝eq \f(1,2)CD，


由AB＝CD知EG＝FG，


从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角.


∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，


由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，


当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，


当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，


故EF与AB所成角的大小为15°或75°.








15.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq \r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为________.





答案 eq \f(\r(10),10)


解析 取AC的中点F，连接EF，BF.


在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，


∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).





在Rt△ABC中，BC＝eq \r(2)，AB＝AC，∴AB＝AC＝1.


在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)，∴BE＝eq \f(\r(5),2).


在Rt△AEF中，AF＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)，AE＝eq \f(1,2)，∴EF＝eq \f(\r(2),2).


在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq \f(1,2)，∴BF＝eq \f(\r(5),2).


在等腰三角形EBF中，cs∠FEB＝eq \f(\f(1,2)EF,BE)＝eq \f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(10),10)，


∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10).


16.在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝eq \r(3)，且AD⊥BC，BD＝eq \f(\r(13),2)，AC＝eq \f(\r(3),2)，求AC与BD所成的角的大小.


解 如图，在空间四边形ABCD中，分别取AB，AD，CD，AC的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GE，EH，HG.





由中位线的性质，


得EF綉eq \f(1,2)BD，FG綉eq \f(1,2)AC，


则∠EFG为BD与AC所成的角(或其补角)，


又EH∥BC，HG∥AD，且AD⊥BC，所以EH⊥HG，


所以EG2＝EH2＋HG2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)BC))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AD))2＝eq \f(1,4)×(eq \r(3))2＋eq \f(1,4)×12＝1.


在△EFG中，EF2＝eq \f(1,4)BD2＝eq \f(13,16)，FG2＝eq \f(1,4)AC2＝eq \f(3,16)，EG2＝EF2＋FG2＝1，所以∠EFG＝90°，


即AC与BD所成的角为90°.