2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 8.5.2　直线与平面平行

8.5.2　直线与平面平行

学习目标　1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行.

知识点一　直线与平面平行的判定定理

思考　(1)若一直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？

答案　不一定，也有可能直线在平面内，所以一定要强调直线在平面外.

(2)如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？

答案　平行或直线在平面内.

知识点二　直线与平面平行的性质定理

思考　如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线(　　)

A.只和这个平面内的一条直线平行

B.只和这个平面内的一条直线相交

C.和这个平面内的任何一条直线都平行

D.和这个平面内的任何一条直线都不相交

答案　D

1.若直线a与平面α不平行，则a与α相交.(　×　)

2.若直线l与平面α内的无数条直线不平行，则直线与平面α不平行.(　×　)

3.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.(　×　)

4.若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.(　×　)

一、直线与平面平行的判定定理的应用

例1　(1)如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是(　　)

A.相交   B.b∥α

C.b⊂α   D.b∥α或b⊂α

答案　D

解析　由a∥b且a∥α，知b∥α或b⊂α.

(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.

证明　连接BC1(图略)，

在△BCC1中，

∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，

又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，

∴四边形ABC1D1是平行四边形，

∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF⊄平面AD1G，

AD1⊂平面AD1G，∴EF∥平面AD1G.

反思感悟　利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等.

跟踪训练1　如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD.

证明　如图，取PD的中点G，连接GA，GN.

∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，

∴GN∥DC，GN＝DC.

∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，

∴AM＝DC，AM∥DC，

∴AM∥GN，AM＝GN，

∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.

又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

二、直线与平面平行的性质定理的应用

例2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.

证明　连接MO.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点.

又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.

又∵AP⊄平面BDM，

OM⊂平面BDM，

∴AP∥平面BDM.

又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.

反思感悟　线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行.

跟踪训练2　如图，在五面体EFABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF.

证明　∵AD∥BC，AD⊄平面BCEF，BC⊂平面BCEF，

∴AD∥平面BCEF，

∵AD⊂平面ADEF，平面ADEF∩平面BCEF＝EF，

∴AD∥EF.

1.(多选)已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，不能得出b∥α的是(　　)

A.b与α内的一条直线不相交

B.b与α内的两条直线不相交

C.b与α内的无数条直线不相交

D.b与α内的所有直线不相交

答案　ABC

2.下列命题：

①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；

②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；

③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行.

其中正确命题的个数为(　　)

A.0  B.1  C.2  D.3

答案　B

解析　②正确；①③错误.

3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是(　　)

A.平行  B.相交  C.异面  D.不确定

答案　A

4.如图，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)

A.EF与BC相交 B.EF∥BC

C.EF与BC异面 D.以上均有可能

答案　B

5.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为(　　)

A.都平行

B.都相交且一定交于同一点

C.都相交但不一定交于同一点

D.都平行或交于同一点

答案　A

解析　因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥….

1.知识清单：

(1)直线与平面平行的判定定理.

(2)直线与平面平行的性质定理.

2.方法归纳：化归与转化.

3.常见误区：注意定理中条件的严密性.

1.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面(　　)

A.有且只有一个

B.有无数多个

C.有且只有一个或不存在

D.不存在

答案　A

解析　在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的.

2.下列条件中能得出直线m与平面α平行的是(　　)

A.直线m与平面α内所有直线平行

B.直线m与平面α内无数条直线平行

C.直线m与平面α没有公共点

D.直线m与平面α内的一条直线平行

答案　C

解析　A，本身说法错误；B，当直线m在平面α内时，m与α不平行；C，能推出m与α平行；D，当直线m在平面α内时，m与α不平行.

3.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面(　　)

A.不可能作出   B.只能作出一个

C.能作出无数个   D.上述三种情况都存在

答案　D

解析　设直线外两点为A，B，若直线AB∥l，则过A，B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A，B没有平面与l平行.

4.如果a，b是两条异面直线，且a∥α，那么b与α的位置关系是(　　)

A.b∥α   B.b与α相交

C.b⊂α   D.不确定

答案　D

5.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　　)

A.平行   B.平行或异面

C.平行或相交   D.异面或相交

答案　B

解析　由AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，得CD∥α，

所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.

6.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有___条.

答案　0或1

解析　过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条.

7.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________.

答案　平行

解析　∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，∴A1C1∥平面ACE.

8.三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________.

答案　平行

解析　如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，

又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，

又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，

∴EG∥平面SBC.

9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BDD1B1.

证明　取D1B1的中点O，连接OF，OB(图略).

∵F为C1D1的中点，

∴OF∥B1C1且OF＝B1C1，

又BE∥B1C1，BE＝B1C1，

∴OF∥BE且OF＝BE，

∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO.

∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，

∴EF∥平面BDD1B1.

10.如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形.

证明　∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.

∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，

∴BC∥平面PAD.

∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE，

∴BC∥EF.

∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，

∴四边形BCFE是梯形.

11.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　)

A.BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形

B.EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C.HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形

D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形

答案　B

12.如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若＝＝，则与平面EFGH平行的直线有(　　)

A.0条  B.1条  C.2条  D.3条

答案　C

解析　∵＝，∴EF∥AB.

又EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH，

∴AB∥平面EFGH.

同理，由＝，

可证CD∥平面EFGH.

∴与平面EFGH平行的直线有2条.

13.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________.

答案　A1C1∥l

解析　因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，

所以AC∥平面A1B1C1D1.

又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l，

所以AC∥l.

又因为A1C1∥AC，所以A1C1∥l.

14.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.

答案　a

解析　∵MN∥平面AC，平面PMNQ∩平面AC＝PQ，

∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，

故PQ＝＝DP＝.

15.如图，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.

答案　平面ABC，平面ABD

解析　连接BN，AM，并延长交CD于点E.

由题意易得MN∥AB，MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，

∴MN∥平面ABC，MN∥平面ABD.

16.如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论.

解　存在点M，如图，当点M是线段AE的中点时，

PM∥平面BCE.

证明如下，取BE的中点N，连接CN，MN，

则MN∥AB且MN＝AB，

又PC∥AB且PC＝AB，

所以MN∥PC且MN＝PC，

所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.

因为PM⊄平面BCE，CN⊂平面BCE，

所以PM∥平面BCE.