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2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）以下列实数中，5的倒数是（ ）
A． B． C．5 D．﹣5
2．（3分）以下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）截至北京时间2020年7月2日，全球新冠肺炎现有确诊病例已经超过4260000例，数据4260000例用科学记数法表示为（ ）
A．4.26×106 B．426×104 C．4.26×107 D．42.6×106
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，D、E、F分别为AC、BC和AB边上的中点，则四边形BEDF的周长是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
5．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（ ）
尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
4
6
6
10
2
1
1
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．（3分）已知函数，当x＝﹣1时，y的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
7．（3分）如果通过平移使得直线y＝2x变化得到y＝2x﹣3，那么直线y＝2x必须（ ）
A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位
C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
8．（3分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＜k2x+c的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，，∠ABE＝30°，则DE的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
10．（3分）在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A．（1+n）2＝931 B．n（n﹣1）＝931 C．1+n+n2＝931 D．n+n2＝931
12．（3分）如图，点P的坐标为（4，4），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且∠APB＝90°，连接AB，OP，下列结论：
①PA＝PB；
②若OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形；
③四边形OAPB的面积与周长为定值；
④AB＞OP．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）因式分解：a2﹣4＝ ．
14．（3分）使分式有意义的x的取值范围是 ．
15．（3分）已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则该菱形面积是 ．
16．（3分）如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．如果AB＝3，BC＝4，则AF的长为 ．
17．（3分）如果关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是 ．
18．（3分）若a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两个不同的实数根，则a3﹣a2+5b﹣2＝ ．
三、解答题（本题共8小题）
19．（6分）．
20．（6分）解方程与不等式组：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）．
21．（8分）为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常满意：B级满意；C级：基本满意：D级：不满意），并将调查结果绘制成如两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是 ；
（2）图①中，∠α的度数是 ，并把图②条形统计图补充完整；
（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的户数约为多少户？
22．（8分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝3，AD＝2，求四边形BCED的周长．
23．（9分）如图：已知直线y＝x+2与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，与x轴、y轴交于点C、D．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求△OAB的面积；
（3）试判断△OAB的形状并证明．
24．（9分）随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
25．（10分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 ；
（2）如图2，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
（3）如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝2x在第一象限内交于点A（2，t）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过A点作直线AB平行x轴且交抛物线y＝ax2于点B，在x轴的正半轴上找一点C，使得OC＝AB，连接BC交y轴于点D，直线AD上是否存在一点Q使得△CAQ的面积与△CAB的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）以下列实数中，5的倒数是（ ）
A． B． C．5 D．﹣5
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【解答】解：5的倒数是．
故选：B．
2．（3分）以下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）截至北京时间2020年7月2日，全球新冠肺炎现有确诊病例已经超过4260000例，数据4260000例用科学记数法表示为（ ）
A．4.26×106 B．426×104 C．4.26×107 D．42.6×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：4260000＝4.26×106，
故选：A．
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，D、E、F分别为AC、BC和AB边上的中点，则四边形BEDF的周长是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【分析】根据三角形中位线定理、线段中点的定义计算，得到答案．
【解答】解：∵D、E分别为AC、BC边上的中点，
∴BE＝BC＝4，DE是△ACB的中位线，
∴DE＝AB＝3，
∵D、F分别为AC、AB边上的中点，
∴BF＝AB＝3，DF是△ABC的中位线，
∴DF＝BC＝4，
∴四边形BEDF的周长＝BE+DE+DF+BF＝4+3+4+3＝14，
故选：C．
5．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（ ）
尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
4
6
6
10
2
1
1
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板最关心的数据．
【解答】解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，
∴鞋店最喜欢的是众数．
故选：C．
6．（3分）已知函数，当x＝﹣1时，y的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】将x＝﹣1代入y＝﹣x+2中，求出y值即可得出结论．
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣x+2＝3．
故选：A．
7．（3分）如果通过平移使得直线y＝2x变化得到y＝2x﹣3，那么直线y＝2x必须（ ）
A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位
C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
【分析】根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案．
【解答】解：直线y＝2x向下平移3个单位得到y＝2x﹣3的图象，
故选：B．
8．（3分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＜k2x+c的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
【分析】y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x+c在同一平面直角坐标系中的交点是（1，﹣2），根据图象得到x＜1时不等式k1x+b＜k2x+c成立．
【解答】解：由图可得：l1与直线l2在同一平面直角坐标系中的交点是（1，﹣2），且x＜1时，直线l1的图象在直线l2的图象下方，故不等式k1x+b＜k2x+c的解集为：x＜1．
故选：B．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，，∠ABE＝30°，则DE的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝，∠A＝∠D＝90°，由直角三角形的性质和角平分线的性质可得∠DCE＝30°，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝，∠A＝∠D＝90°，
∵∠ABE＝30°，
∴∠AEB＝60°，
∴∠BED＝120°，
∵EC平分∠BED，
∴∠DEC＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴CD＝DE＝，
∴DE＝1，
故选：A．
10．（3分）在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别利用函数解析式分析图象得出答案．
【解答】解：由一次函数解析式为：y＝kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C错误；
D符合题意；
故选：D．
11．（3分）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A．（1+n）2＝931 B．n（n﹣1）＝931 C．1+n+n2＝931 D．n+n2＝931
【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有931人参与列出方程即可．
【解答】解：由题意，得
n2+n+1＝931，
故选：C．
12．（3分）如图，点P的坐标为（4，4），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且∠APB＝90°，连接AB，OP，下列结论：
①PA＝PB；
②若OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形；
③四边形OAPB的面积与周长为定值；
④AB＞OP．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【分析】过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AB与OP交于点C，由P（4，4），得出PN＝PM＝4，易证四边形MONP是正方形，得OM＝ON＝PN＝PM＝4，由ASA证得△MPB≌△NPA，得出PA＝PB，故①正确；由OP与AB的交点恰好是AB的中点，在Rt△APB中，PC是斜边AB的中线，在Rt△AOB中，OC是斜边AB的中线，得BC＝AC＝PC＝OC，则四边形OAPB是矩形，又PA＝PB，则四边形OAPB是正方形，故②正确；由△MPB≌△NPA，易证四边形OAPB的面积＝正方形PMON的面积＝16，BM＝AN，则OA+OB＝ON+OM＝8，PA＝PB，且PA和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误；由OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形，则AB＝OP，故④错误．
【解答】解：过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AB与OP交于点C，如图所示：
∵P（4，4），
∴PN＝PM＝4，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON＝∠PNO＝∠PMO＝90°，
∴∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，则四边形MONP是正方形，
∴OM＝ON＝PN＝PM＝4，
∵∠MPN＝∠APB＝90°，
∴∠MPB＝∠NPA，
在△MPB和△NPA中，，
∴△MPB≌△NPA（ASA），
∴PA＝PB，故①正确；
∵OP与AB的交点恰好是AB的中点，
∴BC＝AC，
在Rt△APB中，PC是斜边AB的中线，
∴PC＝BC，
在Rt△AOB中，OC是斜边AB的中线，
∴OC＝BC，
∴BC＝AC＝PC＝OC，
∴四边形OAPB是矩形，
∵PA＝PB，
∴四边形OAPB是正方形，故②正确；
∵△MPB≌△NPA，
∴四边形OAPB的面积＝四边形BONP的面积+△PNA的面积＝四边形BONP的面积+△PMB的面积＝正方形PMON的面积＝4×4＝16，
∵△MPB≌△NPA，
∴BM＝AN，
∴OA+OB＝ON+AN+OB＝ON+OM＝4+4＝8，
PA＝PB，且PA和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误；
∵OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形，
中AB＝OP，故④错误；
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）因式分解：a2﹣4＝ （a+2）（a﹣2） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a+2）（a﹣2）．
14．（3分）使分式有意义的x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．
【解答】解：根据题意得：2x﹣4≠0，
解得：x≠2．
故答案为x≠2．
15．（3分）已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则该菱形面积是 24 ．
【分析】由菱形的面积公式可求得答案．
【解答】解：
∵菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6×8＝24，
故答案为：24．
16．（3分）如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．如果AB＝3，BC＝4，则AF的长为 ．
【分析】根据矩形的性质得到∠FAC＝∠ACB，根据翻转变换的性质得到∠FCA＝∠ACB，得到∠FAC＝∠FCA，证明FA＝FC，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠FAC＝∠ACB，
由翻转变换的性质可知，∠FCA＝∠ACB，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
在Rt△CDF中，FC2＝DF2+CD2，即FA2＝（4﹣AF）2+32，
解得，AF＝，
故答案为：．
17．（3分）如果关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是 m≥﹣2且m≠﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m+1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（m+1）×（﹣1）≥0，然后求写出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m+1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（m+1）×（﹣1）≥0，
解得m≥﹣2且m≠﹣1．
故答案为m≥﹣2且m≠﹣1．
18．（3分）若a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两个不同的实数根，则a3﹣a2+5b﹣2＝ 3 ．
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2﹣a＝5，a+b＝1，进而可得出a3﹣a2＝5a，再结合a3﹣a2+5b﹣2＝5（a+b）﹣2即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两个不同的实数根，
∴a2﹣a＝5，a+b＝1，
∴a3﹣a2＝5a，
∴a3﹣a2+5b﹣2＝5a+5b﹣2＝5（a+b）﹣2＝5×1﹣2＝3．
故答案为：3．
三、解答题（本题共8小题）
19．（6分）．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+4﹣（﹣1）+1
＝2+4﹣+1+1
＝+6．
20．（6分）解方程与不等式组：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）．
【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）方程x2﹣2x﹣3＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，
可得x﹣3＝0或x+1＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（2），
由①得：x＞﹣2，
由②得：x＜5，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜5．
21．（8分）为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常满意：B级满意；C级：基本满意：D级：不满意），并将调查结果绘制成如两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是 60户 ；
（2）图①中，∠α的度数是 54° ，并把图②条形统计图补充完整；
（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的户数约为多少户？
【分析】（1）由B级别户数及其对应百分比可得答案；
（2）求出A级对应百分比可得∠α的度数，再求出C级户数即可把图2条形统计图补充完整；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）由图表信息可知本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数＝21÷35%＝60（户）
故答案为：60户；
（2）图1中，∠α的度数＝×360°＝54°； C级户数为：60﹣9﹣21﹣9＝21（户），
补全条形统计图如图2所示：
故答案为：54°；
（3）估计非常满意的人数约为×10000＝1500（户）．
22．（8分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝3，AD＝2，求四边形BCED的周长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE∥BC，推出四边形BCED是平行四边形，得到CE＝BD．根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得BD＝．根据平行四边形的周长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴CE＝BD．
∵CE＝AC，
∴AC＝BD．
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2，∠DAB＝90°，
∴BD＝＝＝，
由（1）得：四边形BCED是平行四边形，
∴DE＝BC＝2，CE＝BD＝，
∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）＝2×（2+）＝4+2．
23．（9分）如图：已知直线y＝x+2与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，与x轴、y轴交于点C、D．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求△OAB的面积；
（3）试判断△OAB的形状并证明．
【分析】（1）由直线和抛物线交点的求法求得点A、B的坐标；
（2）由三角形的面积公式解答；
（3）根勾股定理逆定理判定△OAB是直角三角形．
【解答】解：（1）由题意，得．
解得，，
故A（﹣1，1）、B（2，4）；
（2）由直线y＝x+2得到：D（0，2）．
所以△OAB的面积为：OD•|xB﹣xA|＝×2×3＝3，即△OAB的面积为3；
（3）△OAB是直角三角形．理由如下：
由A（﹣1，1）、B（2，4）知，AB2＝32+32＝18，OA2＝12+12＝2，OB2＝22+42＝20．
所以AB2+OA2＝OB2．
所以△OAB是直角三角形．
24．（9分）随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，根据每天生产口罩6500万件，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每天增长的百分率为x，
依题意，得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率为20%；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，
依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，
解得：m1＝4，m2＝25．
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m＝4．
答：应该增加4条生产线．
25．（10分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 菱形和正方形 ；
（2）如图2，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
（3）如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．
【分析】（1）根据垂美四边形的定义即可判断；
（2）结论：AD2+BC2＝AB2+CD2．利用勾股定理即可证明；
（3）连接CG、BE，只要证明四边形CGEB是垂美四边形，利用（2）中结论即可解决问题．
【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形．
故答案为：菱形和正方形．
（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
∵在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，CG＝AC＝3，BE＝AB＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝18+50﹣16＝52，
∴GE＝2，
∴OH＝GE＝．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝2x在第一象限内交于点A（2，t）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过A点作直线AB平行x轴且交抛物线y＝ax2于点B，在x轴的正半轴上找一点C，使得OC＝AB，连接BC交y轴于点D，直线AD上是否存在一点Q使得△CAQ的面积与△CAB的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用正比例函数解析式求出A点坐标，再把求得的A点坐标代入二次函数解析式中，便可求得抛物线的解析式；
（2）设P点的坐标为（m，0），分两种情况：当OA＝OP时；当OA＝PA时．列出m的方程便可求得结果；
（3）先用待定系数法求出直线BD、AC、AD的解析式，再分再种情况：当点Q与B点直线AC同旁时；当点Q与B在直线AC两旁时，分别求出Q点坐标便可．
【解答】解：（1）把A（2，t）代入y＝2x中，得t＝4，
∴A（2，4），
把A（2，4）代入y＝ax2中，得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2；
（2）设P点的坐标为（m，0），
当OA＝OP时，有m2＝22+42，
解得，m＝2，或m＝﹣2，
∴此时P点的坐标为P（﹣2，0）或（2，0）；
当OA＝PA时，有（m﹣2）2+42＝22+42，
解得，m＝0（舍），或m＝4，
∴此时P点坐标为（4，0），
综上，在x轴上是否存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形，其P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）或（4，0）；
（3）∵过A点作直线AB平行x轴且交抛物线y＝x2于点B，
∴B（﹣2，4），
∴AB＝4，
∵AB＝OC，
∴C（4，0），
设直线BC的解析式为：y＝cx+d（c≠0），则
，
解得，，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣，
∴D（0，），
同理得，AC的解析式为y＝﹣2x+8，
直线BO的解析式为y＝﹣2x，
直线AD的解析式为y＝，
∴OB∥AC，
当点Q与B点在直线AC同旁时，
∵△CAQ的面积与△CAB的面积相等，
∴BQ∥AC，
即Q点在OB上，为AD与OB的交点，
联立方程组y＝，
解得，，
∴此时Q（﹣1，2），
当点Q与B点直线AC两旁时，延长BA到E，使得AB＝AE＝4，过E作EQ′∥AC，与AD交于点Q′，
∴E（6，4），
∵△CAQ的面积与△CAB的面积相等，
∴EQ′∥AC，
∴设EQ′的解析式为y＝﹣2x+n，
把E（6，4）代入y＝﹣2x+n，得n＝16，
∴EQ′的解析式为y＝﹣2x+16，
联立方程组，
解得，，
∴Q′（5，6）；
综上，直线AD上存在一点Q使得△CAQ的面积与△CAB的面积相等，其Q点坐标为Q（﹣1，2）或（5，6）．
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）以下列实数中，5的倒数是（ ）
A． B． C．5 D．﹣5
2．（3分）以下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）截至北京时间2020年7月2日，全球新冠肺炎现有确诊病例已经超过4260000例，数据4260000例用科学记数法表示为（ ）
A．4.26×106 B．426×104 C．4.26×107 D．42.6×106
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，D、E、F分别为AC、BC和AB边上的中点，则四边形BEDF的周长是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
5．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（ ）
尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
4
6
6
10
2
1
1
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．（3分）已知函数，当x＝﹣1时，y的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
7．（3分）如果通过平移使得直线y＝2x变化得到y＝2x﹣3，那么直线y＝2x必须（ ）
A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位
C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
8．（3分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＜k2x+c的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，，∠ABE＝30°，则DE的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
10．（3分）在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A．（1+n）2＝931 B．n（n﹣1）＝931 C．1+n+n2＝931 D．n+n2＝931
12．（3分）如图，点P的坐标为（4，4），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且∠APB＝90°，连接AB，OP，下列结论：
①PA＝PB；
②若OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形；
③四边形OAPB的面积与周长为定值；
④AB＞OP．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）因式分解：a2﹣4＝ ．
14．（3分）使分式有意义的x的取值范围是 ．
15．（3分）已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则该菱形面积是 ．
16．（3分）如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．如果AB＝3，BC＝4，则AF的长为 ．
17．（3分）如果关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是 ．
18．（3分）若a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两个不同的实数根，则a3﹣a2+5b﹣2＝ ．
三、解答题（本题共8小题）
19．（6分）．
20．（6分）解方程与不等式组：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）．
21．（8分）为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常满意：B级满意；C级：基本满意：D级：不满意），并将调查结果绘制成如两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是 ；
（2）图①中，∠α的度数是 ，并把图②条形统计图补充完整；
（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的户数约为多少户？
22．（8分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝3，AD＝2，求四边形BCED的周长．
23．（9分）如图：已知直线y＝x+2与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，与x轴、y轴交于点C、D．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求△OAB的面积；
（3）试判断△OAB的形状并证明．
24．（9分）随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
25．（10分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 ；
（2）如图2，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
（3）如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝2x在第一象限内交于点A（2，t）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过A点作直线AB平行x轴且交抛物线y＝ax2于点B，在x轴的正半轴上找一点C，使得OC＝AB，连接BC交y轴于点D，直线AD上是否存在一点Q使得△CAQ的面积与△CAB的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）以下列实数中，5的倒数是（ ）
A． B． C．5 D．﹣5
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【解答】解：5的倒数是．
故选：B．
2．（3分）以下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）截至北京时间2020年7月2日，全球新冠肺炎现有确诊病例已经超过4260000例，数据4260000例用科学记数法表示为（ ）
A．4.26×106 B．426×104 C．4.26×107 D．42.6×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：4260000＝4.26×106，
故选：A．
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，D、E、F分别为AC、BC和AB边上的中点，则四边形BEDF的周长是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【分析】根据三角形中位线定理、线段中点的定义计算，得到答案．
【解答】解：∵D、E分别为AC、BC边上的中点，
∴BE＝BC＝4，DE是△ACB的中位线，
∴DE＝AB＝3，
∵D、F分别为AC、AB边上的中点，
∴BF＝AB＝3，DF是△ABC的中位线，
∴DF＝BC＝4，
∴四边形BEDF的周长＝BE+DE+DF+BF＝4+3+4+3＝14，
故选：C．
5．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（ ）
尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
4
6
6
10
2
1
1
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板最关心的数据．
【解答】解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，
∴鞋店最喜欢的是众数．
故选：C．
6．（3分）已知函数，当x＝﹣1时，y的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】将x＝﹣1代入y＝﹣x+2中，求出y值即可得出结论．
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣x+2＝3．
故选：A．
7．（3分）如果通过平移使得直线y＝2x变化得到y＝2x﹣3，那么直线y＝2x必须（ ）
A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位
C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
【分析】根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案．
【解答】解：直线y＝2x向下平移3个单位得到y＝2x﹣3的图象，
故选：B．
8．（3分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＜k2x+c的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
【分析】y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x+c在同一平面直角坐标系中的交点是（1，﹣2），根据图象得到x＜1时不等式k1x+b＜k2x+c成立．
【解答】解：由图可得：l1与直线l2在同一平面直角坐标系中的交点是（1，﹣2），且x＜1时，直线l1的图象在直线l2的图象下方，故不等式k1x+b＜k2x+c的解集为：x＜1．
故选：B．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，，∠ABE＝30°，则DE的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝，∠A＝∠D＝90°，由直角三角形的性质和角平分线的性质可得∠DCE＝30°，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝，∠A＝∠D＝90°，
∵∠ABE＝30°，
∴∠AEB＝60°，
∴∠BED＝120°，
∵EC平分∠BED，
∴∠DEC＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴CD＝DE＝，
∴DE＝1，
故选：A．
10．（3分）在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别利用函数解析式分析图象得出答案．
【解答】解：由一次函数解析式为：y＝kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C错误；
D符合题意；
故选：D．
11．（3分）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A．（1+n）2＝931 B．n（n﹣1）＝931 C．1+n+n2＝931 D．n+n2＝931
【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有931人参与列出方程即可．
【解答】解：由题意，得
n2+n+1＝931，
故选：C．
12．（3分）如图，点P的坐标为（4，4），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且∠APB＝90°，连接AB，OP，下列结论：
①PA＝PB；
②若OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形；
③四边形OAPB的面积与周长为定值；
④AB＞OP．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【分析】过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AB与OP交于点C，由P（4，4），得出PN＝PM＝4，易证四边形MONP是正方形，得OM＝ON＝PN＝PM＝4，由ASA证得△MPB≌△NPA，得出PA＝PB，故①正确；由OP与AB的交点恰好是AB的中点，在Rt△APB中，PC是斜边AB的中线，在Rt△AOB中，OC是斜边AB的中线，得BC＝AC＝PC＝OC，则四边形OAPB是矩形，又PA＝PB，则四边形OAPB是正方形，故②正确；由△MPB≌△NPA，易证四边形OAPB的面积＝正方形PMON的面积＝16，BM＝AN，则OA+OB＝ON+OM＝8，PA＝PB，且PA和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误；由OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形，则AB＝OP，故④错误．
【解答】解：过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AB与OP交于点C，如图所示：
∵P（4，4），
∴PN＝PM＝4，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON＝∠PNO＝∠PMO＝90°，
∴∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，则四边形MONP是正方形，
∴OM＝ON＝PN＝PM＝4，
∵∠MPN＝∠APB＝90°，
∴∠MPB＝∠NPA，
在△MPB和△NPA中，，
∴△MPB≌△NPA（ASA），
∴PA＝PB，故①正确；
∵OP与AB的交点恰好是AB的中点，
∴BC＝AC，
在Rt△APB中，PC是斜边AB的中线，
∴PC＝BC，
在Rt△AOB中，OC是斜边AB的中线，
∴OC＝BC，
∴BC＝AC＝PC＝OC，
∴四边形OAPB是矩形，
∵PA＝PB，
∴四边形OAPB是正方形，故②正确；
∵△MPB≌△NPA，
∴四边形OAPB的面积＝四边形BONP的面积+△PNA的面积＝四边形BONP的面积+△PMB的面积＝正方形PMON的面积＝4×4＝16，
∵△MPB≌△NPA，
∴BM＝AN，
∴OA+OB＝ON+AN+OB＝ON+OM＝4+4＝8，
PA＝PB，且PA和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误；
∵OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形，
中AB＝OP，故④错误；
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）因式分解：a2﹣4＝ （a+2）（a﹣2） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a+2）（a﹣2）．
14．（3分）使分式有意义的x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．
【解答】解：根据题意得：2x﹣4≠0，
解得：x≠2．
故答案为x≠2．
15．（3分）已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则该菱形面积是 24 ．
【分析】由菱形的面积公式可求得答案．
【解答】解：
∵菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6×8＝24，
故答案为：24．
16．（3分）如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．如果AB＝3，BC＝4，则AF的长为 ．
【分析】根据矩形的性质得到∠FAC＝∠ACB，根据翻转变换的性质得到∠FCA＝∠ACB，得到∠FAC＝∠FCA，证明FA＝FC，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠FAC＝∠ACB，
由翻转变换的性质可知，∠FCA＝∠ACB，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
在Rt△CDF中，FC2＝DF2+CD2，即FA2＝（4﹣AF）2+32，
解得，AF＝，
故答案为：．
17．（3分）如果关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是 m≥﹣2且m≠﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m+1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（m+1）×（﹣1）≥0，然后求写出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m+1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（m+1）×（﹣1）≥0，
解得m≥﹣2且m≠﹣1．
故答案为m≥﹣2且m≠﹣1．
18．（3分）若a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两个不同的实数根，则a3﹣a2+5b﹣2＝ 3 ．
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2﹣a＝5，a+b＝1，进而可得出a3﹣a2＝5a，再结合a3﹣a2+5b﹣2＝5（a+b）﹣2即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两个不同的实数根，
∴a2﹣a＝5，a+b＝1，
∴a3﹣a2＝5a，
∴a3﹣a2+5b﹣2＝5a+5b﹣2＝5（a+b）﹣2＝5×1﹣2＝3．
故答案为：3．
三、解答题（本题共8小题）
19．（6分）．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+4﹣（﹣1）+1
＝2+4﹣+1+1
＝+6．
20．（6分）解方程与不等式组：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）．
【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）方程x2﹣2x﹣3＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，
可得x﹣3＝0或x+1＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（2），
由①得：x＞﹣2，
由②得：x＜5，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜5．
21．（8分）为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常满意：B级满意；C级：基本满意：D级：不满意），并将调查结果绘制成如两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是 60户 ；
（2）图①中，∠α的度数是 54° ，并把图②条形统计图补充完整；
（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的户数约为多少户？
【分析】（1）由B级别户数及其对应百分比可得答案；
（2）求出A级对应百分比可得∠α的度数，再求出C级户数即可把图2条形统计图补充完整；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）由图表信息可知本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数＝21÷35%＝60（户）
故答案为：60户；
（2）图1中，∠α的度数＝×360°＝54°； C级户数为：60﹣9﹣21﹣9＝21（户），
补全条形统计图如图2所示：
故答案为：54°；
（3）估计非常满意的人数约为×10000＝1500（户）．
22．（8分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝3，AD＝2，求四边形BCED的周长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE∥BC，推出四边形BCED是平行四边形，得到CE＝BD．根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得BD＝．根据平行四边形的周长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴CE＝BD．
∵CE＝AC，
∴AC＝BD．
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2，∠DAB＝90°，
∴BD＝＝＝，
由（1）得：四边形BCED是平行四边形，
∴DE＝BC＝2，CE＝BD＝，
∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）＝2×（2+）＝4+2．
23．（9分）如图：已知直线y＝x+2与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，与x轴、y轴交于点C、D．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求△OAB的面积；
（3）试判断△OAB的形状并证明．
【分析】（1）由直线和抛物线交点的求法求得点A、B的坐标；
（2）由三角形的面积公式解答；
（3）根勾股定理逆定理判定△OAB是直角三角形．
【解答】解：（1）由题意，得．
解得，，
故A（﹣1，1）、B（2，4）；
（2）由直线y＝x+2得到：D（0，2）．
所以△OAB的面积为：OD•|xB﹣xA|＝×2×3＝3，即△OAB的面积为3；
（3）△OAB是直角三角形．理由如下：
由A（﹣1，1）、B（2，4）知，AB2＝32+32＝18，OA2＝12+12＝2，OB2＝22+42＝20．
所以AB2+OA2＝OB2．
所以△OAB是直角三角形．
24．（9分）随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，根据每天生产口罩6500万件，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每天增长的百分率为x，
依题意，得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率为20%；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，
依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，
解得：m1＝4，m2＝25．
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m＝4．
答：应该增加4条生产线．
25．（10分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 菱形和正方形 ；
（2）如图2，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
（3）如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．
【分析】（1）根据垂美四边形的定义即可判断；
（2）结论：AD2+BC2＝AB2+CD2．利用勾股定理即可证明；
（3）连接CG、BE，只要证明四边形CGEB是垂美四边形，利用（2）中结论即可解决问题．
【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形．
故答案为：菱形和正方形．
（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
∵在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，CG＝AC＝3，BE＝AB＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝18+50﹣16＝52，
∴GE＝2，
∴OH＝GE＝．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝2x在第一象限内交于点A（2，t）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过A点作直线AB平行x轴且交抛物线y＝ax2于点B，在x轴的正半轴上找一点C，使得OC＝AB，连接BC交y轴于点D，直线AD上是否存在一点Q使得△CAQ的面积与△CAB的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用正比例函数解析式求出A点坐标，再把求得的A点坐标代入二次函数解析式中，便可求得抛物线的解析式；
（2）设P点的坐标为（m，0），分两种情况：当OA＝OP时；当OA＝PA时．列出m的方程便可求得结果；
（3）先用待定系数法求出直线BD、AC、AD的解析式，再分再种情况：当点Q与B点直线AC同旁时；当点Q与B在直线AC两旁时，分别求出Q点坐标便可．
【解答】解：（1）把A（2，t）代入y＝2x中，得t＝4，
∴A（2，4），
把A（2，4）代入y＝ax2中，得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2；
（2）设P点的坐标为（m，0），
当OA＝OP时，有m2＝22+42，
解得，m＝2，或m＝﹣2，
∴此时P点的坐标为P（﹣2，0）或（2，0）；
当OA＝PA时，有（m﹣2）2+42＝22+42，
解得，m＝0（舍），或m＝4，
∴此时P点坐标为（4，0），
综上，在x轴上是否存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形，其P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）或（4，0）；
（3）∵过A点作直线AB平行x轴且交抛物线y＝x2于点B，
∴B（﹣2，4），
∴AB＝4，
∵AB＝OC，
∴C（4，0），
设直线BC的解析式为：y＝cx+d（c≠0），则
，
解得，，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣，
∴D（0，），
同理得，AC的解析式为y＝﹣2x+8，
直线BO的解析式为y＝﹣2x，
直线AD的解析式为y＝，
∴OB∥AC，
当点Q与B点在直线AC同旁时，
∵△CAQ的面积与△CAB的面积相等，
∴BQ∥AC，
即Q点在OB上，为AD与OB的交点，
联立方程组y＝，
解得，，
∴此时Q（﹣1，2），
当点Q与B点直线AC两旁时，延长BA到E，使得AB＝AE＝4，过E作EQ′∥AC，与AD交于点Q′，
∴E（6，4），
∵△CAQ的面积与△CAB的面积相等，
∴EQ′∥AC，
∴设EQ′的解析式为y＝﹣2x+n，
把E（6，4）代入y＝﹣2x+n，得n＝16，
∴EQ′的解析式为y＝﹣2x+16，
联立方程组，
解得，，
∴Q′（5，6）；
综上，直线AD上存在一点Q使得△CAQ的面积与△CAB的面积相等，其Q点坐标为Q（﹣1，2）或（5，6）．
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