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2019-2020学年山东省烟台市蓬莱市八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 解析版
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2019-2020学年山东省烟台市蓬莱市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共计36分，每题只有一个正确答案．）
1．（3分）若方程（a+3）x|a|﹣2+3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．±2 C．±3 D．3
2．（3分）下列不等式变形，不成立的是（ ）
A．若m＜n，则m+1＜n+1 B．若a2m＜a2n，则m＜n
C．若1﹣m＜1﹣n，则m＜n D．若m＜n，则＜
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）不等式（m﹣2）x＞2的解集是x＜，那么（ ）
A．m＜2 B．m＞2 C．m＞0 D．m＜0
5．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（ ）
A．m＝3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3
7．（3分）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝5，则a的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，则k的取值范围（ ）
A．k＞5 B．k＜5
C．k＞﹣5 D．以上答案都不对
9．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝5，将长方形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则AE的长为（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．3
10．（3分）如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm，△BDE的周长为（ ）cm．
A．12 B．14.1 C．16.2 D．7.05
11．（3分）如果不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，那么m的取值范围是（ ）
A．9＜m＜12 B．9≤m＜12 C．9＜m≤12 D．9≤m≤12
12．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M是AB边上的中点，点D、E分别是AC、BC边上的动点，连接DM、ME、CM、DE，DE与CM相交于点F且∠DME＝90°．则下列5个结论：
（1）图中共有两对全等三角形
（2）△DEM是等腰三角形；
（3）∠CDM＝∠CFE
（4）AD2+BE2＝DE2
（5）四边形CDME的面积发生改变．其中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空題（本题共6个小题，每小题3分，共计18分）
13．（3分）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+1）（b+1）的值是的 ．
14．（3分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为 ．
15．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，若m，n满足二元一次方程组，则m2﹣n2＝ ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是 ．
17．（3分）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，△ABP和△DCE全等．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB交BC于点E，交AC于点F，∠CDE＝∠ACB＝30°，BC＝DE，则∠ADF＝ ．
三、解答题（本题共7个小题，共计66分）
19．（6分）方程组与有相同的解，求a、b及方程组的解．
20．（12分）（1）解不等式3（x﹣1）＜5x+2，并在数轴上表示解集．
（2）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
（3）解不等式组：﹣3x＜1﹣x≤x+5．
21．（8分）是否存在这样的整数m，使得关于x，y的方程组的解满足x＜0且y＞0？若存在，求出整数m；若不存在，请说明理由．
22．（6分）如图，已知CD为∠ACB的平分线，AM⊥CD于M，∠B＝46°，∠BAM＝8°，求∠ACB的度数．
23．（8分）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G．
求证：（1）BF＝CG；
（2）AB+AC＝2AF．
24．（12分）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．
（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？
（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大棚的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？
25．（14分）问题探究：如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①BE、CF与EF之间的关系为：BE+CF EF；（填“＞”、“＝”或“＜”）
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
问题解决：如图2，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝130°，以D为顶点作∠EDF＝65°，∠EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
2019-2020学年山东省烟台市蓬莱市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共计36分，每题只有一个正确答案．）
1．（3分）若方程（a+3）x|a|﹣2+3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．±2 C．±3 D．3
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【解答】解：根据题意得：，
解得：a＝3．
故选：D．
2．（3分）下列不等式变形，不成立的是（ ）
A．若m＜n，则m+1＜n+1 B．若a2m＜a2n，则m＜n
C．若1﹣m＜1﹣n，则m＜n D．若m＜n，则＜
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、当m＜n，则m+1＜n+1，所以A选项的变形正确；
B、若a2m＜a2n，则a≠0，所以m＜n，所以B选项的变形正确；
C、若1﹣m＜1﹣n，则﹣m＜﹣n，所以m＞n，所以C选项的变形不正确；
D、若m＜n，则＜，所以D选项的变形正确．
故选：C．
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，
解不等式5﹣2x≥1得x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
故选：C．
4．（3分）不等式（m﹣2）x＞2的解集是x＜，那么（ ）
A．m＜2 B．m＞2 C．m＞0 D．m＜0
【分析】根据已知解集得到m﹣2为正数，即可确定出m的范围．
【解答】解：∵不等式（m﹣2）x＞2的解集是x＜，
∴m﹣2＜0，
解得：m＜2．
故选：A．
5．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】正方形的面积＝4×4＝16，三角形ABC面积＝16﹣＝5，所以落在△ABC内部的概率．
【解答】解：正方形的面积＝4×4＝16，
三角形ABC的面积＝16﹣＝5，
所以落在△ABC内部的概率是，
故选：D．
6．（3分）关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（ ）
A．m＝3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3
【分析】不等式组中第一个不等式求出解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可．
【解答】解：不等式组变形得：，
由不等式组的解集为x＜3，
得到m的范围为m≥3，
故选：D．
7．（3分）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝5，则a的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】解方程组得出，代入到x+y＝5得到关于a的方程，解之可得答案．
【解答】解：解方程组得，
又x+y＝5，
∴a﹣3+2＝5，
解得a＝6，
故选：A．
8．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，则k的取值范围（ ）
A．k＞5 B．k＜5
C．k＞﹣5 D．以上答案都不对
【分析】两方程相减可得x﹣y＝5﹣k，由x＞y知x﹣y＞0，据此可得5﹣k＞0，解之可得答案．
【解答】解：两方程相减可得x﹣y＝5﹣k，
∵x＞y，
∴x﹣y＞0，
则5﹣k＞0，
解得k＜5，
故选：B．
9．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝5，将长方形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则AE的长为（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．3
【分析】根据四边形ABCD是矩形，可得∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，由翻折可得∠CA′B＝∠A＝90°，A′B＝AB＝4，根据勾股定理可得A′C的长，进而可得AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，
由翻折可知：
∠CA′B＝∠A＝90°，A′B＝AB＝4，
∴A′C＝＝3，
∵A′E＝AE，
∴CE＝A′C+A′E＝3+AE，
又DE＝AD﹣AE＝5﹣AE，
在Rt△DEC中，根据勾股定理，得
DE2+CD2＝CE2，
即（5﹣AE）2+42＝（3+AE）2，
解得AE＝2．
则AE的长为2．
故选：C．
10．（3分）如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm，△BDE的周长为（ ）cm．
A．12 B．14.1 C．16.2 D．7.05
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵点P到△ABC三边的距离相等，
∴AP平分∠BAC，
∴∠DAP＝∠CAP，
∵DE∥AC，
∴∠DPA＝∠PAC，
∴∠DAP＝∠APD，
∴AD＝PD，
同理PE＝CE，
∴△BDE的周BD+DE+BE＝BD+PD+PE+BE＝BD+AD+BE+CE＝AB+BC＝14.1cm，
故选：B．
11．（3分）如果不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，那么m的取值范围是（ ）
A．9＜m＜12 B．9≤m＜12 C．9＜m≤12 D．9≤m≤12
【分析】先求出不等式的解集，再根据其正整数解列出不等式，解此不等式即可求解．
【解答】解：解不等式3x﹣m≤0得到：x≤，
∵正整数解为1，2，3，
∴3≤＜4，
解得9≤m＜12．
故选：B．
12．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M是AB边上的中点，点D、E分别是AC、BC边上的动点，连接DM、ME、CM、DE，DE与CM相交于点F且∠DME＝90°．则下列5个结论：
（1）图中共有两对全等三角形
（2）△DEM是等腰三角形；
（3）∠CDM＝∠CFE
（4）AD2+BE2＝DE2
（5）四边形CDME的面积发生改变．其中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠B＝45°，∠ACM＝∠MCB＝45°，CM＝AB＝AM＝BM，CM⊥AM，得出∠A＝∠B＝∠MCE＝∠ACM＝45°，∠AMC＝∠BMC＝90°，证明△ACM≌△BCM（SAS）；证出∠AMD＝∠CME，∠DMC＝∠EMB，证明△ADM≌△CEM（ASA），同理△CDM≌△BEM（ASA），（1）不正确；由全等三角形的性质得出DM＝EM，△DEM是等腰三角形，（2）正确；由等腰直角三角形的性质得出∠MDE＝∠MED＝45°，由三角形的外角性质得出∠CDM＝∠CFE，（3）正确；由全等三角形的性质得出AD＝CE，CD＝BE，由勾股定理得出CE2+CD2＝DE2，得出AD2+BE2＝DE2，（4）正确；证出四边形CDME的面积＝△ACM的面积＝△ABC的面积，（5）不正确；即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
又∵M是AB的中点，
∴∠ACM＝∠MCB＝45°，CM＝AB＝AM＝BM，CM⊥AM，
∴∠A＝∠B＝∠MCE＝∠ACM＝45°，∠AMC＝∠BMC＝90°，
在△ACM和△BCM中，，
∴△ACM≌△BCM（SAS）；
∵∠DME＝90°，
∴∠AMD＝∠CME，∠DMC＝∠EMB，
在△ADM与△CEM中，，
∴△ADM≌△CEM（ASA），
同理：△CDM≌△BEM（ASA），（1）不正确；
∵△ADM≌△CEM，
∴DM＝EM，
∴△DEM是等腰三角形，（2）正确；
∵∠DME＝90°，
∴△DEM是等腰直角三角形，
∴∠MDE＝∠MED＝45°，
∵∠CDM＝∠CDF+∠MDE＝∠CDF+45°，∠CFE＝∠DCF+∠CDF＝45°+∠CDF，
∴∠CDM＝∠CFE，（3）正确；
∵△ADM≌△CEM，△CDM≌△BEM，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵∠ACB＝90°，
∴CE2+CD2＝DE2，
∴AD2+BE2＝DE2，（4）正确；
∵△ADM≌△CEM，
∴四边形CDME的面积＝△ACM的面积＝△ABC的面积，
即四边形CDME的面积不发生改变，（5）不正确；
正确的结论有3个，
故选：B．
二、填空題（本题共6个小题，每小题3分，共计18分）
13．（3分）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+1）（b+1）的值是的 ﹣2 ．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：，
由①得，x＜，
由②得，x＞2b+3，
所以，不等式组的解集是2b+3＜x＜，
∵不等式组的解集是﹣1＜x＜1，
∴2b+3＝﹣1，＝1，
解得a＝1，b＝﹣2，
所以，（a+1）（b+1）＝（1+1）（﹣2+1）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（3分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为 x≤1 ．
【分析】将点P（m，3）代入y＝x+2，求出点P的坐标；结合函数图象可知当x≤1时x+2≤ax+c，即可求解；
【解答】解：点P（m，3）代入y＝x+2，
∴m＝1，
∴P（1，3），
结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1；
故答案为x≤1；
15．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，若m，n满足二元一次方程组，则m2﹣n2＝ 6 ．
【分析】利用关于x，y的二元一次方程组的解为得到m+n＝2，m﹣n＝3，两式相乘即可．
【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
把关于m，n满足二元一次方程组看作关于（m+n）和（m﹣n）的二元一次方程组，
∴，
∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝2×3＝6，
故答案为6．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是 2 ．
【分析】根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE＝30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，FD⊥AB，
∴∠ACB＝∠FDB＝90°，
∵∠F＝30°，
∴∠A＝∠F＝30°（同角的余角相等）．
又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，
∴∠EBA＝∠A＝30°，
∴直角△DBE中，BE＝2DE＝2．
故答案是：2．
17．（3分）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 1或7 秒时，△ABP和△DCE全等．
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP＝2t＝2和AP＝16﹣2t＝2即可求得．
【解答】解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，
根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP＝2t＝2，
所以t＝1，
因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP＝16﹣2t＝2，
解得t＝7．
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故答案为：1或7．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB交BC于点E，交AC于点F，∠CDE＝∠ACB＝30°，BC＝DE，则∠ADF＝ 45° ．
【分析】证明△ABC≌△CED（ASA），得出AC＝CD，由等腰三角形的性质得出求出∠CDA＝∠CAD＝75°，即可得出答案．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B＝90°，
∵∠CDE＝∠ACB＝30°，
∴∠CDE＝30°，
在△ABC和△CED中，，
∴△ABC≌△CED（ASA），
∴AC＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADF＝∠CDA﹣∠CDE＝45°；
故答案为：45°．
三、解答题（本题共7个小题，共计66分）
19．（6分）方程组与有相同的解，求a、b及方程组的解．
【分析】先组成新的方程组解出x，y的值．再由另一方程组求出a，b的值．
【解答】解：∵方程组与有相同的解，
∴得方程组，解得方程组的解，
∴，解得．
20．（12分）（1）解不等式3（x﹣1）＜5x+2，并在数轴上表示解集．
（2）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
（3）解不等式组：﹣3x＜1﹣x≤x+5．
【分析】（1）不等式去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可；
（3）已知不等式变形为不等式组，求出解集即可．
【解答】解：（1）去括号得：3x﹣3＜5x+2，
移项得：3x﹣5x＜2+3，
合并得：﹣2x＜5，
解得：x＞﹣，
（2），
由①得：x＜﹣3，
由②得：x≥﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5≤x＜﹣3，
则不等式组的整数解为﹣5，﹣4；
（3）变形得：，
由①得：x＞﹣，
由②得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为x＞﹣．
21．（8分）是否存在这样的整数m，使得关于x，y的方程组的解满足x＜0且y＞0？若存在，求出整数m；若不存在，请说明理由．
【分析】解方程组得出x、y，根据x＜0且y＞0列出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围即可得．
【解答】解：解方程组得：，
根据题意，得：，
解得：﹣2＜m＜1，
则整数m为﹣1，0．
22．（6分）如图，已知CD为∠ACB的平分线，AM⊥CD于M，∠B＝46°，∠BAM＝8°，求∠ACB的度数．
【分析】求出∠ADC，再利用三角形的外角的性质求出∠DCB即可解决问题．
【解答】解：∵AM⊥CD，
∴∠AMD＝90°，
∵∠DAM＝8°，
∴∠ADM＝82°，
∵∠ADM＝∠B+∠DCB，∠B＝46°，
∴∠DCB＝36°，
∵DC平分∠ACB，
∴∠ACB＝2×36°＝72°．
23．（8分）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G．
求证：（1）BF＝CG；
（2）AB+AC＝2AF．
【分析】（1）根据线段垂直平分线求出BE＝CE，根据角平分线性质求出EF＝GE，证出Rt△BFE≌Rt△CGE即可；
（2）求出△AFE≌△AGE，推出AF＝AG，即可得出答案．
【解答】证明：（1）
连接BE和CE，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠BFE＝∠EGC＝90°，EF＝EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF＝CG；
（2）∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠AFE＝∠AGE＝90°，∠FAE＝∠GAE，
在△AFE和△AGE中
∴△AFE≌△AGE（AAS），
∴AF＝AG，
∵BF＝CG，
∴（AB+AC）＝（AF﹣BF+AG+CG）
＝（AF+AF）
＝AF，
即AB+AC＝2AF．
24．（12分）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．
（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？
（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大棚的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？
【分析】（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，根据“改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8﹣m）个乙种型号大棚，根据改造时间不超过35天且改造费用不超过128万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各改造方案，再利用总价＝单价×数量分别求出三种方案所需改造费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元．
（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8﹣m）个乙种型号大棚，
依题意，得：，
解得：≤m≤．
∵m为整数，
∴m＝3，4，5，
∴共有3种改造方案，方案1：改造3个甲种型号大棚，5个乙种型号大棚；方案2：改造4个甲种型号大棚，4个乙种型号大棚；方案3：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚．
方案1所需费用12×3+18×5＝126（万元）；
方案2所需费用12×4+18×4＝120（万元）；
方案3所需费用12×5+18×3＝114（万元）．
∵114＜120＜126，
∴方案3改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是114万元．
25．（14分）问题探究：如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①BE、CF与EF之间的关系为：BE+CF ＞ EF；（填“＞”、“＝”或“＜”）
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
问题解决：如图2，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝130°，以D为顶点作∠EDF＝65°，∠EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）如图1中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），推出BE＝CH，利用三角形的三边关系即可解决问题．
（2）结论：EF2＝BE2+CF2．如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
（3）结论：EF＝BE+CF．利用旋转法构造全等三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵DE＝DH，FD⊥EH，
∴FE＝FH，
在△FCH中，∵CH+CF＞FH，
∴BE+CF＞EF．
故答案为＞．
（2）结论：EF2＝BE2+CF2．
理由：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，∠B＝∠DCH，
∵DE＝DH，FD⊥EH，
∴FE＝FH，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DCH＝90°，
∴∠FCH＝90°，
∴FH2＝CH2+CF2，
∴EF2＝BE2+CF2．
（3）如图3中，结论：EF＝BE+CF．
理由：∵DB＝DC，∠B+∠ACD＝180°，
∴可以将△DBE绕点D顺时针旋转得到△DCH，A，C，H共线．
∵∠BDC＝130°，∠EDF＝65°，
∴∠CDH+∠CDF＝∠BDE+∠CDF＝65°，
∴∠FDE＝∠FDH，
∵DF＝DF，DE＝DH，
∴△FDE≌△FDH（SAS），
∴EF＝FH，
∵FH＝CF+CH＝CF+BE，
∴EF＝BE+CF．
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共计36分，每题只有一个正确答案．）
1．（3分）若方程（a+3）x|a|﹣2+3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．±2 C．±3 D．3
2．（3分）下列不等式变形，不成立的是（ ）
A．若m＜n，则m+1＜n+1 B．若a2m＜a2n，则m＜n
C．若1﹣m＜1﹣n，则m＜n D．若m＜n，则＜
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）不等式（m﹣2）x＞2的解集是x＜，那么（ ）
A．m＜2 B．m＞2 C．m＞0 D．m＜0
5．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（ ）
A．m＝3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3
7．（3分）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝5，则a的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，则k的取值范围（ ）
A．k＞5 B．k＜5
C．k＞﹣5 D．以上答案都不对
9．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝5，将长方形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则AE的长为（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．3
10．（3分）如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm，△BDE的周长为（ ）cm．
A．12 B．14.1 C．16.2 D．7.05
11．（3分）如果不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，那么m的取值范围是（ ）
A．9＜m＜12 B．9≤m＜12 C．9＜m≤12 D．9≤m≤12
12．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M是AB边上的中点，点D、E分别是AC、BC边上的动点，连接DM、ME、CM、DE，DE与CM相交于点F且∠DME＝90°．则下列5个结论：
（1）图中共有两对全等三角形
（2）△DEM是等腰三角形；
（3）∠CDM＝∠CFE
（4）AD2+BE2＝DE2
（5）四边形CDME的面积发生改变．其中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空題（本题共6个小题，每小题3分，共计18分）
13．（3分）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+1）（b+1）的值是的 ．
14．（3分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为 ．
15．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，若m，n满足二元一次方程组，则m2﹣n2＝ ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是 ．
17．（3分）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，△ABP和△DCE全等．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB交BC于点E，交AC于点F，∠CDE＝∠ACB＝30°，BC＝DE，则∠ADF＝ ．
三、解答题（本题共7个小题，共计66分）
19．（6分）方程组与有相同的解，求a、b及方程组的解．
20．（12分）（1）解不等式3（x﹣1）＜5x+2，并在数轴上表示解集．
（2）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
（3）解不等式组：﹣3x＜1﹣x≤x+5．
21．（8分）是否存在这样的整数m，使得关于x，y的方程组的解满足x＜0且y＞0？若存在，求出整数m；若不存在，请说明理由．
22．（6分）如图，已知CD为∠ACB的平分线，AM⊥CD于M，∠B＝46°，∠BAM＝8°，求∠ACB的度数．
23．（8分）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G．
求证：（1）BF＝CG；
（2）AB+AC＝2AF．
24．（12分）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．
（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？
（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大棚的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？
25．（14分）问题探究：如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①BE、CF与EF之间的关系为：BE+CF EF；（填“＞”、“＝”或“＜”）
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
问题解决：如图2，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝130°，以D为顶点作∠EDF＝65°，∠EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
2019-2020学年山东省烟台市蓬莱市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共计36分，每题只有一个正确答案．）
1．（3分）若方程（a+3）x|a|﹣2+3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．±2 C．±3 D．3
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【解答】解：根据题意得：，
解得：a＝3．
故选：D．
2．（3分）下列不等式变形，不成立的是（ ）
A．若m＜n，则m+1＜n+1 B．若a2m＜a2n，则m＜n
C．若1﹣m＜1﹣n，则m＜n D．若m＜n，则＜
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、当m＜n，则m+1＜n+1，所以A选项的变形正确；
B、若a2m＜a2n，则a≠0，所以m＜n，所以B选项的变形正确；
C、若1﹣m＜1﹣n，则﹣m＜﹣n，所以m＞n，所以C选项的变形不正确；
D、若m＜n，则＜，所以D选项的变形正确．
故选：C．
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，
解不等式5﹣2x≥1得x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
故选：C．
4．（3分）不等式（m﹣2）x＞2的解集是x＜，那么（ ）
A．m＜2 B．m＞2 C．m＞0 D．m＜0
【分析】根据已知解集得到m﹣2为正数，即可确定出m的范围．
【解答】解：∵不等式（m﹣2）x＞2的解集是x＜，
∴m﹣2＜0，
解得：m＜2．
故选：A．
5．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】正方形的面积＝4×4＝16，三角形ABC面积＝16﹣＝5，所以落在△ABC内部的概率．
【解答】解：正方形的面积＝4×4＝16，
三角形ABC的面积＝16﹣＝5，
所以落在△ABC内部的概率是，
故选：D．
6．（3分）关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（ ）
A．m＝3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3
【分析】不等式组中第一个不等式求出解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可．
【解答】解：不等式组变形得：，
由不等式组的解集为x＜3，
得到m的范围为m≥3，
故选：D．
7．（3分）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝5，则a的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】解方程组得出，代入到x+y＝5得到关于a的方程，解之可得答案．
【解答】解：解方程组得，
又x+y＝5，
∴a﹣3+2＝5，
解得a＝6，
故选：A．
8．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，则k的取值范围（ ）
A．k＞5 B．k＜5
C．k＞﹣5 D．以上答案都不对
【分析】两方程相减可得x﹣y＝5﹣k，由x＞y知x﹣y＞0，据此可得5﹣k＞0，解之可得答案．
【解答】解：两方程相减可得x﹣y＝5﹣k，
∵x＞y，
∴x﹣y＞0，
则5﹣k＞0，
解得k＜5，
故选：B．
9．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝5，将长方形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则AE的长为（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．3
【分析】根据四边形ABCD是矩形，可得∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，由翻折可得∠CA′B＝∠A＝90°，A′B＝AB＝4，根据勾股定理可得A′C的长，进而可得AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，
由翻折可知：
∠CA′B＝∠A＝90°，A′B＝AB＝4，
∴A′C＝＝3，
∵A′E＝AE，
∴CE＝A′C+A′E＝3+AE，
又DE＝AD﹣AE＝5﹣AE，
在Rt△DEC中，根据勾股定理，得
DE2+CD2＝CE2，
即（5﹣AE）2+42＝（3+AE）2，
解得AE＝2．
则AE的长为2．
故选：C．
10．（3分）如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm，△BDE的周长为（ ）cm．
A．12 B．14.1 C．16.2 D．7.05
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵点P到△ABC三边的距离相等，
∴AP平分∠BAC，
∴∠DAP＝∠CAP，
∵DE∥AC，
∴∠DPA＝∠PAC，
∴∠DAP＝∠APD，
∴AD＝PD，
同理PE＝CE，
∴△BDE的周BD+DE+BE＝BD+PD+PE+BE＝BD+AD+BE+CE＝AB+BC＝14.1cm，
故选：B．
11．（3分）如果不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，那么m的取值范围是（ ）
A．9＜m＜12 B．9≤m＜12 C．9＜m≤12 D．9≤m≤12
【分析】先求出不等式的解集，再根据其正整数解列出不等式，解此不等式即可求解．
【解答】解：解不等式3x﹣m≤0得到：x≤，
∵正整数解为1，2，3，
∴3≤＜4，
解得9≤m＜12．
故选：B．
12．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M是AB边上的中点，点D、E分别是AC、BC边上的动点，连接DM、ME、CM、DE，DE与CM相交于点F且∠DME＝90°．则下列5个结论：
（1）图中共有两对全等三角形
（2）△DEM是等腰三角形；
（3）∠CDM＝∠CFE
（4）AD2+BE2＝DE2
（5）四边形CDME的面积发生改变．其中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠B＝45°，∠ACM＝∠MCB＝45°，CM＝AB＝AM＝BM，CM⊥AM，得出∠A＝∠B＝∠MCE＝∠ACM＝45°，∠AMC＝∠BMC＝90°，证明△ACM≌△BCM（SAS）；证出∠AMD＝∠CME，∠DMC＝∠EMB，证明△ADM≌△CEM（ASA），同理△CDM≌△BEM（ASA），（1）不正确；由全等三角形的性质得出DM＝EM，△DEM是等腰三角形，（2）正确；由等腰直角三角形的性质得出∠MDE＝∠MED＝45°，由三角形的外角性质得出∠CDM＝∠CFE，（3）正确；由全等三角形的性质得出AD＝CE，CD＝BE，由勾股定理得出CE2+CD2＝DE2，得出AD2+BE2＝DE2，（4）正确；证出四边形CDME的面积＝△ACM的面积＝△ABC的面积，（5）不正确；即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
又∵M是AB的中点，
∴∠ACM＝∠MCB＝45°，CM＝AB＝AM＝BM，CM⊥AM，
∴∠A＝∠B＝∠MCE＝∠ACM＝45°，∠AMC＝∠BMC＝90°，
在△ACM和△BCM中，，
∴△ACM≌△BCM（SAS）；
∵∠DME＝90°，
∴∠AMD＝∠CME，∠DMC＝∠EMB，
在△ADM与△CEM中，，
∴△ADM≌△CEM（ASA），
同理：△CDM≌△BEM（ASA），（1）不正确；
∵△ADM≌△CEM，
∴DM＝EM，
∴△DEM是等腰三角形，（2）正确；
∵∠DME＝90°，
∴△DEM是等腰直角三角形，
∴∠MDE＝∠MED＝45°，
∵∠CDM＝∠CDF+∠MDE＝∠CDF+45°，∠CFE＝∠DCF+∠CDF＝45°+∠CDF，
∴∠CDM＝∠CFE，（3）正确；
∵△ADM≌△CEM，△CDM≌△BEM，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵∠ACB＝90°，
∴CE2+CD2＝DE2，
∴AD2+BE2＝DE2，（4）正确；
∵△ADM≌△CEM，
∴四边形CDME的面积＝△ACM的面积＝△ABC的面积，
即四边形CDME的面积不发生改变，（5）不正确；
正确的结论有3个，
故选：B．
二、填空題（本题共6个小题，每小题3分，共计18分）
13．（3分）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+1）（b+1）的值是的 ﹣2 ．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：，
由①得，x＜，
由②得，x＞2b+3，
所以，不等式组的解集是2b+3＜x＜，
∵不等式组的解集是﹣1＜x＜1，
∴2b+3＝﹣1，＝1，
解得a＝1，b＝﹣2，
所以，（a+1）（b+1）＝（1+1）（﹣2+1）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（3分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为 x≤1 ．
【分析】将点P（m，3）代入y＝x+2，求出点P的坐标；结合函数图象可知当x≤1时x+2≤ax+c，即可求解；
【解答】解：点P（m，3）代入y＝x+2，
∴m＝1，
∴P（1，3），
结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1；
故答案为x≤1；
15．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，若m，n满足二元一次方程组，则m2﹣n2＝ 6 ．
【分析】利用关于x，y的二元一次方程组的解为得到m+n＝2，m﹣n＝3，两式相乘即可．
【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
把关于m，n满足二元一次方程组看作关于（m+n）和（m﹣n）的二元一次方程组，
∴，
∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝2×3＝6，
故答案为6．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是 2 ．
【分析】根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE＝30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，FD⊥AB，
∴∠ACB＝∠FDB＝90°，
∵∠F＝30°，
∴∠A＝∠F＝30°（同角的余角相等）．
又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，
∴∠EBA＝∠A＝30°，
∴直角△DBE中，BE＝2DE＝2．
故答案是：2．
17．（3分）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 1或7 秒时，△ABP和△DCE全等．
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP＝2t＝2和AP＝16﹣2t＝2即可求得．
【解答】解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，
根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP＝2t＝2，
所以t＝1，
因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP＝16﹣2t＝2，
解得t＝7．
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故答案为：1或7．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB交BC于点E，交AC于点F，∠CDE＝∠ACB＝30°，BC＝DE，则∠ADF＝ 45° ．
【分析】证明△ABC≌△CED（ASA），得出AC＝CD，由等腰三角形的性质得出求出∠CDA＝∠CAD＝75°，即可得出答案．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B＝90°，
∵∠CDE＝∠ACB＝30°，
∴∠CDE＝30°，
在△ABC和△CED中，，
∴△ABC≌△CED（ASA），
∴AC＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADF＝∠CDA﹣∠CDE＝45°；
故答案为：45°．
三、解答题（本题共7个小题，共计66分）
19．（6分）方程组与有相同的解，求a、b及方程组的解．
【分析】先组成新的方程组解出x，y的值．再由另一方程组求出a，b的值．
【解答】解：∵方程组与有相同的解，
∴得方程组，解得方程组的解，
∴，解得．
20．（12分）（1）解不等式3（x﹣1）＜5x+2，并在数轴上表示解集．
（2）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
（3）解不等式组：﹣3x＜1﹣x≤x+5．
【分析】（1）不等式去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可；
（3）已知不等式变形为不等式组，求出解集即可．
【解答】解：（1）去括号得：3x﹣3＜5x+2，
移项得：3x﹣5x＜2+3，
合并得：﹣2x＜5，
解得：x＞﹣，
（2），
由①得：x＜﹣3，
由②得：x≥﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5≤x＜﹣3，
则不等式组的整数解为﹣5，﹣4；
（3）变形得：，
由①得：x＞﹣，
由②得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为x＞﹣．
21．（8分）是否存在这样的整数m，使得关于x，y的方程组的解满足x＜0且y＞0？若存在，求出整数m；若不存在，请说明理由．
【分析】解方程组得出x、y，根据x＜0且y＞0列出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围即可得．
【解答】解：解方程组得：，
根据题意，得：，
解得：﹣2＜m＜1，
则整数m为﹣1，0．
22．（6分）如图，已知CD为∠ACB的平分线，AM⊥CD于M，∠B＝46°，∠BAM＝8°，求∠ACB的度数．
【分析】求出∠ADC，再利用三角形的外角的性质求出∠DCB即可解决问题．
【解答】解：∵AM⊥CD，
∴∠AMD＝90°，
∵∠DAM＝8°，
∴∠ADM＝82°，
∵∠ADM＝∠B+∠DCB，∠B＝46°，
∴∠DCB＝36°，
∵DC平分∠ACB，
∴∠ACB＝2×36°＝72°．
23．（8分）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G．
求证：（1）BF＝CG；
（2）AB+AC＝2AF．
【分析】（1）根据线段垂直平分线求出BE＝CE，根据角平分线性质求出EF＝GE，证出Rt△BFE≌Rt△CGE即可；
（2）求出△AFE≌△AGE，推出AF＝AG，即可得出答案．
【解答】证明：（1）
连接BE和CE，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠BFE＝∠EGC＝90°，EF＝EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF＝CG；
（2）∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠AFE＝∠AGE＝90°，∠FAE＝∠GAE，
在△AFE和△AGE中
∴△AFE≌△AGE（AAS），
∴AF＝AG，
∵BF＝CG，
∴（AB+AC）＝（AF﹣BF+AG+CG）
＝（AF+AF）
＝AF，
即AB+AC＝2AF．
24．（12分）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．
（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？
（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大棚的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？
【分析】（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，根据“改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8﹣m）个乙种型号大棚，根据改造时间不超过35天且改造费用不超过128万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各改造方案，再利用总价＝单价×数量分别求出三种方案所需改造费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元．
（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8﹣m）个乙种型号大棚，
依题意，得：，
解得：≤m≤．
∵m为整数，
∴m＝3，4，5，
∴共有3种改造方案，方案1：改造3个甲种型号大棚，5个乙种型号大棚；方案2：改造4个甲种型号大棚，4个乙种型号大棚；方案3：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚．
方案1所需费用12×3+18×5＝126（万元）；
方案2所需费用12×4+18×4＝120（万元）；
方案3所需费用12×5+18×3＝114（万元）．
∵114＜120＜126，
∴方案3改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是114万元．
25．（14分）问题探究：如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①BE、CF与EF之间的关系为：BE+CF ＞ EF；（填“＞”、“＝”或“＜”）
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
问题解决：如图2，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝130°，以D为顶点作∠EDF＝65°，∠EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）如图1中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），推出BE＝CH，利用三角形的三边关系即可解决问题．
（2）结论：EF2＝BE2+CF2．如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
（3）结论：EF＝BE+CF．利用旋转法构造全等三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵DE＝DH，FD⊥EH，
∴FE＝FH，
在△FCH中，∵CH+CF＞FH，
∴BE+CF＞EF．
故答案为＞．
（2）结论：EF2＝BE2+CF2．
理由：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，∠B＝∠DCH，
∵DE＝DH，FD⊥EH，
∴FE＝FH，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DCH＝90°，
∴∠FCH＝90°，
∴FH2＝CH2+CF2，
∴EF2＝BE2+CF2．
（3）如图3中，结论：EF＝BE+CF．
理由：∵DB＝DC，∠B+∠ACD＝180°，
∴可以将△DBE绕点D顺时针旋转得到△DCH，A，C，H共线．
∵∠BDC＝130°，∠EDF＝65°，
∴∠CDH+∠CDF＝∠BDE+∠CDF＝65°，
∴∠FDE＝∠FDH，
∵DF＝DF，DE＝DH，
∴△FDE≌△FDH（SAS），
∴EF＝FH，
∵FH＝CF+CH＝CF+BE，
∴EF＝BE+CF．
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