数学必修 第一册5.5 三角恒等变换精品第2课时2课时教案设计

这是一份数学必修 第一册5.5 三角恒等变换精品第2课时2课时教案设计，共15页。

第2课时 三角恒等变换的应用








题型一 三角恒等变换与三角函数性质的综合


【典例1】 已知函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))(x∈R)．


(1)求函数f(x)的最小正周期；


(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．


[思路导引] 先降幂，再用辅助角公式化为Asin(ωx＋φ)的形式，从而研究三角函数的性质．


[解] (1)∵f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))


＝eq \r(3)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))＋1－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))


＝2eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))－\f(1,2)cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))))＋1


＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))－\f(π,6)))＋1


＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1，


∴f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π.


(2)当f(x)取得最大值时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝1，


有2x－eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(π,2)，即x＝kπ＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，


∴所求x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x＝kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)).











(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．


(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．





[针对训练]


1．已知函数f(x)＝2eq \r(3)sin(x－3π)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5π,2)))－1，x∈R.


(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值；


(2)若f(x0)＝eq \f(6,5)，x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，求cs2x0的值．


[解] f(x)＝eq \r(3)(2sinxcsx)＋(2cs2x－1)


＝eq \r(3)sin2x＋cs2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).


(1)f(x)的最小正周期为π；最大值为2，最小值为－1.


(2)由(1)可知f(x0)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6))).


又∵f(x0)＝eq \f(6,5)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5).


由x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，得2x0＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6))))＝－eq \f(4,5)，


cs2x0＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))－\f(π,6)))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))cseq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))sineq \f(π,6)


＝eq \f(3－4\r(3),10).


题型二 三角恒等变换在实际生活中的应用


【典例2】 有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？


[思路导引] 在△AOB中利用∠AOB表示OA，AB的长，然后表示出矩形面积：2OA·OB，从而得到面积与角间的函数关系，再通过求函数的最值得到面积的最值．


[解] 画出图象如右图所示，设∠AOB＝θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))，





则AB＝asinθ，OA＝acsθ.


设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，即S＝2acsθ·asinθ＝a2·2sinθcsθ＝a2sin2θ.


∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2θ∈(0，π)，当2θ＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(π,4)时，Smax＝a2，此时，A，D距离O点都为eq \f(\r(2),2)a.














解决实际问题应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决．

















[针对训练]


2.某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如右图)．





[解] 连接OC，设∠COB＝θ，则0°<θ<45°，


OC＝1.


∵AB＝OB－OA＝csθ－AD





＝csθ－sinθ，


∴S矩形ABCD＝AB·BC


＝(csθ－sinθ)·sinθ


＝－sin2θ＋sinθcsθ


＝－eq \f(1,2)(1－cs2θ)＋eq \f(1,2)sin2θ


＝eq \f(1,2)(sin2θ＋cs2θ)－eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)cs(2θ－45°)－eq \f(1,2).


当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，Smax＝eq \f(\r(2)－1,2) (m2)．


∴割出的长方形桌面的最大面积为eq \f(\r(2)－1,2) m2.


课堂归纳小结


1．辅助角公式asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中φ满足：(1)φ与点(a，b)同象限；(2)tanφ＝eq \f(b,a)(或sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)))．


2．研究形如f(x)＝asinx＋bcsx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的


形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sinx±csx＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(π,4)))；sinx±eq \r(3)csx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(π,3)))等.





1．若函数f(x)＝sin2x－eq \f(1,2)(x∈R)，则f(x)是( )


A．最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数


B．最小正周期为π的奇函数


C．最小正周期为2π的偶函数


D．最小正周期为π的偶函数


[解析] ∵f(x)＝eq \f(1－cs2x,2)－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)cs2x


∴最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，且为偶函数．


[答案] D


2．函数y＝eq \f(1,2)sin2x＋sin2x，x∈R的值域是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)))


B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(1,2)))


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋\f(1,2)，\f(\r(2),2)＋\f(1,2)))


D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)－\f(1,2)，\f(\r(2),2)－\f(1,2)))


[解析] y＝eq \f(1,2)sin2x＋eq \f(1－cs2x,2)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋eq \f(1,2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋\f(1,2)，\f(\r(2),2)＋\f(1,2)))，故选C.


[答案] C


3．函数f(x)＝sinx(csx－sinx)的最小正周期是( )


A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C．π D．2π


[解析] 由f(x)＝sinx(csx－sinx)＝sinxcsx－sin2x＝eq \f(1,2)sin2x－eq \f(1－cs2x,2)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))－eq \f(1,2)，可得函数f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π，故选C.


[答案] C


4．函数f(x)＝sinx－csx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的最小值为______．


[解析] ∵f(x)＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sinx－\f(\r(2),2)csx))


＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，


∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，


∴f(x)的最小值为eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝－1


[答案] －1


课后作业(五十三)


复习巩固


一、选择题


1．函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sinxcsx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最大值是( )


A．1 B．2 C.eq \f(3,2) D．3


[解析] ∵f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sinxcsx


＝eq \f(1－cs2x,2)＋eq \f(\r(3),2)sin2x


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2).


又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).


即f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).


故f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最大值为eq \f(3,2).


故选C.


[答案] C


2．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋eq \r(3)cs(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )


A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)


[解析] f(x)＝sin(2x＋θ)＋eq \r(3)cs(2x＋θ)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋θ)).当θ＝eq \f(2,3)π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x是奇函数．


[答案] D


3．函数f(x)＝sinx－eq \r(3)csx(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(5π,6))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，－\f(π,6)))


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))


[解析] ∵f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，


∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)．


令k＝0得增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5,6)π)).


∵x∈[－π，0]，


∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，故选D.


[答案] D


4．设函数f(x)＝eq \r(3)cs2ωx＋sinωxcsωx＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为eq \f(π,6).则ω的值为( )


A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)


[解析] f(x)＝eq \f(\r(3),2)cs2ωx＋eq \f(1,2)sin2ωx＋eq \f(\r(3),2)＋a＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2)＋a，依题意得2ω·eq \f(π,6)＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，解之得ω＝eq \f(1,2).


[答案] B


5．已知函数f(x)＝eq \f(cs2x－1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0

A．函数f(x)的最大值为eq \r(3)，无最小值


B．函数f(x)的最小值为－eq \r(3)，最大值为0


C．函数f(x)的最大值为eq \f(\r(3),3)，无最小值


D．函数f(x)的最小值为－eq \r(3)，无最大值


[解析] 因为f(x)＝eq \f(cs2x－1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))))＝eq \f(cs2x－1,sin2x)＝eq \f(－2sin2x,2sinxcsx)＝－tanx，0

[答案] D


二、填空题


6．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2eq \r(2)sin2x的最小正周期是________．


[解析] f(x)＝eq \f(\r(2),2)sin2x－eq \f(\r(2),2)cs2x－eq \r(2)(1－cs2x)


＝eq \f(\r(2),2)sin2x＋eq \f(\r(2),2)cs2x－eq \r(2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))－eq \r(2)，


所以T＝eq \f(2π,2)＝π.


[答案] π


7．在△ABC中，若3cs2eq \f(A－B,2)＋5sin2eq \f(A＋B,2)＝4，则tanAtanB＝________.


[解析] 因为3cs2eq \f(A－B,2)＋5sin2eq \f(A＋B,2)＝4，


所以eq \f(3,2)cs(A－B)－eq \f(5,2)cs(A＋B)＝0，


所以eq \f(3,2)csAcsB＋eq \f(3,2)sinAsinB－eq \f(5,2)csAcsB＋


eq \f(5,2)sinAsinB＝0，


即csAcsB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝eq \f(1,4).


[答案] eq \f(1,4)


8．f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3,2)π))－3csx的最小值为________．


[解析] f(x)＝－cs2x－3csx＝－2cs2x－3csx＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csx＋\f(3,4)))2－eq \f(1,8)


∵－1≤csx≤1，∴当csx＝1时，f(x)min＝－4.


[答案] －4


三、解答题


9．已知函数f(x)＝(2cs2x－1)sin2x＋eq \f(1,2)cs4x.


(1)求f(x)的最小正周期及最大值；


(2)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且f(α)＝eq \f(\r(2),2)，求α的值．


[解] (1)∵f(x)＝(2cs2x－1)sin2x＋eq \f(1,2)cs4x


＝cs2xsin2x＋eq \f(1,2)cs4x


＝eq \f(1,2)(sin4x＋cs4x)


＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,4)))，


∴f(x)的最小正周期为eq \f(π,2)，最大值为eq \f(\r(2),2).


(2)∵f(α)＝eq \f(\r(2),2)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4α＋\f(π,4)))＝1，


∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


∴4α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4)，\f(17π,4))).


∴4α＋eq \f(π,4)＝eq \f(5π,2)，故α＝eq \f(9π,16).


10．已知f(x)＝5sinxcsx－5eq \r(3)cs2x＋eq \f(5,2)eq \r(3)(x∈R)．


(1)求f(x)的单调递增区间；


(2)求f(x)的对称轴、对称中心．


[解] f(x)＝eq \f(5,2)sin2x－5eq \r(3)×eq \f(1＋cs2x,2)＋eq \f(5\r(3),2)


＝eq \f(5,2)sin2x－eq \f(5\r(3),2)cs2x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).


(1)f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)＋kπ，\f(5,12)π＋kπ))(k∈Z)．


(2)对称轴方程是：x＝eq \f(1,2)kπ＋eq \f(5,12)π，(k∈Z)；对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)kπ＋\f(π,6)，0))(k∈Z)．


综合运用


11．函数y＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))－1( )


A．是奇函数


B．是偶函数


C．既是奇函数又是偶函数


D．既不是奇函数又不是偶函数


[解析] y＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))),2)－1


＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))))


＝eq \f(1,2)sin2x，是奇函数．故选A.


[答案] A


12．在△ABC中，若sinAsinB＝cs2eq \f(C,2)，则△ABC是( )


A．等边三角形 B．等腰三角形


C．不等边三角形 D．直角三角形


[解析] 由已知得，sinAsinB＝eq \f(1＋csC,2)，


又∵csC＝－cs(A＋B)，∴2sinAsinB＋cs(A＋B)＝1，∴cs(A－B)＝1，∵0

∴△ABC是等腰三角形，故选B.


[答案] B


13.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cs2θ的值等于________．





[解析] 题图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，故每个直角三角形的面积为6.设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝25，,\f(1,2)ab＝6，))所以两条直角边的长分别为3,4.则csθ＝eq \f(4,5)，cs2θ＝2cs2θ－1＝eq \f(7,25).


[答案] eq \f(7,25)


14．已知A＋B＝eq \f(2π,3)，那么cs2A＋cs2B的最大值是______，最小值是________．


[解析] ∵A＋B＝eq \f(2π,3)，


∴cs2A＋cs2B


＝eq \f(1,2)(1＋cs2A＋1＋cs2B)


＝1＋eq \f(1,2)(cs2A＋cs2B)


＝1＋cs(A＋B)cs(A－B)


＝1＋cseq \f(2π,3)·cs(A－B)


＝1－eq \f(1,2)cs(A－B)，


∴当cs(A－B)＝－1时，


原式取得最大值eq \f(3,2)；


当cs(A－B)＝1时，原式取得最小值eq \f(1,2).


[答案] eq \f(3,2) eq \f(1,2)


15.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100米，宽BC＝50eq \r(3)米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．





(1)设∠CHE＝x(弧度)，试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；


(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：eq \r(3)取1.732，eq \r(2)取1.414)．


[解] (1)∵在Rt△CHE中，CH＝50，∠C＝90°，∠CHE＝x，∴HE＝eq \f(50,csx).


在Rt△HDF中，HD＝50，∠D＝90°，∠DFH＝x，∴HF＝eq \f(50,sinx).


又∠EHF＝90°，∴EF＝eq \f(50,sinxcsx)，


∴三条路的全长(即△HEF的周长)


L＝eq \f(50sinx＋csx＋1,sinxcsx).


当点F在A点时，这时角x最小，


求得此时x＝eq \f(π,6)；


当点E在B点时，这时角x最大，


求得此时x＝eq \f(π,3).


故此函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))).


(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．


由(1)得L＝eq \f(50sinx＋csx＋1,sinxcsx)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，


设sinx＋csx＝t，则sinxcsx＝eq \f(t2－1,2)，


∴L＝eq \f(50t＋1,\f(t2－1,2))＝eq \f(100,t－1).


由t＝sinx＋csx＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，


x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，得eq \f(\r(3)＋1,2)≤t≤eq \r(2)，


从而eq \r(2)＋1≤eq \f(1,t－1)≤eq \r(3)＋1，


当x＝eq \f(π,4)，即CE＝50时，Lmin＝100(eq \r(2)＋1)，


∴当CE＝DF＝50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元．