人教A版 (2019)第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示精品第2课时2课时教案设计

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第2课时 函数概念的应用








1．理解两个函数为同一函数的概念．


2．会求一些简单函数的定义域、值域．





1．常见函数的定义域和值域





2.函数的三要素


由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、


对应关系和值域．


3．相同函数


值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域和对应关系相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们


不是相同的函数．





1．已知函数f(x)＝eq \r(x2－1).


(1)函数f(x)的定义域是什么？


(2)函数f(x)的值域是什么？


[答案] (1)(－∞，－1]∪[1，＋∞) (2)[0，＋∞)


2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( )


(2)两个函数相同指定义域和值域相同的函数．( )


(3)f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4是相同的函数．( )


(4)函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之对应．( )


(5)函数f(2x－1)的定义域指2x－1的取值范围．( )


[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×





题型一 同一函数的判断


【典例1】 下列各组式子是否表示同一函数？为什么？


(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝eq \r(t2)；


(2)y＝eq \r(x2)，y＝(eq \r(x))2；


(3)y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)，u＝eq \r(1－v2)；


(4)y＝eq \r(3－x2)，y＝x－3.


[思路导引] 两个函数表示同一函数的关键条件是定义域相同，对应关系一致．


[解] (1)f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝eq \r(t2)＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一函数．


(2)y＝eq \r(x2)的定义域为R，y＝(eq \r(x))2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝eq \r(x2)与y＝(eq \r(x))2不是同一函数．


(3)y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)的定义域为{x|－1≤x≤1}，u＝eq \r(1－v2)的定义域为{v|－1≤v≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)＝eq \r(1－x2)，∴两函数的对应关系也相同．故y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)与u＝eq \r(1－v2)是同一函数．


(4)∵y＝eq \r(3－x2)＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，


∴y＝eq \r(3－x2)与y＝x－3不是同一函数．








判断两个函数为同一函数的方法


判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．





[针对训练]


1．与函数y＝x－1为同一函数的是( )


A．y＝eq \f(x2－x,x) B．m＝(eq \r(n－1))2


C．y＝x－x0 D．y＝eq \r(3,t－13)


[解析] A中的x不能取0；B中的n≥1；C中的x不能取0；D化简以后为y＝t－1.故选D.


[答案] D


2．下列各组函数中是同一函数的是( )


A．y＝x＋1与y＝eq \f(x2－1,x－1)


B．y＝x2＋1与s＝t2＋1


C．y＝2x与y＝2x(x≥0)


D．y＝(x＋1)2与y＝x2


[解析] 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数．


[答案] B


题型二 求函数值和值域


【典例2】 (1)已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．


①求f(2)、g(2)的值；


②求f[g(3)]的值．


(2)求下列函数的值域：


①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；


②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；


③y＝eq \f(2x＋1,x－3)；


④y＝2x－eq \r(x－1).


[思路导引] (1)代入法求值；(2)结合解析式的特征选择适当的方法求值域．


[解] (1)①∵f(x)＝eq \f(1,1＋x)，∴f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3).


又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.


②g(3)＝32＋2＝11，


∴f[g(3)]＝f(11)＝eq \f(1,1＋11)＝eq \f(1,12).


(2)①(观察法)∵x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．


②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，


由x∈[0,3)，可得函数的值域为[2,6)．


③(分离常数法)y＝eq \f(2x＋1,x－3)＝eq \f(2x－3＋7,x－3)＝2＋eq \f(7,x－3)，


显然eq \f(7,x－3)≠0，∴y≠2.


故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．


④(换元法)设eq \r(x－1)＝t，


则t≥0，且x＝t2＋1.


∴y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))2＋eq \f(15,8).


∵t≥0，∴y≥eq \f(15,8).


故函数的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,8)，＋∞)).








(1)函数求值的方法


①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．


②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则．


(2)求函数值域常用的4种方法


①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；


②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；


③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；


④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋eq \r(cx＋d)(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．





[针对训练]


3．设函数f(x)＝eq \f(4,1－x)，若f(a)＝2，则实数a＝________.


[解析] 由f(a)＝eq \f(4,1－a)＝2，得a＝－1.


[答案] －1


4．求下列函数的值域：


(1)y＝eq \r(x)－1；


(2)y＝eq \f(5x－1,4x＋2)；


(3)y＝x＋eq \r(2x－1).


[解] (1)(观察法)


∵eq \r(x)≥0，∴eq \r(x)－1≥－1.


∴y＝eq \r(x)－1的值域为[－1，＋∞)．


(2)(分离常数法)


y＝eq \f(5x－1,4x＋2)＝eq \f(\f(5,4)4x＋2－1－\f(5,2),4x＋2)


＝eq \f(\f(5,4)4x＋2－\f(7,2),4x＋2)＝eq \f(5,4)－eq \f(7,24x＋2).


∵eq \f(7,24x＋2)≠0，∴y≠eq \f(5,4).


∴函数的值域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y|y≠\f(5,4))).


(3)(换元法)


设u＝eq \r(2x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,2)))，则x＝eq \f(1＋u2,2)(u≥0)，


∴y＝eq \f(1＋u2,2)＋u＝eq \f(u＋12,2)(u≥0)


由u≥0知(u＋1)2≥1，∴y≥eq \f(1,2).


∴函数y＝x＋eq \r(2x－1)的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).


题型三 求抽象函数的定义域


【典例3】 已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x＋1)的定义域．


[思路导引] 定义域是x的取值范围，f(x)中的x与f(2x＋1)中的2x＋1是相对应的．


[解] 因为函数f(x)的定义域为[1,3]，即x∈[1,3]，函数f(2x＋1)中2x＋1的范围与函数f(x)中x的范围相同，所以2x＋1∈[1,3]，所以x∈[0,1]，即函数f(2x＋1)的定义域是[0,1]．


[变式] (1)若将本例条件改为“函数f(2x＋1)的定义域为[1,3]”，求函数f(x)的定义域．


(2)若将本例条件改为“函数f(1－x)的定义域为[1,3]”，其他不变，如何求解？


[解] (1)因为x∈[1,3]，所以2x＋1∈[3,7]，即函数f(x)的定义域是[3,7]．


(2)因为函数f(1－x)的定义域为[1,3]，


所以x∈[1,3]，所以1－x∈[－2,0]，


所以函数f(x)的定义域为[－2,0]．


由2x＋1∈[－2,0]，得x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\f(1,2)))，


所以f(2x＋1)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\f(1,2))).





两类抽象函数的定义域的求法


(1)已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值集合即为f[g(x)]的定义域．


(2)已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域：若f[g(x)]的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域．





[针对训练]


5．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,3)))的定义域为________．


[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤2x≤1，,0≤x＋\f(2,3)≤1，))得0≤x≤eq \f(1,3)，所以函数f(2x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,3)))的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))).


[答案] eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))


6．若函数f(x2－1)的定义域为[－3，－1]，则f(x)的定义域为________．


[解析] 由x∈[－3，－1]，得x2－1∈[0,8]，所以f(x)的定义域为[0,8]．


[答案] [0,8]


课堂归纳小结


1．对同一函数的概念的理解


(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系．函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．


(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定


是同一函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．


2．求函数值域的常用方法有：观察法、配方法、分离常数法、换元法.





1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )


A．y＝x－1和y＝eq \f(x2－1,x＋1)


B．y＝x0和y＝1


C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2


D．f(x)＝eq \f(\r(x)2,x)和g(m)＝eq \f(m,\r(m)2)


[解析] A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.


[答案] D


2．设f(x)＝eq \f(x2－1,x2＋1)，则eq \f(f2,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))))＝( )


A．1 B．－1 C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)


[解析] eq \f(f2,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))))＝eq \f(\f(22－1,22＋1),\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋1))＝eq \f(\f(3,5),\f(－\f(3,4),\f(5,4)))＝eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)))＝－1.


[答案] B


3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )


A．y＝eq \r(x) B．y＝eq \f(1,\r(x))


C．y＝eq \f(1,x) D．y＝x2＋1


[解析] y＝eq \r(x)的值域为[0，＋∞)，y＝eq \f(1,x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．


[答案] B


4．已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝eq \f(f2x,x－1)的定义域是( )


A．[0,1] B．[0,1)


C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)


[解析] 由f(x)的定义域是[0,2]知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤2x≤2，x－1≠0，))


解得0≤x<1，所以g(x)＝eq \f(f2x,x－1)的定义域为[0,1)．


[答案] B


5．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．


[解析] ∵x∈{1,2,3,4,5}


∴f(x)＝2x－3∈{－1,1,3,5,7}．


∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．


[答案] {－1,1,3,5,7}


课后作业(十六)


复习巩固


一、选择题


1．已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，则f(2)＋f(－2)的值是( )


A．－1 B．0 C．1 D．2


[解析] f(2)＋f(－2)＝2＋eq \f(1,2)－2－eq \f(1,2)＝0.


[答案] B


2．下列函数，值域为[0，＋∞)的是( )


A．y＝x＋1(x>－1) B．y＝x2


C．y＝eq \f(1,x)(x>0) D．y＝eq \f(1,x＋1)


[解析] y＝x＋1(x>－1)的值域为(0，＋∞)；y＝x2的值域为[0，＋∞)；y＝eq \f(1,x)(x>0)的值域为(0，＋∞)；y＝eq \f(1,x＋1)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故选B.


[答案] B


3．下列函数与函数y＝x是同一函数的是( )


A．y＝|x| B．y＝eq \r(3,t3)


C．y＝eq \r(x2) D．y＝eq \f(v2,v)


[解析] 选项A和选项C中，函数的值域都是[0，＋∞)；选项D中，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)；选项B中函数的定义域和值域都和函数y＝x相同，对应关系也等价，因此选B.


[答案] B


4．已知函数f(x)的定义域为[－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为( )


A．[－1,2) B．[0,2)


C．[0,3) D．[－2,1)


[解析] ∵f(x)的定义域为[－1,2)，


∴－1≤x－1<2，得0≤x<3，


∴f(x－1)的定义域为[0,3)．


[答案] C


5．函数y＝eq \f(5x＋4,x－1)的值域是( )


A．(－∞，5) B．(5，＋∞)


C．(－∞，5)∪(5，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)


[解析] ∵y＝eq \f(5x＋4,x－1)＝eq \f(5x－1＋9,x－1)＝5＋eq \f(9,x－1)，且eq \f(9,x－1)≠0，∴y≠5，即函数的值域为(－∞，5)∪(5，＋∞)．


[答案] C


二、填空题


6．设函数f(x)＝x2－2x－1，若f(a)＝2，则实数a＝________.


[解析] 由f(a)＝2，得a2－2a－1＝2，解得a＝－1或a＝3.


[答案] －1或3


7．函数y＝eq \f(1,x－2)的定义域是A，函数y＝eq \r(x2＋2x－3)的值域是B，则A∩B＝__________________(用区间表示)．


[解析] 要使函数式y＝eq \f(1,x－2)有意义，只需x≠2，即A＝{x|x≠2}；函数y＝eq \r(x2＋2x－3)＝eq \r(x＋12－4)≥0，即B＝{y|y≥0}，则A∩B＝{x|0≤x<2或x>2}．


[答案] [0,2)∪(2，＋∞)


8．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))＋f(2x－1)的定义域是________．


[解析] 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<\f(x,2)<1，,－1<2x－1<1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2

∴0

[答案] (0,1)


三、解答题


9．已知函数f(x)＝x2＋x－1.


(1)求f(2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))，f(a＋1)；


(2)若f(x)＝5，求x.


[解] (1)f(2)＝22＋2－1＝5，


feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x2)＋eq \f(1,x)－1＝eq \f(1＋x－x2,x2)，


f(a＋1)＝(a＋1)2＋(a＋1)－1＝a2＋3a＋1.


(2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3.


10．求下列函数的值域：


(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；


(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；


(3)y＝eq \f(3－5x,x－2)；


(4)y＝x－eq \r(x＋1).


[解] (1)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴(2x＋1)∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．


(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.


∵x∈[1,5)，∴其图象如图所示，





当x＝2时，y＝2；当x＝5时，y＝11.


∴所求函数的值域为[2,11)．


(3)函数的定义域为{x|x≠1}，y＝eq \f(3－5x,x－2)＝－eq \f(5x－2＋7,x－2)＝－5－eq \f(7,x－2)，所以函数的值域为{y|y≠－5}．


(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t＝eq \r(x＋1)，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2－eq \f(5,4)，又t≥0，故y≥－eq \f(5,4)，所以函数的值域为{y|y≥－eq \f(5,4)}．


综合运用


11．函数f(x)＝eq \f(1,x2＋1)(x∈R)的值域是( )


A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]


[解析] 由于x∈R，所以x2＋1≥1,0

[答案] B


12．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为( )


A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2


C．f(x)＝eq \f(1,x) D．y＝|x|


[解析] 对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立．对于C选项，f(x＋1)＝eq \f(1,x＋1)，f(x)＋1＝eq \f(1,x)＋1，不成立．对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．


[答案] A


13．若函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，则函数f(1－3x)的定义域为________．


[解] 解法一(过渡搭桥)：因为f(2x－1)的定义域为[0,1)，即0≤x<1，所以－1≤2x－1<1.所以f(x)的定义域为[－1,1)．所以－1≤1－3x<1，解得0

解法二(整体求解)：由于函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，即0≤x<1，故－1≤2x－1<1.由于函数f(2x－1)与f(1－3x)中，2x－1与1－3x整体范围一致，故－1≤1－3x<1，解得0

[答案] eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))


14．若函数y＝eq \r(ax2＋2ax＋3)的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是________．


[解析] 函数y＝eq \r(ax2＋2ax＋3)的值域为[0，＋∞)，则函数f(x)＝ax2＋2ax＋3的值域要包括0，即最小值要小于等于0.则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，Δ＝4a2－12a≥0))，解得a≥3.所以a的取值范围是[3，＋∞)．


[答案] [3，＋∞)


15．已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).


(1)求f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的值．


(2)求证：f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))是定值．


(3)求f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2019)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))的值．


[解] (1)因为f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)，


所以f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(22,1＋22)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝1，


f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(32,1＋32)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝1.


(2)证明：f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2)


＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(x2＋1,x2＋1)＝1.


(3)由(2)知f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，


所以f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，


f(4)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，…，f(2019)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))＝1.


所以f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2019)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))＝2018.