人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优秀巩固练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优秀巩固练习，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．设5π<θ<6π，cseq \f(θ,2)＝a，那么sineq \f(θ,4)等于( )


A．－eq \f(\r(1＋a),2) B．－eq \f(\r(1－a),2)


C．－ eq \r(\f(1＋a,2)) D．－ eq \r(\f(1－a,2))


[解析] ∵eq \f(5π,4)

＝－eq \r(\f(1－a,2))，故选D.


[答案] D


2．若α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)，2π))，则 eq \r(\f(1＋cs2α,2))－ eq \r(\f(1－cs2α,2))等于( )


A．csα－sinα B．csα＋sinα


C．－csα＋sinα D．－csα－sinα


[解析] 原式＝ eq \r(\f(1＋2cs2α－1,2))－eq \r(\f(1－1－2sin2α,2))


＝|csα|－|sinα|


∵α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)，2π))，∴csα>0，sinα<0，


∴原式＝csα＋sinα.


[答案] B


3．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝( )


A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(7,9)


[解析] cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－1.


∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(π,2)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3).


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2－1＝－eq \f(7,9).故选A.


[答案] A


4．化简eq \f(sin4α,4sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝( )


A．sin2α B．cs2α


C．sinα D．csα


[解析] ∵4sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))


＝4cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))


＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))


＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))


＝2cs2α，


∴原式＝eq \f(sin4α,2cs2α)＝eq \f(2sin2αcs2α,2cs2α)＝sin2α.


[答案] A


5．若csα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))的值为( )


A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．2 D．－2


[解析] 由csα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，可得sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3,5).


所以eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq \f(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2),cs\f(α,2)－sin\f(α,2))＝eq \f(1＋sinα,csα)＝eq \f(1－\f(3,5),－\f(4,5))


＝－eq \f(1,2).


[答案] A


二、填空题


6．若tanx＝eq \r(2)，则eq \f(2cs2\f(x,2)－sinx－1,sinx＋csx)＝________.


[解析] 原式＝eq \f(csx－sinx,csx＋sinx)＝eq \f(1－tanx,1＋tanx)＝eq \f(1－\r(2),1＋\r(2))


＝eq \f(1－\r(2)2,－1)＝2eq \r(2)－3.


[答案] 2eq \r(2)－3


7.eq \f(\r(3)tan12°－3,sin12°4cs212°－2)＝__________.


[解析] 原式＝eq \f(\f(\r(3)sin12°－3cs12°,cs12°),sin12°·2cs24°)


＝eq \f(\r(3)sin12°－3cs12°,sin24°cs24°)


＝eq \f(4\r(3)sin12°cs60°－cs12°sin60°,2sin24°cs24°)


＝eq \f(4\r(3)sin－48°,sin48°)＝－4eq \r(3).


[答案] －4eq \r(3)


8．若tanα＝2taneq \f(π,5)，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝________.


[解析] eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10)＋\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))


＝eq \f(sinαcs\f(π,5)＋csαsin\f(π,5),sinαcs\f(π,5)－csαsin\f(π,5))＝eq \f(\f(sinα,csα)cs\f(π,5)＋sin\f(π,5),\f(sinα,csα)cs\f(π,5)－sin\f(π,5))


＝eq \f(2·\f(sin\f(π,5),cs\f(π,5))cs\f(π,5)＋sin\f(π,5),2·\f(sin\f(π,5),cs\f(π,5))cs\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq \f(3sin\f(π,5),sin\f(π,5))＝3.


[答案] 3


三、解答题


9．求证：eq \f(2sinxcsx,sinx＋csx－1sinx－csx＋1)＝eq \f(1＋csx,sinx).


[证明] 左边＝


eq \f(2sinxcsx,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)－2sin2\f(x,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)＋2sin2\f(x,2))))


＝eq \f(2sinxcsx,4sin2\f(x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(x,2)－sin2\f(x,2))))


＝eq \f(sinx,2sin2\f(x,2))＝eq \f(cs\f(x,2),sin\f(x,2))＝eq \f(2cs2\f(x,2),2sin\f(x,2)cs\f(x,2))


＝eq \f(1＋csx,sinx)＝右边．


∴原等式成立．


10．已知sinα＋sinβ＝eq \f(3,5)，csα＋csβ＝eq \f(4,5)，0<α<β<π，求α－β的值．


[解] 因为(sinα＋sinβ)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2，


(csα＋csβ)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2，


以上两式展开两边分别相加得2＋2cs(α－β)＝1，


所以cs(α－β)＝－eq \f(1,2)，


又因为0<α<β<π，－π<α－β<0，


所以α－β＝－eq \f(2π,3).


综合运用


11．已知sinα＋csα＝eq \f(1,3)，则2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝( )


A.eq \f(8,9) B.eq \f(17,18) C．－eq \f(8,9) D．－eq \f(2,3)


[解析] sinα＋csα＝eq \f(1,3)，两边平方可得


1＋sin2α＝eq \f(1,9)，可得sin2α＝－eq \f(8,9)，


2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝sin2α＝－eq \f(8,9).


[答案] C


12．若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sin2θ＝eq \f(3\r(7),8)，则sinθ等于( )


A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(\r(7),4) D.eq \f(3,4)


[解析] 因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，


所以2θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


故cs2θ≤0，所以cs2θ＝－eq \r(1－sin22θ)


＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(7),8)))2)＝－eq \f(1,8).


又cs2θ＝1－2sin2θ，


所以sin2θ＝eq \f(1－cs2θ,2)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8))),2)＝eq \f(9,16).


又θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以sinθ＝eq \f(3,4)，故选D.


[答案] D


13．设α为第四象限角，且eq \f(sin3α,sinα)＝eq \f(13,5)，则tan2α＝________.


[解析] ∵α为第四象限的角，∴sinα<0，csα>0


∵eq \f(sin3α,sinα)＝eq \f(sin2α＋α,sinα)＝eq \f(sin2αcsα＋cs2αsinα,sinα)


＝2cs2α＋cs2α＝4cs2α－1＝eq \f(13,5)


∴csα＝eq \f(3\r(10),10)，sinα＝－eq \f(\r(10),10)，tanα＝－eq \f(1,3)，


∴tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝－eq \f(3,4).


[答案] －eq \f(3,4)


14．化简tan70°cs10°(eq \r(3)tan20°－1)＝__________.


[解析] 原式＝eq \f(sin70°,cs70°)cs10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)\f(sin20°,cs20°)－1))


＝2eq \f(sin70°,cs70°)cs10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin20°－\f(1,2)cs20°))·eq \f(1,cs20°)


＝2eq \f(cs20°,sin20°)·cs10°sin(20°－30°)·eq \f(1,cs20°)


＝2eq \f(cs10°,sin20°)·sin(－10°)＝－eq \f(2sin10°cs10°,sin20°)＝－1


[答案] －1


15．已知cs2θ＝eq \f(7,25)，eq \f(π,2)<θ<π，


(1)求tanθ的值．


(2)求eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sinθ,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))的值．


[解] (1)∵cs2θ＝eq \f(7,25)，∴eq \f(cs2θ－sin2θ,cs2θ＋sin2θ)＝eq \f(7,25)，


∴eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq \f(7,25)，解得tanθ＝±eq \f(3,4)，


∵eq \f(π,2)<θ<π，∴tanθ＝－eq \f(3,4).


(2)eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sinθ,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(1＋csθ＋sinθ,csθ＋sinθ)，


∴eq \f(π,2)<θ<π，tanθ＝－eq \f(3,4)，


∴sinθ＝eq \f(3,5)，csθ＝－eq \f(4,5)，


∴eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sinθ,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(1＋csθ＋sinθ,csθ＋sinθ)＝eq \f(1－\f(4,5)＋\f(3,5),－\f(4,5)＋\f(3,5))＝－4.