人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件精品课时作业

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件精品课时作业，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )


A．充分条件 B．必要条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


[解析] 逆命题“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件．


[答案] B


2．设x∈R，则“x>eq \f(1,2)”是“2x2＋x－1>0”的( )


A．充分而不必要条件


B．必要而不充分条件


C．充分必要条件


D．既不充分也不必要条件


[解析] 不等式2x2＋x－1>0，即(x＋1)(2x－1)>0，解得x>eq \f(1,2)或x<－1，所以由x>eq \f(1,2)可以得到不等式2x2＋x－1>0成立，但由2x2＋x－1>0不一定得到x>eq \f(1,2)，所以“x>eq \f(1,2)”是“2x2＋x－1>0”的充分而不必要条件．


[答案] A


3．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )


A．m＝－2 B．m＝2


C．m＝－1 D．m＝1


[解析] 函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是－eq \f(m,2×1)＝1，即m＝－2，故选A.


[答案] A


4．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，则p是q的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


[解析] 由{x|x>5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件．


[答案] B


5．若x，y∈R，则“x≤1，y≤1”是“x2＋y2≤1”成立的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


[解析] 因为若x，y∈R，x≤1，y≤1，则x2＋y2≤1不一定成立，所以充分性不成立．若x2＋y2≤1，则可得x≤1且y≤1，所以必要性成立．


[答案] B


二、填空题


6．“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)


[答案] 充要


7．如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．


[解析] 由题意可知：1≤x≤2⇒x≤m，反之不成立，所以m≥2，即m的最小值为2.


[答案] 2


8．下列命题中是真命题的是________(填序号)．


①x>2且y>3是x＋y>5的充要条件；


②“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件；


③b2－4ac<0是ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R的充要条件；


④三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形．


[解析] ①因为由x>2且y>3⇒x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以x>2且y>3是x＋y>5的充分不必要条件．②因为由x>1⇒|x|>0，而由|x|>0不能推出x>1，所以x>1是|x|>0的充分不必要条件．③因为由b2－4ac<0不能推出ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R(a>0时解集为∅)，而由ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇒b2－4ac<0，所以b2－4ac<0是ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R的必要不充分条件．④由三角形的三边满足勾股定理⇒此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形⇒该三角形的三边满足勾股定理，故②④是真命题．


[答案] ②④


三、解答题


9．已知p：0

[解] 设x1，x2是方程mx2－2x＋3＝0的两个根，


则方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≠0，,Δ＝4－4×3×m>0，⇔00，))


因此，p是q的充要条件．


10．求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．


[解] eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋kx＋1＝0，,x2＋x＋k＝0，))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x2＋xx＋1＝0，,x2＋x＋k＝0，))


⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x3＝0，,x2＋x＋k＝0，))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,k＝－2.))


所以两方程有一公共实根的充要条件为k＝－2.


综合运用


11．“a>b”是“a>|b|”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．既是充分条件，也是必要条件


D．既不充分也不必要条件


[解析] 若a>b，不如令a＝1，b＝－2，则a>|b|不成立，所以充分性不成立，若a>|b|，则有a>b，所以“a>b”是“a>|b|”的必要不充分条件．


[答案] B


12．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )


A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件


B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件





C．丙是甲的充要条件


D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件


[解析] 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙 eq \(⇒,/)丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲 eq \(⇒,/)丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．





[答案] A


13．“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．


[解析] |x－1|<2⇒－1

[答案] 必要不充分


14．设p：eq \f(1,2)≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．


[解析] ∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤\f(1,2),a＋1≥1))，解得0≤a≤eq \f(1,2).


[答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤a≤\f(1,2)))))


15．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.


[证明] ①必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，


则xeq \\al(2,0)＋2ax0＋b2＝0，xeq \\al(2,0)＋2cx0－b2＝0，


两式相减，可得x0＝eq \f(b2,c－a)，


将此式代入xeq \\al(2,0)＋2ax0＋b2＝0整理得b2＋c2＝a2，


故A＝90°.


②充分性：∵A＝90°，∴b2＋c2＝a2，∴b2＝a2－c2.


将此式代入方程x2＋2ax＋b2＝0，


可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，


即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0，


将b2＝a2－c2代入方程x2＋2cx－b2＝0，


可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，


即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0，


故两方程有公共根x＝－(a＋c)．


∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.