数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀当堂检测题

这是一份数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀当堂检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．用“五点法”作y＝2sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )


A．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π B．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3,4)π，π


C．0，π，2π，3π，4π D．0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)


[解析] 由五点作图法，令2x＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π，解得x＝0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3,4)π，π.


[答案] B


2．函数y＝－csx(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1)) B．(π，1)


C．(0,1) D．(2π，1)


[解析] 用五点作图法作出函数y＝－csx(x>0)的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)．





[答案] B


3．函数y＝－sinx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的简图是( )





[解析] 将x＝－eq \f(π,2)代入y＝－sinx中，


得y＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝sineq \f(π,2)＝1.


故排除A、B、C，故选D.


[答案] D


4．使不等式eq \r(2)－2sinx≥0成立的x的取值集合是( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))))


B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(7π,4)，k∈Z))))


C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))


D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(7π,4)，k∈Z))))


[解析] ∵eq \r(2)－2sinx≥0，∴sinx≤eq \f(\r(2),2)，作出y＝sinx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(π,2)))内的图象，如图所示，则满足条件的x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,4)，\f(π,4))).∴使不等式成立的x的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))).





[答案] C


5．方程x＋sinx＝0的根有( )


A．0个 B．1个


C．2个 D．无数个


[解析] 设f(x)＝－x，g(x)＝sinx，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示．由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点，则方程x＋sinx＝0仅有一个根．





[答案] B


二、填空题


6．已知函数f(x)＝3＋2csx的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，b))，则b＝________.


[解析] 由题意知，b＝3＋2cseq \f(π,3)＝3＋2×eq \f(1,2)＝4.


[答案] 4


7．不等式csx<0，x∈[0,2π]的解集为________．


[解析] 由y＝csx，x∈[0,2π]的图象知csx<0的解为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)

[答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)

8．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－eq \f(1,2)的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝________.


[解析] 解法一：y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－eq \f(1,2)的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)，－\f(1,2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,6)，－\f(1,2)))，故x1＋x2＝eq \f(7π,6)＋eq \f(11π,6)＝eq \f(18π,6)＝3π.


解法二：∵A、B两点关于x＝eq \f(3π,2)对称，∴x1＋x2＝2×eq \f(3π,2)＝3π.


[答案] 3π


三、解答题


9．用“五点法”作出函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(11π,6)))的图象．


[解] 找出五个关键点，列表如下：


描点并将它们用光滑的曲线连接起来．





10．求函数y＝ eq \r(sinx－\f(1,2))＋eq \r(csx)的定义域．


[解] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx－\f(1,2)≥0，,csx≥0，))


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx≥\f(1,2)，,2kπ－\f(π,2)≤x≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z.))


所以2kπ＋eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即函数y＝eq \r(sinx－\f(1,2))＋eq \r(csx)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．


综合运用


11．函数y＝csx＋|csx|，x∈[0,2π]的大致图象为( )








[解析] y＝csx＋|csx|


＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2csx，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，,0，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，))故选D.


[答案] D


12．方程|x|＝csx在(－∞，＋∞)内( )


A．没有根 B．有且仅有一个根


C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根


[解析] 求解方程|x|＝csx在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝csx在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．


f(x)＝|x|和g(x)＝csx的图象显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．故选C.


[答案] C


13．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx，x≥0，,x＋2，x<0，))则不等式f(x)>eq \f(1,2)的解集是________．


[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝eq \f(1,2)的图象，由图易得－eq \f(3,2)

[答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)

14．关于三角函数的图象，有下列命题：


①y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称；


②y＝cs(－x)与y＝cs|x|的图象相同；


③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；





④y＝csx与y＝cs(－x)的图象关于y轴对称．


其中正确命题的序号是________．


[解析] 对②，y＝cs(－x)＝csx，y＝cs|x|＝csx，故其图象相同；对④，y＝cs(－x)＝csx，故其图象关于y轴对称，由作图可知①③均不正确．


[答案] ②④


15．若函数y＝2csx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．





[解] 观察图可知，图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形；有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2csx的图象与直线y＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC的面积，因为|OA|＝2，|OC|＝2π，


所以S矩形OABC＝2×2π＝4π.


所以所求封闭图形的面积为4π.


u＝x＋eq \f(π,6)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
－eq \f(π,6)
eq \f(π,3)
eq \f(5π,6)
eq \f(4π,3)
eq \f(11π,6)
y＝csu
1
0
－1
0
1