高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制精品测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制精品测试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．－eq \f(10π,3)转化为角度是( )


A．－300° B．－600°


C．－900° D．－1200°


[解析] 由于－eq \f(10π,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(10π,3)×\f(180,π)))°＝－600°，所以选B.


[答案] B


2．与30°角终边相同的角的集合是( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝k·360°＋\f(π,6)，k∈Z))))


B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝2kπ＋30°，k∈Z))


C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z))


D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f(π,6)，k∈Z))))


[解析] ∵与30°角终边相同的角表示为α＝k·360°＋30°，k∈Z，化为弧度为α＝2kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，∴选D.


[答案] D


3．下列说法正确的是( )


A．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系


B．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应


C．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同


D．－120°的弧度数是eq \f(2π,3)


[解析] A项中，零角的弧度数为0，故A项错误；B项是正确的；C项中，用角度制和弧度制度量零角时，单位不同，但数量相同(都是0)，故C项错误；－120°对应的弧度数是－eq \f(2π,3)，故D项错误．故选B.


[答案] B


4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )


A．2 B．4


C．6 D．8


[解析] 设扇形所在圆的半径为R，则2＝eq \f(1,2)×4×R2，∴R2＝1，∴R＝1.∴扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.故选C.


[答案] C


5．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )





[解析] 当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋eq \f(π,4)≤α≤2mπ＋eq \f(π,2)，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋eq \f(5π,4)≤α≤2mπ＋eq \f(3π,2)，m∈Z.故选C.


[答案] C


二、填空题


6．将－1485°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是_________．


[解析] ∵－1485°＝－5×360°＋315°，而315°＝eq \f(7,4)π，


∴应填－10π＋eq \f(7,4)π.


[答案] －10π＋eq \f(7,4)π


7．若扇形的半径为1，圆心角为3弧度，则扇形的面积为________．


[解析] 由于扇形面积S＝eq \f(1,2)αr2＝eq \f(1,2)×3×12＝eq \f(3,2)，故扇形的面积为eq \f(3,2).


[答案] eq \f(3,2)


8．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是__________________________．


[解析] 设两个角的弧度数分别为x，y.因为1°＝eq \f(π,180) rad，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1,x－y＝\f(π,180).))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)＋\f(π,360),y＝\f(1,2)－\f(π,360)，))所以所求两角的弧度数分别为eq \f(1,2)＋eq \f(π,360)，eq \f(1,2)－eq \f(π,360).


[答案] eq \f(1,2)＋eq \f(π,360)，eq \f(1,2)－eq \f(π,360)


三、解答题


9．已知α＝1690°.


(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；


(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．


[解] (1)1690°＝1440°＋250°


＝4×360°＋250°＝4×2π＋eq \f(25,18)π.


(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋eq \f(25,18)π(k∈Z)．


又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋eq \f(25,18)π<4π，


∴－eq \f(97,36)

∴θ的值是－eq \f(47,18)π，－eq \f(11,18)π，eq \f(25,18)π，eq \f(61,18)π.


10．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为eq \f(2π,3).求：


(1)这个圆心角所对的弧长；


(2)这个扇形的面积．


[解] (1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为eq \f(2π,3)，所以半径r＝eq \f(1,sin\f(π,3))＝eq \f(2\r(3),3)，


所以这个圆心角所对的弧长l＝eq \f(2\r(3),3)×eq \f(2π,3)＝eq \f(4\r(3)π,9).


(2)由(1)得扇形的面积S＝eq \f(1,2)×eq \f(2\r(3),3)×eq \f(4\r(3)π,9)＝eq \f(4π,9).


综合运用


11．把－eq \f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )


A．－eq \f(3π,4) B．－eq \f(π,4)


C.eq \f(π,4) D.eq \f(3π,4)


[解析] ∵－eq \f(11π,4)＝－2π－eq \f(3π,4)，∴－eq \f(11π,4)与－eq \f(3π,4)是终边相同的角，且此时eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))＝eq \f(3π,4)是最小的．


[答案] A


12．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于( )


A．∅


B．{α|－4≤α≤π}


C．{α|0≤α≤π}


D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}


[解析] A集合中满足B集合范围的只有k＝0或k＝－1的一部分，即只有D选项满足．故选D.


[答案] D


13．若角α，β的终边关于直线y＝x对称，且α＝eq \f(π,6)，则在0～4π内满足要求的β＝________.


[解析] 由角α，β的终边关于直线y＝x对称，及α＝eq \f(π,6)，可得β＝－α＋eq \f(π,2)＋2kπ＝eq \f(π,3)＋2kπ，令k＝0,1可得结果．


[答案] eq \f(π,3)，eq \f(7π,3)


14．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．


[解析] 设原来圆的半径为r，弧长为l，弧所对的圆心角为α，则现在的圆的半径为3r弧长为l，设弧所对的圆心角为β，于是l＝αr＝β·3r，∴β＝eq \f(1,3)α.


[答案] eq \f(1,3)


15．如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转eq \f(π,3)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq \f(π,6)弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．





[解] 设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，


则t·eq \f(π,3)＋t·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝2π.解得t＝4.


所以第一次相遇时所用的时间是4秒．


第一次相遇时点P已经运动到角eq \f(π,3)·4＝eq \f(4π,3)的终边与圆交点的位置，点Q已经运动到角－eq \f(2π,3)的终边与圆交点的位置，所以点P走过的弧长为eq \f(4π,3)×4＝eq \f(16π,3)，


点Q走过的弧长为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))×4＝eq \f(2π,3)×4＝eq \f(8π,3).