高中数学3.3 幂函数优秀课时练习

这是一份高中数学3.3 幂函数优秀课时练习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )





[解析] y＝x eq \s\up15( eq \f (2,3)) ＝eq \r(3,x2)，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．


[答案] D


2．设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (3,4)) ，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) eq \s\up15( eq \f (3,4)) ，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2)) eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，则a，b，c的大小关系是( )


A．a>b>cB．c>a>b


C．ac>a


[解析] 构造幂函数y＝x eq \s\up15( eq \f (3,4)) ，x>0，由该函数在定义域内单调递增，知1>a>b；又c＝2 eq \s\up15( eq \f (1,2)) >1，知aa>b.


[答案] B


3．函数y＝xeq \f(5,3)的图象大致是图中的( )





[解析] ∵函数y＝x eq \s\up15( eq \f (5,3)) 是奇函数，且α＝eq \f(5,3)>1，∴函数在R上单调递增．故选B.


[答案] B


4．若幂函数y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的图象不过原点，且关于原点对称，则( )


A．m＝－2B．m＝－1


C．m＝－2或m＝－1D．－3≤m≤－1


[解析] 根据幂函数的概念，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1或m＝－2.若m＝－1，则y＝x－4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m＝－2，则y＝x－3，其图象不过原点，且关于原点对称．


[答案] A


5．下列结论中，正确的是( )


A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)


B．幂函数的图象可以出现在第四象限


C．当幂指数α取1,3，eq \f(1,2)时，幂函数y＝xα是增函数


D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数


[解析] 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．故选C.


[答案] C


二、填空题


6．若y＝ax eq \s\up15(a2－eq \f(1,2)) 是幂函数，则该函数的值域是________．


[解析] 由已知y＝ax eq \s\up15(a2－eq \f(1,2)) 是幂函数，得a＝1，所以y＝x eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，所以y≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．


[答案] [0，＋∞)


7．函数y＝3xα－2的图象过定点________．


[解析] 依据幂函数y＝xα性质，x＝1时，y＝1恒成立，所以函数y＝3xα－2中，x＝1时，y＝1恒成立，即过定点(1,1)．


[答案] (1,1)


8．已知当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xα的图象恒在直线y＝x的上方，则α的取值范围是________．


[解析] 由幂函数的图象特征知α>1.


[答案] (1，＋∞)


三、解答题


9．已知幂函数y＝f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(2),2)))，试求出此函数的解析式，判断奇偶性．


[解] 设y＝xα(α∈R)，∵图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(2),2)))，


∴2α＝eq \f(\r(2),2)，α＝－eq \f(1,2)，∴f(x)＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) .


∵函数y＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) ＝eq \f(1,\r(x))，定义域为(0，＋∞)，函数为非奇非偶函数．


10．已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2

①是区间(0，＋∞)上的增函数；


②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.


求同时满足①，②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．


[解] 因为m∈{x|－2

所以m＝－1,0,1.


因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，


即f(－x)＝－f(x)，


所以f(x)是奇函数．


当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件①而不满足条件②；


当m＝1时，f(x)＝x0条件①、②都不满足．


当m＝0时，f(x)＝x3条件①、②都满足，且在区间[0,3]上是增函数．


所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．


综合运用


11．已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于( )


A．0B．1


C．2D．3


[解析] ∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5<0(m∈N)，则m＝0或m＝1，当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数，不合题意．当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，因此m＝1，故选B.


[答案] B


12．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－eq \f(1,a)的图象可能是( )





[解析] 当a<0时，函数y＝ax－eq \f(1,a)是减函数，且在y轴上的截距－eq \f(1,a)>0，y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，∴A、D项均不正确．对于B、C项，若a>0则y＝ax－eq \f(1,a)是增函数，B项错，C项正确，故选C.


[答案] C


13.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )





A．n

B．m

C．n>m>0


D．m>n>0


[解析] 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.当x＝2时，2m>2n，所以n

[答案] A


14．已知函数f(x)＝x eq \s\up15(eq \f(1－α,3)) 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.


[解析] 取值验证．α＝1时，y＝x0，不满足；α＝2时，y＝x eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ，在(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y＝x eq \s\up15(－eq \f(2,3)) 满足题意．


[答案] 3


15．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数是减函数，求满足(a＋1) eq \s\up15(－eq \f(m,3)) <(3－2a) eq \s\up15(－eq \f(m,3)) 的a的取值范围．


[解] ∵函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，


∴3m－9<0，解得m<3.


又m∈N*，∴m＝1,2.


又函数图象关于y轴对称，


∴3m－9为偶数．故m＝1.


∴有(a＋1) eq \s\up15(－eq \f(1,3)) <(3－2a) eq \s\up15(－eq \f(1,3)) .


又∵y＝x eq \s\up15(－eq \f(1,3)) 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，


∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a


或a＋1<0<3－2a.


解得eq \f(2,3)

故a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,2)))∪(－∞，－1)．