2019-2020学年黑龙江省绥化市海伦市红光农场学校八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 解析版

2019-2020学年黑龙江省绥化市海伦市红光农场学校八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
2．（3分）一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
3．（3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）若双曲线y＝过两点（﹣1，y1），（﹣3，y2），则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．y1与y2大小无法确定
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么cosα的值是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．任意给定一个正方形，一定存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的一半
B．任意给定一个正方形，一定存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍
C．任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半
D．任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍
7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
8．（3分）如图，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3，BC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共21分）
9．（3分）已知关于x的方程x2+x+2a﹣1＝0的一个根是0，则a＝　 　．
10．（3分）在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现在从这4件产品中随机抽取2件检测，则抽到的都是合格品的概率是　 　．
11．（3分）已知点P（3，﹣2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k＝　 　．
12．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，tanA＝，AB＝15，AC＝　 　．

13．（3分）一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为　 　．
14．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC＝2，E为BC边上一点，BC＝3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB＝　 　．

15．（3分）如图，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为　 　．

三、解答题（本题8道大题，共75分）
16．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为负整数，求此时方程的根．
17．（8分）在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若AB＝AC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．

18．（8分）甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
19．（10分）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝100m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．

20．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（﹣4，﹣2），B（m，4）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围．

21．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围．

22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，求劣弧的长l．

23．（12分）某商店原来平均每天可销售某种水果300千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出30千克．
（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；
（2）若要平均每天盈利1440元，则每千克应降价多少元？

2019-2020学年黑龙江省绥化市海伦市红光农场学校八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
【分析】菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角．
矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分．
【解答】解：（A）对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；
（B）对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；
（C）对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；
（D）邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有．
故选：C．
2．（3分）一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△＝0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．
【解答】解：在方程x2﹣4x+4＝0中，
△＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选：B．
3．（3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：A．
4．（3分）若双曲线y＝过两点（﹣1，y1），（﹣3，y2），则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．y1与y2大小无法确定
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标图特征得到﹣1•y1＝2，﹣3•y2＝2，然后计算出y1和y2比较大小．
【解答】解：∵双曲线y＝过两点（﹣1，y1），（﹣3，y2），
∴﹣1•y1＝2，﹣3•y2＝2，
∴y1＝﹣2，y2＝﹣，
∴y1＜y2．
故选：B．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么cosα的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】作AB⊥x轴于B，先利用勾股定理计算出OA＝5，然后在Rt△AOB中利用余弦的定义求解即可．
【解答】解：作AB⊥x轴于B，如图，
∵点A的坐标为（3，4），
∴OB＝3，AB＝4，
∴OA＝＝5，
在Rt△AOB中，cosα＝＝．
故选：C．

6．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．任意给定一个正方形，一定存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的一半
B．任意给定一个正方形，一定存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍
C．任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半
D．任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍
【分析】由相似多边形的性质得出选项A和B不符合题意；由一元二次方程的根的判别式得出选项C不符合题意，选项D符合题意即可．
【解答】解：A、正方形的四个角都是直角，四条边都相等，
∴所有的正方形都相似，
如果一个正方形的周长是另一个周长的一半，
那么面积是另一个正方形面积的，
∴选项A不符合题意；
B、同理：如果一个正方形的周长是另一个周长的2倍，那么面积是另一个正方形面积的4倍，
∴选项B不符合题意；
C、设给定一个矩形的边长为a、b，另一个矩形的边长为x、y，
令2（x+y）＝×2×（a+b），xy＝ab，则x+y＝（a+b），
对于关于t的方程t2﹣（a+b）t+ab＝0，
∵△＝[﹣（a+b）]2﹣4×ab＝（a2+b2）﹣ab＝（a﹣b）2﹣ab，
则△≥0或△＜0，
∴选项C不符合题意；
D、同理：设给定一个矩形的边长为a、b，另一个矩形的边长为x、y，
令2（x+y）＝2×2×（a+b），xy＝2ab，则x+y＝2（a+b），
对于关于t的方程t2﹣2（a+b）t+2ab＝0，
∵△＝[﹣2（a+b）]2﹣4×2ab＝4（a2+b2）＞0，
∴该方程有两个实数根，且都为正根，
∴选项D符合题意；
故选：D．
7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由y＝ax2+bx+c的图象判断出a＜0，b＜0，于是得到一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限，即可得到结论．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限．
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3，BC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
D、两三角形对应边成比例（（6﹣5）：3﹣1＝1：2＝3：6，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共21分）
9．（3分）已知关于x的方程x2+x+2a﹣1＝0的一个根是0，则a＝　　．
【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x＝0代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值．
【解答】解：根据题意得：0+0+2a﹣1＝0
解得a＝．
故答案为：．
10．（3分）在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现在从这4件产品中随机抽取2件检测，则抽到的都是合格品的概率是　　．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的都是合格品的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，抽到的都是合格品的有6种情况，
∴抽到的都是合格品的概率是：＝．
故答案为：．
11．（3分）已知点P（3，﹣2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k＝　﹣6　．
【分析】把点P的坐标代入y＝（k≠0），根据待定系数法求得即可．
【解答】解：∵点P（3，﹣2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴﹣2＝，
解得k＝﹣6，
故答案为﹣6．
12．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，tanA＝，AB＝15，AC＝　9　．

【分析】根据锐角三角函数的定义先设BC＝4x，得出AC＝3x，再根据勾股定理求出求出x的值，从而得出AC．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，tanA＝＝，
∴设BC＝4x，则AC＝3x，
∵AB＝＝15，
∴15＝，
解得：x2＝9，
∴x1＝3或x2＝﹣3（不合题意，舍去），
∴AC＝3x＝9；
故答案为：9．
13．（3分）一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为　y＝﹣2（x+2）2+1　．
【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由条件可以得出a＝﹣2，再将定点坐标代入解析式就可以求出结论．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y＝﹣2x2相同，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣h）2+k，
∵顶点坐标是（﹣2，1），
∴y＝﹣2（x+2）2+1，
∴这个函数解析式为y＝﹣2（x+2）2+1，
故答案为：y＝﹣2（x+2）2+1．
14．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC＝2，E为BC边上一点，BC＝3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB＝　　．

【分析】先根据折叠得出BE＝B′E，且∠AB′E＝∠B＝90°，可知△EB′C是直角三角形，由已知的BC＝3BE得EC＝2B′E，得出∠ACB＝30°，从而得出AC与AB的关系，求出AB的长．
【解答】解：由折叠得：BE＝B′E，∠AB′E＝∠B＝90°，
∴∠EB′C＝90°，
∵BC＝3BE，
∴EC＝2BE＝2B′E，
∴∠ACB＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝2AB，
∴AB＝AC＝×2＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为　3或　．

【分析】根据题目中的条件和三角形的相似，可以求得CE的长，本题得以解决．
【解答】解：∵△DCE和△ABC相似，∠ACD＝∠ABC，AC＝6，AB＝4，CD＝2，
∴∠A＝∠DCE，
∴或
即或
解得，CE＝3或CE＝，
当∠ABC＝∠A时，则AC＝BC＝6，AB∥CD，
∵△DCE和△ABC相似，AC＝6，AB＝4，CD＝2，
∴∠DCE＝∠D，
∴，
即，
解得，CE＝3，
故答案为：3或．
三、解答题（本题8道大题，共75分）
16．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为负整数，求此时方程的根．
【分析】（1）由方程有两个不等实数根可得b2﹣4ac＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据m为负整数以及（1）的结论可得出m的值，将其代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝32﹣4（1﹣m）＞0，
即5+4m＞0，解得：m＞﹣．
∴m的取值范围为m＞﹣．
（2）∵m为负整数，且m＞﹣，
∴m＝﹣1．
将m＝﹣1代入原方程得：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．
故当m＝﹣1时，此方程的根为x1＝﹣1和x2＝﹣2．
17．（8分）在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若AB＝AC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．

【分析】（1）由CE、BF的内错角相等，可得出△CED和△BFD的两组对应角相等；已知D是BC的中点，即BD＝DC，由AAS即可证得两三角形全等；
（2）若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形，而D是底边BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质可证得AD⊥BC；由（1）的全等三角形，易证得四边形BFCE的对角线互相平分；根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可判定四边形BFCE是菱形．
【解答】证明：（1）∵CE∥BF，
∴∠ECD＝∠FBD，∠DEC＝∠DFB；
又∵D是BC的中点，即BD＝DC，
∴△BDF≌△EDC（AAS）；

（2）四边形BFCE是菱形，证明如下：
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
又∵BD＝DC，
∴AD⊥BC（三线合一），
由（1）知：△BDF≌△EDC，
则DE＝DF，DB＝DC；
∴四边形BFCE是菱形（对角线互相平分且互相垂直的四边形为菱形）．
18．（8分）甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被3整除的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）树状图如下：


（2）∵共6种情况，两个数字之和能被3整除的情况数有2种，
∴两个数字之和能被3整除的概率为＝．
19．（10分）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝100m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．

【分析】设BD＝AD＝xm，利用x表示出CD的长，然后在直角△ACD中，利用三角函数即可得到AD和CD的比值，即可列方程求得x的值．
【解答】解：设AD＝xm，
∴BD＝xm，
∵∠ACD＝30°，∠ABD＝45°，BC＝100m，
∴tan31°＝＝＝0.51，
解得：x＝150，
∴他家到公路l的距离AD的长度约我150m．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（﹣4，﹣2），B（m，4）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用图象法，写出一次函数图象在反比例函数图象上方的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）把A（﹣4，﹣2）代入y2＝得到k＝8，
∴反比例函数表达式y2＝，
把B（m，4）代入y2＝，得到m＝2，
∴B（2，4），
把A、B的坐标代入y1＝ax+b，
则有，解得
∴一次函数表达式y1＝x+2．

（2）观察图象可知，使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围：﹣4＜x＜0或x＞2．
21．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围．

【分析】（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标；
（2）由解析式可求得其对称轴，再结合函数的增减性分0＜x＜1和1＜x＜3分别求y的最大值和最小值即可求得y的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当0＜x＜1时，当x＝0时，y有最大值为﹣3，当x＝1时，y有最小值为﹣4，
当1＜x＜3时，当x＝3时，y有最大值为0，当x＝1时，y有最小值为﹣4，
∴当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，求劣弧的长l．

【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠DAC，求得∠DAC＝∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF＝∠AEC＝90°，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理和弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵∠AEC＝90°，
∴∠OCF＝∠AEC＝90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，
∴∠BOC＝60°，AB＝2BC＝4，
∴OB＝AB＝2，
∴的长＝＝π．
23．（12分）某商店原来平均每天可销售某种水果300千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出30千克．
（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；
（2）若要平均每天盈利1440元，则每千克应降价多少元？
【分析】（1）根据“每天利润＝每天销售质量×每千克的利润”即可得出y关于x的函数关系式；
（2）将y＝1440代入（1）中函数关系式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：
y＝（300+30x）×（6﹣x）＝﹣30x2﹣120x+1800．

（2）令y＝﹣30x2﹣120x+1800中y＝1440，则有1440＝﹣30x2﹣120x+1800，
解得：x＝﹣6（舍去），或x＝2．
答：若要平均每天盈利1440元，则每千克应降价2元．