还剩21页未读，
继续阅读
2019-2020学年广东省广州市海珠区八年级（下）期末数学试卷 解析版
展开
2019-2020学年广东省广州市海珠区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中.只有一个是正确的）
1．（3分）在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，则▱ABCD的周长为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．12
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9.2环，方差分别为S甲2＝0.56，S乙2＝0.60，S丙2＝0.50，S丁2＝0.45，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．×＝ B．+＝ C．4+＝4 D．÷＝4
5．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
6．（3分）下列各图象中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）某校九年级有11名同学参加数学竞赛，预赛成绩各不相同，要取前5名参加决赛．小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．不能确定
8．（3分）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AD∥BC，AD＝BC D．AB＝AD，CD＝BC
9．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象相交于点P（2，﹣2），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＜2 D．x＞2
10．（3分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，若五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面积的2倍，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．
13．（3分）一组数据1，6，x，5，9的平均数是5，则x＝ ．
14．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则正方形E的边长是 ．
15．（3分）已知直线y＝kx+b，若k+b+kb＝0，且kb＞0，那么该直线不经过第 象限．
16．（3分）已知三角形一边上的中线，与三角形三边有如下数量关系：三角形两边的平方和等于第三边一半的平方与第三边中线平方之和的2倍．即：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则有AB2+AC2＝2（BD2+AD2）．请运用上述结论，解答下面问题：如图2，点P为矩形ABCD外部一点，已知PA＝PC＝3，若PD＝1，则AC的取值范围为 ．
三、解答题（本题有8个小题，共72分，解答要求写出文字说明．证明过程或计算步骤）
17．（6分）计算：
（1）﹣+；
（2）（+1）（﹣1）+÷．
18．（8分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）若AB＝BC，连接BE、DF．请判断BE与DF的位置关系，并说明理由．
19．（8分）已知一次函数y＝（m﹣3）x+m+1的图象经过点（1，2）．
（1）求此一次函数解析式，并画出函数图象；
（2）求此一次函数图象与坐标轴围成图形的面积．
20．（8分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽查了八年级部分学生一学期阅读课外书册数的情况，并绘制出如图不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求被抽查的学生总人数，并补全条形图；
（2）写出阅读书册数的众数和中位数；
（3）若八年级共有800人，请你估计该年级阅读书册数为6册的同学约为多少人？
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，BC＝8，点E在BC上，且EC﹣EB＝2，将△DCE沿DE折叠，点C恰好与点A重合．
（1）求线段AB的长；
（2）求线段DC的长．
22．（10分）甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶．甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山．他们离山脚的距离S（千米）随时间t（小时）变化的图象如图所示．根据图象中的有关信息回答下列问题：
（1）分别求出甲、乙两名同学上山过程中S与t的函数解析式；
（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75千米；
①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；
②相遇后甲、乙两名同学各自继续下山和上山，求当乙到山顶时，甲离乙的距离是多少千米？
23．（12分）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O．点M从点B向点C运动（到点C时停止），点N为CD上一点，且∠MAN＝60°，连接AM交BD于点P．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）如图1，过点D作DG⊥AN于点G，若BM＝4﹣2，求NG的长；
（3）如图2，点E是AN上一点，且AE＝AP，连接BE、OE．试判断：在运动过程中，BE+OE是否存在最小值？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝x﹣2和直线l2：y＝2x﹣4相交于点A．
（1）已知点P（1﹣t，9﹣3t），求证：无论t为何值，点P总在直线y＝3x+6上；
（2）直线y＝3x+6分别与x轴、y轴交于B、C两点，平移线段BC，使点B、C的对应点M、N分别落在直线l1和l2上，请你判断四边形BMNC的形状，并说明理由；
（3）在（2）问的条件下，已知直线y＝mx﹣6m+8 把四边形BMNC的面积分成1：3两部分，求m的值．
2019-2020学年广东省广州市海珠区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中.只有一个是正确的）
1．（3分）在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，则▱ABCD的周长为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．12
【分析】由平行四边形性质得出AB＝CD＝6，AD＝BC＝4，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝4，
∴▱ABCD的周长为：2×（AB+AD）＝2×（6+4）＝20，
故选：B．
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A.，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.是最简二次根式，故本选项符合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：C．
3．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9.2环，方差分别为S甲2＝0.56，S乙2＝0.60，S丙2＝0.50，S丁2＝0.45，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解；∵S甲2＝0.56，S乙2＝0.60，S丙2＝0.50，S丁2＝0.45，
∴S丁2＜S丙2＜S甲2＜S乙2，
∴成绩最稳定的是丁；
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．×＝ B．+＝ C．4+＝4 D．÷＝4
【分析】根据二次根式的乘除运算法则及同类二次根式的概念逐一判断即可得．
【解答】解：A．×＝＝，此选项计算正确；
B．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C．4与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
D．÷＝＝＝2，此选项错误；
故选：A．
5．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2＝c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12＝，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
6．（3分）下列各图象中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】函数的定义：在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则x叫自变量，y是x的函数．根据定义再结合图象观察就可以得出结论．
【解答】解：根据函数定义，如果在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应．而B中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图象．
故选：B．
7．（3分）某校九年级有11名同学参加数学竞赛，预赛成绩各不相同，要取前5名参加决赛．小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．不能确定
【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6名的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道自已的成绩和中位数．
故选：A．
8．（3分）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AD∥BC，AD＝BC D．AB＝AD，CD＝BC
【分析】依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得出结论．
【解答】解：A．由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不合题意；
B．由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不合题意；
C．由AD∥BC，AD＝BC，能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
D．由AB＝AD，CD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不合题意；
故选：C．
9．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象相交于点P（2，﹣2），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＜2 D．x＞2
【分析】结合函数图象，写出一次函数y1＝x+b图象在一次函数y2＝kx+4的图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象相交于点P（2，﹣2），
∴当x＞2时，x+b＞kx+4，
即关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是x＞2．
故选：D．
10．（3分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，若五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面积的2倍，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接HF，直线HF与AD交于点P，根据五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面积的2倍，设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为x2，2x2，可得GF＝2x，根据折叠可得正方形ABCD的面积为9x2，进而求出FM，最后求得结果．
【解答】解：如图，连接HF，直线HF与AD交于点P，
∵五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面积的2倍，
设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为x2，2x2，
∴GF2＝x2，
∴GF＝x，
∴HF＝x，
由折叠可知：
正方形ABCD的面积为：x2+4×2x2＝9x2，
∴PM2＝9x2，
∴PM＝3x，
∴FM＝PH＝（PM﹣HF）＝（3x﹣x）＝（3﹣）x，
∴＝＝．
故选：A．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
12．（3分）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 13 米．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE＝BD＝12，AE＝AB﹣CD＝5，
在直角三角形AEC中，
AC＝＝＝13．
答：小鸟至少要飞13米．
故答案为：13．
13．（3分）一组数据1，6，x，5，9的平均数是5，则x＝ 4 ．
【分析】根据平均数的公式得到关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：由题意知，（1+6+5+x+9）÷5＝5，
∴x＝25﹣6﹣1﹣9﹣5＝4．
故答案为：4．
14．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则正方形E的边长是 ．
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2＝8，y2＝5，z2＝x2+y2，即最大正方形的面积为z2，可得结论．
【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2＝3+5＝8，y2＝2+3＝5，z2＝x2+y2＝13；
即最大正方形E的面积为：z2＝13．
则正方形E的边长是．
故答案为：．
15．（3分）已知直线y＝kx+b，若k+b+kb＝0，且kb＞0，那么该直线不经过第 一 象限．
【分析】根据k+b+kb＝0，且kb＞0，可以得到k、b的正负情况，然后根据一次函数的性质，即可得到直线y＝kx+b经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵k+b+kb＝0，且kb＞0，
∴k+b＝﹣kb＜0，k和b同号，
∴k＜0，b＜0，
∴直线y＝kx+b经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故答案为：一．
16．（3分）已知三角形一边上的中线，与三角形三边有如下数量关系：三角形两边的平方和等于第三边一半的平方与第三边中线平方之和的2倍．即：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则有AB2+AC2＝2（BD2+AD2）．请运用上述结论，解答下面问题：如图2，点P为矩形ABCD外部一点，已知PA＝PC＝3，若PD＝1，则AC的取值范围为 ﹣1＜AC＜+1 ．
【分析】，连接BD交AC于O，连接PO，由矩形的性质可得AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，由三角形中线与三角形三边关系，可求PB的长，由三角形的三边关系可求解．
【解答】解：如图，连接BD交AC于O，连接PO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，
∵PO是△ACP的中线，也是△PBD的中线，
∴PA2+PC2＝2（AO2+PO2），PB2+PD2＝2（PO2+OD2），
∴PA2+PC2＝PB2+PD2，
∴9+9＝1+PB2，
∴PB＝，
在△PBD中，﹣1＜BD＜+1，
∴﹣1＜AC＜+1，
故答案为：﹣1＜AC＜+1．
三、解答题（本题有8个小题，共72分，解答要求写出文字说明．证明过程或计算步骤）
17．（6分）计算：
（1）﹣+；
（2）（+1）（﹣1）+÷．
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）先利用平方差公式和二次根式的除法法则计算，再进一步计算加减可得．
【解答】解：（1）原式＝3﹣4+＝0；
（2）原式＝（）2﹣1+
＝2﹣1+
＝1+．
18．（8分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）若AB＝BC，连接BE、DF．请判断BE与DF的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）易证DE是△CAB的中位线，EF是△ABC的中位线，得出DE∥AB，EF∥BC，即可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得出DE＝AB，EF＝BC，得出DE＝EF，证得四边形BDEF是菱形，则BE⊥DF．
【解答】（1）证明：∵D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，
∴DE是△CAB的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形；
（2）解：BE与DF的位置关系为：BE⊥DF，如图所示，理由如下：
由（1）得：DE是△CAB的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴DE＝AB，EF＝BC，
∵AB＝BC，
∴DE＝EF，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴四边形BDEF是菱形，
∴BE⊥DF．
19．（8分）已知一次函数y＝（m﹣3）x+m+1的图象经过点（1，2）．
（1）求此一次函数解析式，并画出函数图象；
（2）求此一次函数图象与坐标轴围成图形的面积．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，利用两点法画出函数图象；
（2）利用三角形的面积求出一次函数图象与坐标轴围成图形的面积．．
【解答】解：（1）把x＝1，y＝2代入一次函数解析式，
得（m﹣3）+m+1＝2．
解得m＝2．
所以一次函数解析式为：y＝﹣x+3．
函数图象见右图．
（2）当x＝0时，y＝3；
当y＝0时，x＝﹣3．
所以直线和x、y轴围成的三角形的面积为：×3×3
＝．
20．（8分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽查了八年级部分学生一学期阅读课外书册数的情况，并绘制出如图不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求被抽查的学生总人数，并补全条形图；
（2）写出阅读书册数的众数和中位数；
（3）若八年级共有800人，请你估计该年级阅读书册数为6册的同学约为多少人？
【分析】（1）根据阅读6册的人数和百分比，可以求得本调查的学生总数，然后即可得到阅读5册的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以得到这组数据的众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该年级阅读书册数为6册的同学约为多少人．
【解答】解：（1）12÷30%＝40（人），
即被抽查的学生一共有40人，
阅读5册的学生有：40﹣8﹣12﹣8＝12（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）由条形统计图可知，众数是6册、中位数是（5+6）÷2＝5.5（册），
即阅读书册数的众数是6册，中位数是5.5册；
（3）800×30%＝240（人），
该年级阅读书册数为6册的同学约为240人．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，BC＝8，点E在BC上，且EC﹣EB＝2，将△DCE沿DE折叠，点C恰好与点A重合．
（1）求线段AB的长；
（2）求线段DC的长．
【分析】（1）由BC＝8＝EC+EB，EC﹣EB＝2，得出EC＝5，EB＝3，由折叠的性质得EA＝EC＝5，再由勾股定理即可求出AB的长；
（2）作AF⊥CD于F，则四边形ABCF是矩形，得出FC＝AB＝4，AF＝BC＝8，由折叠的性质得DC＝DA，∠BAE＝∠C＝90°，设DC＝DA＝x，则DF＝DC﹣FC＝x﹣4，在Rt△ADF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵BC＝8＝EC+EB，EC﹣EB＝2，
∴EC＝5，EB＝3，
由折叠的性质得：EA＝EC＝5，
∵∠B＝90°，
∴AB＝＝＝4；
（2）作AF⊥CD于F，如图所示：
则∠AFD＝∠AFC＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∴FC＝AB＝4，AF＝BC＝8，
由折叠的性质得：DC＝DA，∠BAE＝∠C＝90°，
设DC＝DA＝x，则DF＝DC﹣FC＝x﹣4，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
∴DC＝10．
22．（10分）甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶．甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山．他们离山脚的距离S（千米）随时间t（小时）变化的图象如图所示．根据图象中的有关信息回答下列问题：
（1）分别求出甲、乙两名同学上山过程中S与t的函数解析式；
（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75千米；
①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；
②相遇后甲、乙两名同学各自继续下山和上山，求当乙到山顶时，甲离乙的距离是多少千米？
【分析】（1）由图可知，甲、乙两同学登山过程中路程s与时间t都成正比例函数，分别设为S甲＝k1t，S乙＝k2t，用待定系数法可求解．
（2）①把y＝4﹣0.75代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出点F的横坐标，再利用待定系数法求解即可；
②把y＝4代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出乙到山顶所用时间，再代入①的关系式求解即可．
【解答】解：（1）设甲、乙两同学登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式分别为S甲＝k1t，S乙＝k2t
由题意，得2＝4k1，2＝6k2
∴k1＝，k2＝，
∴解析式分别为S甲＝t，S乙＝t；
（2）①当y＝4﹣0.75时，，
解得t＝，
∴点F（，），
甲到山顶所用时间为：4＝8（小时）
由题意可知，点D坐标为（9，4），
设甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝kt+b，
则：，解答，
∴甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝﹣t+13；
②乙到山顶所用时间为：4÷（小时），
当x＝12时，s＝﹣12+13＝1，
当乙到山顶时，甲离乙的距离是：4﹣1＝3（千米）．
23．（12分）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O．点M从点B向点C运动（到点C时停止），点N为CD上一点，且∠MAN＝60°，连接AM交BD于点P．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）如图1，过点D作DG⊥AN于点G，若BM＝4﹣2，求NG的长；
（3）如图2，点E是AN上一点，且AE＝AP，连接BE、OE．试判断：在运动过程中，BE+OE是否存在最小值？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）证明△ABC，△ADC都是等边三角形，求出AC，BD即可解决问题．
（2）过点A作AT⊥CD于T．解直角三角形求出AT，TN，AN，再利用面积法求出DG即可解决问题．
（3）如图2中，取CD的中点G，连接BG，CE，EG，过点G作GH⊥BD于H．想办法证明OE＝EG，推出BE+OE＝BE+EG≥BG，求出BG即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠ADC＝60°，AC⊥BD，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴OA＝AB＝1，OB＝OA＝，
∴AC＝2AO＝2，BD＝2OB＝2，
∴S菱形ABCD＝•BD•AC＝×2×2＝2．
（2）如图1中，过点A作AT⊥CD于T．
∵△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠ACN＝∠ABM＝60°，AB＝AC，
∵∠MAN＝∠BAC＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△BAM≌△ACN（ASA），
∴BM＝CN＝4﹣2，
∵AC＝AD，AT⊥CD，
∴CT＝DT＝1，AT＝，
∴TN＝CT﹣CN＝1﹣（4﹣2）＝2﹣3，
∴AN＝＝＝3﹣，
∵S△ADN＝•AN•DG＝•DN•AT，
∴DG＝＝，
∴GN＝＝＝2﹣．
（3）如图2中，取CD的中点G，连接BG，CE，EG，过点G作GH⊥BD于H．
∵∠BAC＝∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE，
∵AB＝AC，AP＝AE，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠OCE＝∠GCE，
∵∠COD＝90°，∠ODC＝∠ADC＝30°，
∴CD＝2OC，
∵CG＝GD，
∴OC＝CG，
∵CE＝CE，
∴△OCE≌△GCE（SAS），
∴OE＝EG，
∴BE+OE＝BE+EG≥BG，
在Rt△BGH中，∵∠GHB＝90°，GH＝DG＝，BH＝，
∴BG＝＝＝，
∴BE+OE≥，
∴BE+OE的最小值为．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝x﹣2和直线l2：y＝2x﹣4相交于点A．
（1）已知点P（1﹣t，9﹣3t），求证：无论t为何值，点P总在直线y＝3x+6上；
（2）直线y＝3x+6分别与x轴、y轴交于B、C两点，平移线段BC，使点B、C的对应点M、N分别落在直线l1和l2上，请你判断四边形BMNC的形状，并说明理由；
（3）在（2）问的条件下，已知直线y＝mx﹣6m+8 把四边形BMNC的面积分成1：3两部分，求m的值．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）由直线y＝3x+6分别与x轴、y轴交于B、C两点，可得B（﹣2，0），C（0，6），因为线段MN是由线段BC平移得到，可以假设M（t，t﹣2），N（t+2，t﹣2+6），即N（t+2，t+4），把点N代入直线l2中，求出m，再求出BC，BM即可解决问题．
（3）首先证明直线y＝mx﹣6m+8经过点N（6，8），因为直线y＝mx﹣6m+8把四边形BMNC的面积分成1：3两部分，所以直线y＝mx﹣6m+8经过BC的中点G或经过BM的中点H，求出点G，H的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
【解答】（1）证明：对于直线y＝3x+6，
当x＝1﹣t时，y＝3（1﹣t）+6＝﹣3t+9，
∴P（1﹣t，9﹣3t）在直线y＝3x+6上．
（2）解：∵直线y＝3x+6分别与x轴、y轴交于B、C两点，
∴B（﹣2，0），C（0，6），
∵线段MN是由线段BC平移得到，
∴可以假设M（t，t﹣2），N（t+2，t﹣2+6），即N（t+2，t+4），
∵N（t+2，t+4）在直线y＝2x﹣4上，
∴t+4＝2（t+2）﹣4，
解得t＝4，
∴M（4，2），N（6，8），
∴BM＝＝2，BC＝＝2，
∴BM＝BC，
∵BC＝MN，BC∥MN，
∴四边形BMNC是平行四边形，
∵BC＝BM，
∴四边形BMNC是菱形．
（3）∵直线y＝mx﹣6m+8，
∴x＝6时，y＝8，
∴直线y＝mx﹣6m+8经过定点（6，8），
∴直线y＝mx﹣6m+8经过点N（6，8），
∵直线y＝mx﹣6m+8把四边形BMNC的面积分成1：3两部分，
∴直线y＝mx﹣6m+8经过BC的中点G或经过BM的中点H，
∵G是BC的中点，H是BM的中点，
∴G（﹣1，3），H（1，1），
把G（﹣1，3）代入y＝mx﹣6m+8得到m＝，
把H（1，1）代入y＝mx﹣6m+8得到m＝，
综上所述，满足条件的m的值为或．
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中.只有一个是正确的）
1．（3分）在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，则▱ABCD的周长为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．12
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9.2环，方差分别为S甲2＝0.56，S乙2＝0.60，S丙2＝0.50，S丁2＝0.45，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．×＝ B．+＝ C．4+＝4 D．÷＝4
5．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
6．（3分）下列各图象中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）某校九年级有11名同学参加数学竞赛，预赛成绩各不相同，要取前5名参加决赛．小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．不能确定
8．（3分）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AD∥BC，AD＝BC D．AB＝AD，CD＝BC
9．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象相交于点P（2，﹣2），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＜2 D．x＞2
10．（3分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，若五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面积的2倍，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．
13．（3分）一组数据1，6，x，5，9的平均数是5，则x＝ ．
14．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则正方形E的边长是 ．
15．（3分）已知直线y＝kx+b，若k+b+kb＝0，且kb＞0，那么该直线不经过第 象限．
16．（3分）已知三角形一边上的中线，与三角形三边有如下数量关系：三角形两边的平方和等于第三边一半的平方与第三边中线平方之和的2倍．即：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则有AB2+AC2＝2（BD2+AD2）．请运用上述结论，解答下面问题：如图2，点P为矩形ABCD外部一点，已知PA＝PC＝3，若PD＝1，则AC的取值范围为 ．
三、解答题（本题有8个小题，共72分，解答要求写出文字说明．证明过程或计算步骤）
17．（6分）计算：
（1）﹣+；
（2）（+1）（﹣1）+÷．
18．（8分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）若AB＝BC，连接BE、DF．请判断BE与DF的位置关系，并说明理由．
19．（8分）已知一次函数y＝（m﹣3）x+m+1的图象经过点（1，2）．
（1）求此一次函数解析式，并画出函数图象；
（2）求此一次函数图象与坐标轴围成图形的面积．
20．（8分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽查了八年级部分学生一学期阅读课外书册数的情况，并绘制出如图不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求被抽查的学生总人数，并补全条形图；
（2）写出阅读书册数的众数和中位数；
（3）若八年级共有800人，请你估计该年级阅读书册数为6册的同学约为多少人？
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，BC＝8，点E在BC上，且EC﹣EB＝2，将△DCE沿DE折叠，点C恰好与点A重合．
（1）求线段AB的长；
（2）求线段DC的长．
22．（10分）甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶．甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山．他们离山脚的距离S（千米）随时间t（小时）变化的图象如图所示．根据图象中的有关信息回答下列问题：
（1）分别求出甲、乙两名同学上山过程中S与t的函数解析式；
（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75千米；
①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；
②相遇后甲、乙两名同学各自继续下山和上山，求当乙到山顶时，甲离乙的距离是多少千米？
23．（12分）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O．点M从点B向点C运动（到点C时停止），点N为CD上一点，且∠MAN＝60°，连接AM交BD于点P．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）如图1，过点D作DG⊥AN于点G，若BM＝4﹣2，求NG的长；
（3）如图2，点E是AN上一点，且AE＝AP，连接BE、OE．试判断：在运动过程中，BE+OE是否存在最小值？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝x﹣2和直线l2：y＝2x﹣4相交于点A．
（1）已知点P（1﹣t，9﹣3t），求证：无论t为何值，点P总在直线y＝3x+6上；
（2）直线y＝3x+6分别与x轴、y轴交于B、C两点，平移线段BC，使点B、C的对应点M、N分别落在直线l1和l2上，请你判断四边形BMNC的形状，并说明理由；
（3）在（2）问的条件下，已知直线y＝mx﹣6m+8 把四边形BMNC的面积分成1：3两部分，求m的值．
2019-2020学年广东省广州市海珠区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中.只有一个是正确的）
1．（3分）在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，则▱ABCD的周长为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．12
【分析】由平行四边形性质得出AB＝CD＝6，AD＝BC＝4，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝4，
∴▱ABCD的周长为：2×（AB+AD）＝2×（6+4）＝20，
故选：B．
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A.，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.是最简二次根式，故本选项符合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：C．
3．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9.2环，方差分别为S甲2＝0.56，S乙2＝0.60，S丙2＝0.50，S丁2＝0.45，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解；∵S甲2＝0.56，S乙2＝0.60，S丙2＝0.50，S丁2＝0.45，
∴S丁2＜S丙2＜S甲2＜S乙2，
∴成绩最稳定的是丁；
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．×＝ B．+＝ C．4+＝4 D．÷＝4
【分析】根据二次根式的乘除运算法则及同类二次根式的概念逐一判断即可得．
【解答】解：A．×＝＝，此选项计算正确；
B．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C．4与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
D．÷＝＝＝2，此选项错误；
故选：A．
5．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2＝c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12＝，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
6．（3分）下列各图象中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】函数的定义：在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则x叫自变量，y是x的函数．根据定义再结合图象观察就可以得出结论．
【解答】解：根据函数定义，如果在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应．而B中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图象．
故选：B．
7．（3分）某校九年级有11名同学参加数学竞赛，预赛成绩各不相同，要取前5名参加决赛．小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．不能确定
【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6名的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道自已的成绩和中位数．
故选：A．
8．（3分）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AD∥BC，AD＝BC D．AB＝AD，CD＝BC
【分析】依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得出结论．
【解答】解：A．由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不合题意；
B．由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不合题意；
C．由AD∥BC，AD＝BC，能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
D．由AB＝AD，CD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不合题意；
故选：C．
9．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象相交于点P（2，﹣2），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＜2 D．x＞2
【分析】结合函数图象，写出一次函数y1＝x+b图象在一次函数y2＝kx+4的图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象相交于点P（2，﹣2），
∴当x＞2时，x+b＞kx+4，
即关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是x＞2．
故选：D．
10．（3分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，若五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面积的2倍，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接HF，直线HF与AD交于点P，根据五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面积的2倍，设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为x2，2x2，可得GF＝2x，根据折叠可得正方形ABCD的面积为9x2，进而求出FM，最后求得结果．
【解答】解：如图，连接HF，直线HF与AD交于点P，
∵五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面积的2倍，
设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为x2，2x2，
∴GF2＝x2，
∴GF＝x，
∴HF＝x，
由折叠可知：
正方形ABCD的面积为：x2+4×2x2＝9x2，
∴PM2＝9x2，
∴PM＝3x，
∴FM＝PH＝（PM﹣HF）＝（3x﹣x）＝（3﹣）x，
∴＝＝．
故选：A．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
12．（3分）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 13 米．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE＝BD＝12，AE＝AB﹣CD＝5，
在直角三角形AEC中，
AC＝＝＝13．
答：小鸟至少要飞13米．
故答案为：13．
13．（3分）一组数据1，6，x，5，9的平均数是5，则x＝ 4 ．
【分析】根据平均数的公式得到关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：由题意知，（1+6+5+x+9）÷5＝5，
∴x＝25﹣6﹣1﹣9﹣5＝4．
故答案为：4．
14．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则正方形E的边长是 ．
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2＝8，y2＝5，z2＝x2+y2，即最大正方形的面积为z2，可得结论．
【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2＝3+5＝8，y2＝2+3＝5，z2＝x2+y2＝13；
即最大正方形E的面积为：z2＝13．
则正方形E的边长是．
故答案为：．
15．（3分）已知直线y＝kx+b，若k+b+kb＝0，且kb＞0，那么该直线不经过第 一 象限．
【分析】根据k+b+kb＝0，且kb＞0，可以得到k、b的正负情况，然后根据一次函数的性质，即可得到直线y＝kx+b经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵k+b+kb＝0，且kb＞0，
∴k+b＝﹣kb＜0，k和b同号，
∴k＜0，b＜0，
∴直线y＝kx+b经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故答案为：一．
16．（3分）已知三角形一边上的中线，与三角形三边有如下数量关系：三角形两边的平方和等于第三边一半的平方与第三边中线平方之和的2倍．即：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则有AB2+AC2＝2（BD2+AD2）．请运用上述结论，解答下面问题：如图2，点P为矩形ABCD外部一点，已知PA＝PC＝3，若PD＝1，则AC的取值范围为 ﹣1＜AC＜+1 ．
【分析】，连接BD交AC于O，连接PO，由矩形的性质可得AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，由三角形中线与三角形三边关系，可求PB的长，由三角形的三边关系可求解．
【解答】解：如图，连接BD交AC于O，连接PO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，
∵PO是△ACP的中线，也是△PBD的中线，
∴PA2+PC2＝2（AO2+PO2），PB2+PD2＝2（PO2+OD2），
∴PA2+PC2＝PB2+PD2，
∴9+9＝1+PB2，
∴PB＝，
在△PBD中，﹣1＜BD＜+1，
∴﹣1＜AC＜+1，
故答案为：﹣1＜AC＜+1．
三、解答题（本题有8个小题，共72分，解答要求写出文字说明．证明过程或计算步骤）
17．（6分）计算：
（1）﹣+；
（2）（+1）（﹣1）+÷．
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）先利用平方差公式和二次根式的除法法则计算，再进一步计算加减可得．
【解答】解：（1）原式＝3﹣4+＝0；
（2）原式＝（）2﹣1+
＝2﹣1+
＝1+．
18．（8分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）若AB＝BC，连接BE、DF．请判断BE与DF的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）易证DE是△CAB的中位线，EF是△ABC的中位线，得出DE∥AB，EF∥BC，即可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得出DE＝AB，EF＝BC，得出DE＝EF，证得四边形BDEF是菱形，则BE⊥DF．
【解答】（1）证明：∵D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，
∴DE是△CAB的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形；
（2）解：BE与DF的位置关系为：BE⊥DF，如图所示，理由如下：
由（1）得：DE是△CAB的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴DE＝AB，EF＝BC，
∵AB＝BC，
∴DE＝EF，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴四边形BDEF是菱形，
∴BE⊥DF．
19．（8分）已知一次函数y＝（m﹣3）x+m+1的图象经过点（1，2）．
（1）求此一次函数解析式，并画出函数图象；
（2）求此一次函数图象与坐标轴围成图形的面积．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，利用两点法画出函数图象；
（2）利用三角形的面积求出一次函数图象与坐标轴围成图形的面积．．
【解答】解：（1）把x＝1，y＝2代入一次函数解析式，
得（m﹣3）+m+1＝2．
解得m＝2．
所以一次函数解析式为：y＝﹣x+3．
函数图象见右图．
（2）当x＝0时，y＝3；
当y＝0时，x＝﹣3．
所以直线和x、y轴围成的三角形的面积为：×3×3
＝．
20．（8分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽查了八年级部分学生一学期阅读课外书册数的情况，并绘制出如图不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求被抽查的学生总人数，并补全条形图；
（2）写出阅读书册数的众数和中位数；
（3）若八年级共有800人，请你估计该年级阅读书册数为6册的同学约为多少人？
【分析】（1）根据阅读6册的人数和百分比，可以求得本调查的学生总数，然后即可得到阅读5册的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以得到这组数据的众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该年级阅读书册数为6册的同学约为多少人．
【解答】解：（1）12÷30%＝40（人），
即被抽查的学生一共有40人，
阅读5册的学生有：40﹣8﹣12﹣8＝12（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）由条形统计图可知，众数是6册、中位数是（5+6）÷2＝5.5（册），
即阅读书册数的众数是6册，中位数是5.5册；
（3）800×30%＝240（人），
该年级阅读书册数为6册的同学约为240人．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，BC＝8，点E在BC上，且EC﹣EB＝2，将△DCE沿DE折叠，点C恰好与点A重合．
（1）求线段AB的长；
（2）求线段DC的长．
【分析】（1）由BC＝8＝EC+EB，EC﹣EB＝2，得出EC＝5，EB＝3，由折叠的性质得EA＝EC＝5，再由勾股定理即可求出AB的长；
（2）作AF⊥CD于F，则四边形ABCF是矩形，得出FC＝AB＝4，AF＝BC＝8，由折叠的性质得DC＝DA，∠BAE＝∠C＝90°，设DC＝DA＝x，则DF＝DC﹣FC＝x﹣4，在Rt△ADF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵BC＝8＝EC+EB，EC﹣EB＝2，
∴EC＝5，EB＝3，
由折叠的性质得：EA＝EC＝5，
∵∠B＝90°，
∴AB＝＝＝4；
（2）作AF⊥CD于F，如图所示：
则∠AFD＝∠AFC＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∴FC＝AB＝4，AF＝BC＝8，
由折叠的性质得：DC＝DA，∠BAE＝∠C＝90°，
设DC＝DA＝x，则DF＝DC﹣FC＝x﹣4，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
∴DC＝10．
22．（10分）甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶．甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山．他们离山脚的距离S（千米）随时间t（小时）变化的图象如图所示．根据图象中的有关信息回答下列问题：
（1）分别求出甲、乙两名同学上山过程中S与t的函数解析式；
（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75千米；
①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；
②相遇后甲、乙两名同学各自继续下山和上山，求当乙到山顶时，甲离乙的距离是多少千米？
【分析】（1）由图可知，甲、乙两同学登山过程中路程s与时间t都成正比例函数，分别设为S甲＝k1t，S乙＝k2t，用待定系数法可求解．
（2）①把y＝4﹣0.75代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出点F的横坐标，再利用待定系数法求解即可；
②把y＝4代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出乙到山顶所用时间，再代入①的关系式求解即可．
【解答】解：（1）设甲、乙两同学登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式分别为S甲＝k1t，S乙＝k2t
由题意，得2＝4k1，2＝6k2
∴k1＝，k2＝，
∴解析式分别为S甲＝t，S乙＝t；
（2）①当y＝4﹣0.75时，，
解得t＝，
∴点F（，），
甲到山顶所用时间为：4＝8（小时）
由题意可知，点D坐标为（9，4），
设甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝kt+b，
则：，解答，
∴甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝﹣t+13；
②乙到山顶所用时间为：4÷（小时），
当x＝12时，s＝﹣12+13＝1，
当乙到山顶时，甲离乙的距离是：4﹣1＝3（千米）．
23．（12分）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O．点M从点B向点C运动（到点C时停止），点N为CD上一点，且∠MAN＝60°，连接AM交BD于点P．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）如图1，过点D作DG⊥AN于点G，若BM＝4﹣2，求NG的长；
（3）如图2，点E是AN上一点，且AE＝AP，连接BE、OE．试判断：在运动过程中，BE+OE是否存在最小值？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）证明△ABC，△ADC都是等边三角形，求出AC，BD即可解决问题．
（2）过点A作AT⊥CD于T．解直角三角形求出AT，TN，AN，再利用面积法求出DG即可解决问题．
（3）如图2中，取CD的中点G，连接BG，CE，EG，过点G作GH⊥BD于H．想办法证明OE＝EG，推出BE+OE＝BE+EG≥BG，求出BG即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠ADC＝60°，AC⊥BD，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴OA＝AB＝1，OB＝OA＝，
∴AC＝2AO＝2，BD＝2OB＝2，
∴S菱形ABCD＝•BD•AC＝×2×2＝2．
（2）如图1中，过点A作AT⊥CD于T．
∵△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠ACN＝∠ABM＝60°，AB＝AC，
∵∠MAN＝∠BAC＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△BAM≌△ACN（ASA），
∴BM＝CN＝4﹣2，
∵AC＝AD，AT⊥CD，
∴CT＝DT＝1，AT＝，
∴TN＝CT﹣CN＝1﹣（4﹣2）＝2﹣3，
∴AN＝＝＝3﹣，
∵S△ADN＝•AN•DG＝•DN•AT，
∴DG＝＝，
∴GN＝＝＝2﹣．
（3）如图2中，取CD的中点G，连接BG，CE，EG，过点G作GH⊥BD于H．
∵∠BAC＝∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE，
∵AB＝AC，AP＝AE，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠OCE＝∠GCE，
∵∠COD＝90°，∠ODC＝∠ADC＝30°，
∴CD＝2OC，
∵CG＝GD，
∴OC＝CG，
∵CE＝CE，
∴△OCE≌△GCE（SAS），
∴OE＝EG，
∴BE+OE＝BE+EG≥BG，
在Rt△BGH中，∵∠GHB＝90°，GH＝DG＝，BH＝，
∴BG＝＝＝，
∴BE+OE≥，
∴BE+OE的最小值为．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝x﹣2和直线l2：y＝2x﹣4相交于点A．
（1）已知点P（1﹣t，9﹣3t），求证：无论t为何值，点P总在直线y＝3x+6上；
（2）直线y＝3x+6分别与x轴、y轴交于B、C两点，平移线段BC，使点B、C的对应点M、N分别落在直线l1和l2上，请你判断四边形BMNC的形状，并说明理由；
（3）在（2）问的条件下，已知直线y＝mx﹣6m+8 把四边形BMNC的面积分成1：3两部分，求m的值．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）由直线y＝3x+6分别与x轴、y轴交于B、C两点，可得B（﹣2，0），C（0，6），因为线段MN是由线段BC平移得到，可以假设M（t，t﹣2），N（t+2，t﹣2+6），即N（t+2，t+4），把点N代入直线l2中，求出m，再求出BC，BM即可解决问题．
（3）首先证明直线y＝mx﹣6m+8经过点N（6，8），因为直线y＝mx﹣6m+8把四边形BMNC的面积分成1：3两部分，所以直线y＝mx﹣6m+8经过BC的中点G或经过BM的中点H，求出点G，H的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
【解答】（1）证明：对于直线y＝3x+6，
当x＝1﹣t时，y＝3（1﹣t）+6＝﹣3t+9，
∴P（1﹣t，9﹣3t）在直线y＝3x+6上．
（2）解：∵直线y＝3x+6分别与x轴、y轴交于B、C两点，
∴B（﹣2，0），C（0，6），
∵线段MN是由线段BC平移得到，
∴可以假设M（t，t﹣2），N（t+2，t﹣2+6），即N（t+2，t+4），
∵N（t+2，t+4）在直线y＝2x﹣4上，
∴t+4＝2（t+2）﹣4，
解得t＝4，
∴M（4，2），N（6，8），
∴BM＝＝2，BC＝＝2，
∴BM＝BC，
∵BC＝MN，BC∥MN，
∴四边形BMNC是平行四边形，
∵BC＝BM，
∴四边形BMNC是菱形．
（3）∵直线y＝mx﹣6m+8，
∴x＝6时，y＝8，
∴直线y＝mx﹣6m+8经过定点（6，8），
∴直线y＝mx﹣6m+8经过点N（6，8），
∵直线y＝mx﹣6m+8把四边形BMNC的面积分成1：3两部分，
∴直线y＝mx﹣6m+8经过BC的中点G或经过BM的中点H，
∵G是BC的中点，H是BM的中点，
∴G（﹣1，3），H（1，1），
把G（﹣1，3）代入y＝mx﹣6m+8得到m＝，
把H（1，1）代入y＝mx﹣6m+8得到m＝，
综上所述，满足条件的m的值为或．
相关资料
更多
