2019-2020学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷 解析版

2019-2020学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．（2分）下列各式中，从左向右变形正确的是（　　）
A．＝±2 B．＝3 C．＝ D．
3．（2分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，2，3 D．5，12，13
4．（2分）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝5x﹣1 B．y＝x C．y＝x2 D．y＝
5．（2分）在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且∠AOD＝120°．若AB＝3，则BC的长为（　　）
A． B．3 C．3 D．6
6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为（　　）

A．（5，4） B．（8，4） C．（5，3） D．（8，3）
7．（2分）一次函数y＝kx+b中，若kb＞0，且y随着x的增大而增大，则其图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2分）如图，等腰△ABC中，点P是底边BC上的动点（不与点B，C重合），过点P分别作AB、AC的平行线PM、PN，交AC、AB于点M、N，则下列数量关系一定正确的是（　　）

A．PM+PN＝AB B．PM+PN＝BC
C．PM+PN＝2BC D．PM+PN＝AB+BC
9．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为（　　）
A． B． C．或 D．或﹣1
10．（2分）如图，动点P在边长为2的等边△ABC的边上．它从点A出发，沿A→C→B→A的方向以每秒1个单位长度的速度运动．如果点P的运动时间为t秒，点P与点C之间的距离记为y，那么y与t之间的函数关系用图象表示大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本题共12分，每小题2分）
11．（2分）使二次根式有意义的x的取值范围是　 　．
12．（2分）2020年3月北京市16个区的PM2.5的浓度（单位：微克/立方米）统计情况如表：
PM2.5的浓度
31
32
33
35
36
38
区的个数
3
1
2
4
5
1
下面有三个结论：
①PM2.5的浓度众数是5；
②PM2.5的浓度中位数是35；
③PM2.5的浓度平均数约为34．其中正确的是　 　（填写序号）．
13．（2分）如图，菱形ABCD中，AB＝10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠AEO＝32°，则OE的长等于　 　，∠ADO的度数为　 　．

14．（2分）如图，三角形花园的边界AB，BC互相垂直，若测得∠A＝30°，BC的长度为40m，则边界AC的中点D与点B的距离是　 　m．

15．（2分）图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形．则图1中菱形的面积等于　 　；图2中间的小四边形的面积等于　 　．

16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b与y2＝x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列四个结论中正确的是　 　（填写序号）．
①直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°；
②k+b＞0；
③关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x≤2．

三、解答题（本题共68分，第17一22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）（）（）
18．（5分）计算：（）×．
19．（5分）如图是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规作图过程．

已知：矩形ABCD．
求作：▱AGHD，使∠GAD＝30°．
作法：如图，
①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点E，F；
②作直线EF；
③以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交直线EF于点G，连接AG；
④以点G为圆心，以AD长为半径作弧，交直线EF于点H，连接DH．
则四边形AGHD即为所求作的平行四边形．
根据小明设计的尺规作图过程，填空：
（1）∠BAG的大小为　 　；
（2）判定四边形AGHD是平行四边形的依据是　 　；
（3）用等式表示平行四边形AGHD的面积S1和矩形ABCD的面积S2的数量关系为　 　．
20．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，0），B（1，3）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）将函数y＝kx+b的图象平移可得到函数y＝kx﹣1的图象，写出平移的过程．
21．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝1.5，BD＝2.5．
（1）求点D到直线AB的距离；
（2）求线段AC的长．

22．（5分）2017年国务院印发《新一代入工智能发展规划》，将人工智能上升为国家战略，我国人工智能领域迎来新的发展契机．
根据相关信息，回答问题：
（1）图1反映了我国人工智能专利授权量（单位：件）近些年的变化情况.2017年，中国人工智能专利授权量为
　 　件；

（2）图2是2017年前20名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图，数据被分成5组，其中在100≤x＜200之间的数据分别是：129，154，155，165，170，170，186，190．则20个专利授权量的中位数是　 　；
（3）2017年中国人工智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支位于前20的统计折线图如图3．依据折线图推断，基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支的专利授权量的方差最小的是　 　．
（4）下列推断合理的是　 　（填写序号）．
①我国人工智能正快速发展；
②在基础硬件方面需要加大创新投入提升竞争力．
23．（6分）A，B，C三地都在一条笔直的公路边，B在A，C之间．甲、乙两人相约到C地游玩，甲由A地出发骑自行车，平均速度是8km/h；乙由B地出发骑电动自行车匀速行驶．设甲骑行的时间为t（单位：h），甲、乙与A地的距离分别为y1，y2（单位：km）．y1，y2都是t的函数，其中y2与t的对应关系如图所示．
回答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离为　 　km；
（2）　 　先到达C地；
（3）y1与t之间的函数表达式是　 　，乙出发后到达C地之前，y2与t之间的函数表达式是　 　；
（4）到达C地之前，当t＝　 　时，甲、乙两人与A地的距离相等；

24．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点：
（1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；
（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等；
（3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．

25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+5与y轴交于点A．直线l2：y＝﹣x+1与直线l1交于点B，与y轴交于点C．
（1）当点B的纵坐标为2时，
①写出点B的坐标及k的值；
②求直线l1，l2与y轴所围成的图形的面积；
（2）当点B的横坐标xB满足﹣3≤xB≤﹣1时，求实数k的取值范围．

26．（6分）如图1，矩形ABCD中，AC＝7cm，AB＞3cm．点E在边AB上，BE＝3cm．点F为对角线AC上的动点，连接EF，BF．设A，F两点间的距离为xcm，BF＝y1cm，EF＝y2cm．

小华根据学习函数的经验，对△EFB的形状进行了探究．
下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）对于点F在AC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BF，EF的长度的几组值，如下表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
y1/cm
5.63
4.86
4.19
3.68
3.39
3.38
3.65
4.16
y2/cm
2.63
1.92
1.57

2.44
3.28
4.19
5.13
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并在图2中画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△BEF为等腰三角形时，AF的长度约为　 　cm（结果保留两位小数）．
27．（7分）如图，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线翻折，使点B恰好与其对角线AC的中点O重合，折痕与边BC交于点E．延长EO交AD于点F，连接CF．
（1）按要求补全图形；
（2）求证：四边形AECF是菱形；
（3）若AB＝，求BE的长．

28．（7分）已知正方形ABCD边长为10，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形ABCD的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形ABCD的内等边三角形．
（1）正方形ABCD的边长为10，点E在边AD上．
①当点E为边AD的中点时，求作：正方形ABCD的内等边△AEF（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②若△AEF是正方形ABCD的内等边三角形，连接BF，DF，则线段BF长的最小值是　 　，线段DF长的取值范围是　 　；
（2）△ADP和△AMN都是正方形ABCD的内等边三角形，当边AM的长最大时，画出△ADP和△AMN，点A，M，N按逆时针方向排序，连接NP，求NP的长．


2019-2020学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式为最简二次根式，符合题意；
B、原式＝2，不符合题意；
C、原式＝，不符合题意；
D、原式＝|m|，不符合题意．
故选：A．
2．（2分）下列各式中，从左向右变形正确的是（　　）
A．＝±2 B．＝3 C．＝ D．
【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得．
【解答】解：A．＝2，此选项错误；
B．＝|﹣3|＝3，此选项计算正确；
C．＝×，此选项错误；
D．+＝2+＝3，此选项错误；
故选：B．
3．（2分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，2，3 D．5，12，13
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+12≠12，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，故符合题意．
故选：D．
4．（2分）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝5x﹣1 B．y＝x C．y＝x2 D．y＝
【分析】一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．
【解答】解：A．y＝5x﹣1属于一次函数，不合题意；
B．y＝x属于正比例函数，符合题意；
C．y＝x2属于二次函数，不合题意；
D．y＝属于反比例函数，不合题意；
故选：B．
5．（2分）在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且∠AOD＝120°．若AB＝3，则BC的长为（　　）
A． B．3 C．3 D．6
【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质，可以得到AC的长，再根据勾股定理，即可得到BC的长，本题得以解决．
【解答】解：∵∠AOD＝120°，∠AOD+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC，∠ABC＝90°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OC，
∵AB＝3，
∴AC＝6，
∴BC＝＝3，
故选：C．

6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为（　　）

A．（5，4） B．（8，4） C．（5，3） D．（8，3）
【分析】根据点A的坐标是（3，4），可得OA的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点B的坐标．
【解答】解：∵点A的坐标是（3，4），
∴OA＝5，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB＝5，
则点B的坐标为（8，4）．
故选：B．
7．（2分）一次函数y＝kx+b中，若kb＞0，且y随着x的增大而增大，则其图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先根据一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而增大且kb＞0，判断出k与b的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b中y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵kb＞0，
∴b＞0，
∴此函数的图象过一、二、三象限．
故选：A．
8．（2分）如图，等腰△ABC中，点P是底边BC上的动点（不与点B，C重合），过点P分别作AB、AC的平行线PM、PN，交AC、AB于点M、N，则下列数量关系一定正确的是（　　）

A．PM+PN＝AB B．PM+PN＝BC
C．PM+PN＝2BC D．PM+PN＝AB+BC
【分析】证明∠B＝∠BPN，得PN＝BN，证明四边形AMPN为平行四边形得PM＝AN，进而便可得PM+PN＝AB．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵PN∥AC，
∴∠BPN＝∠C＝∠B，
∴PN＝BN，
∵PM∥AB，PN∥AC，
∴四边形AMPN是平行四边形，
∴PM＝AN，
∴PM+PN＝AN+BN＝AB，
故选：A．

9．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为（　　）
A． B． C．或 D．或﹣1
【分析】由勾股定理求出CQ，分两种情况，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，
∴CQ＝＝＝；
当点Q在BC延长线上时，BQ＝CQ+BC＝+1；
当点Q在CB延长线上时，BQ＝CQ﹣BC＝﹣1；
故选：C．

10．（2分）如图，动点P在边长为2的等边△ABC的边上．它从点A出发，沿A→C→B→A的方向以每秒1个单位长度的速度运动．如果点P的运动时间为t秒，点P与点C之间的距离记为y，那么y与t之间的函数关系用图象表示大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分段求出函数表达式即可求解．
【解答】解：（1）当点P在AC上运动时，
y＝2﹣t，
（2）当点P在BC上运动时，
y＝t﹣2，
（3）当点P在AB上运动时，

过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝ACsinA＝2×＝，AH＝1；
当点P在点H右侧时，
y＝PC＝＝＝；
该函数为一条曲线，
当点P在CH左侧时，同理函数为一条曲线；
故选：D．
二、填空题（本题共12分，每小题2分）
11．（2分）使二次根式有意义的x的取值范围是　x≥5　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣5≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
12．（2分）2020年3月北京市16个区的PM2.5的浓度（单位：微克/立方米）统计情况如表：
PM2.5的浓度
31
32
33
35
36
38
区的个数
3
1
2
4
5
1
下面有三个结论：
①PM2.5的浓度众数是5；
②PM2.5的浓度中位数是35；
③PM2.5的浓度平均数约为34．其中正确的是　②③　（填写序号）．
【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可．
【解答】解：①PM2.5的浓度众数是36，错误；
②PM2.5的浓度中位数是35，正确；
③PM2.5的浓度平均数约为≈34，
故答案为：②③．
13．（2分）如图，菱形ABCD中，AB＝10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠AEO＝32°，则OE的长等于　5　，∠ADO的度数为　16°　．

【分析】根据菱形的性质得出BO＝DO，∠ADO＝∠ADC，AB∥CD，由三角形中位线定理得出OE∥AB，OE＝AB＝5，根据平行线的判定与性质以及角平分线定义即可求出∠ADO的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，∠ADO＝∠ADC，AB∥CD，
∵E是边AD的中点，BO＝DO，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AB，OE＝AB＝5，
∴OE∥CD，
∴∠ADC＝∠AEO＝32°，
∴∠ADO＝16°．
故答案为：5，16°．
14．（2分）如图，三角形花园的边界AB，BC互相垂直，若测得∠A＝30°，BC的长度为40m，则边界AC的中点D与点B的距离是　40　m．

【分析】由勾股定理可得AC＝80，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，于是得到结论．
【解答】解：连接BD，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝40，

∴AC＝2BC＝80，
∵D是AC中点，
∴BD＝AC＝40，
即边界AC的中点D与点B的距离是40m；
故答案为：40．
15．（2分）图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形．则图1中菱形的面积等于　24　；图2中间的小四边形的面积等于　1　．

【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半，求出图1菱形的面积，再根据菱形的对角线长可得菱形边长为5，进而可得图2中间的小四边形的面积是边长为5的正方形的面积减去菱形的面积．
【解答】解：∵图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴菱形的面积等于6×8＝24，
菱形的边长等于＝5，
∴图2中间的小四边形的面积等于25﹣24＝1．
故答案为：24，1．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b与y2＝x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列四个结论中正确的是　①②　（填写序号）．
①直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°；
②k+b＞0；
③关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x≤2．

【分析】结合一次函数的性质、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论．
【解答】解：由y2＝x+m知：直线与坐标轴的截距相等，所以，直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°，故①的结论正确；
由图知：当x＝1时，函数y1图象对应的点在x轴的上方，因此k+b＞0故②的结论不正确；
由图知：当x＞2时，函数y1图象对应的点都在y2的图象下方，因此关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x＞2，故③的结论不正确；
故答案为①②．
三、解答题（本题共68分，第17一22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）（）（）
【分析】根据平方差公式进行计算．
【解答】解：原式＝（）2﹣（）2
＝5﹣3
＝2．
18．（5分）计算：（）×．
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的乘除法运算．
【解答】解：原式＝（4﹣2）××
＝2××
＝．
19．（5分）如图是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规作图过程．

已知：矩形ABCD．
求作：▱AGHD，使∠GAD＝30°．
作法：如图，
①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点E，F；
②作直线EF；
③以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交直线EF于点G，连接AG；
④以点G为圆心，以AD长为半径作弧，交直线EF于点H，连接DH．
则四边形AGHD即为所求作的平行四边形．
根据小明设计的尺规作图过程，填空：
（1）∠BAG的大小为　60°　；
（2）判定四边形AGHD是平行四边形的依据是　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形　；
（3）用等式表示平行四边形AGHD的面积S1和矩形ABCD的面积S2的数量关系为　S1＝2S2　．
【分析】（1）连接BG，由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，得到AG＝BG，推出△ABG是等边三角形，于是得到结论；
（2）根据矩形的性质得到∠BAD＝90°，推出GH∥AD，得到四边形AGHD是平行四边形；
（3）设EF与AB交于M，根据矩形和平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）连接BG，
由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，
∴AG＝BG，
∵AB＝AG，
∴AB＝AG＝BG，
∴△ABG是等边三角形，
∴∠BAG＝60°；
故答案为：60°；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵EF⊥AB，
∴GH∥AD，
∵GH＝AD，
∴四边形AGHD是平行四边形，
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（3）设EF与AB交于M，
∵S1＝AD•AB，S2＝HG•AM＝AD•AB＝AD•AB，
∴S1＝2S2，
故答案为：S1＝2S2．

20．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，0），B（1，3）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）将函数y＝kx+b的图象平移可得到函数y＝kx﹣1的图象，写出平移的过程．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据平移的规律即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，0），B（1，3）两点．
∴，解得，
∴一次函数为y＝x+2；
（2）将函数y＝x+2的图向下平移3个单位可得到函数y＝2x﹣1的图象．
21．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝1.5，BD＝2.5．
（1）求点D到直线AB的距离；
（2）求线段AC的长．

【分析】（1）作DE⊥AB，根据角平分线的性质得到DE＝CD＝1.5，得到答案；
（2）证明Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质得到AC＝AE，根据勾股定理求出BE，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝1.5，
∴点D到直线AB的距离为1.5；
（2）在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴AC＝AE，
在Rt△DEB中，BE＝＝2，
在Rt△ACB中，AB2＝AC2+BC2，即（AC+2）2＝AC2+42，
解得，AC＝3．

22．（5分）2017年国务院印发《新一代入工智能发展规划》，将人工智能上升为国家战略，我国人工智能领域迎来新的发展契机．
根据相关信息，回答问题：
（1）图1反映了我国人工智能专利授权量（单位：件）近些年的变化情况.2017年，中国人工智能专利授权量为
　17477　件；

（2）图2是2017年前20名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图，数据被分成5组，其中在100≤x＜200之间的数据分别是：129，154，155，165，170，170，186，190．则20个专利授权量的中位数是　141.5　；
（3）2017年中国人工智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支位于前20的统计折线图如图3．依据折线图推断，基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支的专利授权量的方差最小的是　垂直应用　．
（4）下列推断合理的是　①②　（填写序号）．
①我国人工智能正快速发展；
②在基础硬件方面需要加大创新投入提升竞争力．
【分析】（1）根据折线统计图可得答案；
（2）根据中位数的计算方法，求出中位数即可；
（3）根据图3中数据的离散程度，判断方差的大小．
（4）根据题意进行判断．
【解答】解：（1）由折线统计图可知，2017年中国人工智能专利授权量为为17477件，
故答案为：17477；
（2）将20名中国人工智能国内专利权人的排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝141.5；
因此中位数是141.5，
故答案为：141.4；
（3）根据图3，可以直观得出“垂直应用”的离散程度较小，因此“垂直应用”的方差最小，
故答案为：垂直应用；
（4）故答案为：①②．
23．（6分）A，B，C三地都在一条笔直的公路边，B在A，C之间．甲、乙两人相约到C地游玩，甲由A地出发骑自行车，平均速度是8km/h；乙由B地出发骑电动自行车匀速行驶．设甲骑行的时间为t（单位：h），甲、乙与A地的距离分别为y1，y2（单位：km）．y1，y2都是t的函数，其中y2与t的对应关系如图所示．
回答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离为　5　km；
（2）　乙　先到达C地；
（3）y1与t之间的函数表达式是　y1＝8t　，乙出发后到达C地之前，y2与t之间的函数表达式是　y2＝12t﹣7　；
（4）到达C地之前，当t＝　　时，甲、乙两人与A地的距离相等；

【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到A，B两地之间的距离；
（2）根据函数图象中的数据，可以得到乙的速度，再根据题意，即可得到乙先到达C地；
（3）根据题意和函数图象中的数据，可以得到y1与t之间的函数表达式和乙出发后到达C地之前，y2与t之间的函数表达式；
（4）令（3）中的两个函数解析式函数值相等，即可得到t的值，本题得以解决．
【解答】解：（1）由图象可得，
A，B两地之间的距离为5km，
故答案为：5；
（2）由图象可得，
乙的速度为：（11﹣5）÷（1.5﹣1）＝12（km/h），
∵甲的速度为8km/h，12＞8，
∴乙先到达C地，
故答案为：乙；
（3）由已知可得，
y1与t之间的函数表达式是y1＝8t，
设y2与t之间的函数表达式是y2＝kt+b，
，
解得，，
即y2与t之间的函数表达式是y2＝12t﹣7，
故答案为：y1＝8t，y2＝12t﹣7；
（4）令8t＝12t﹣7，
解得，t＝，
即到达C地之前，当t＝时，甲、乙两人与A地的距离相等，
故答案为：．
24．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点：
（1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；
（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等；
（3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．

【分析】（1）根据矩形的性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质即可得到结论；
（3）根据正方形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，矩形ABCD即为所求；
（2）如图2，平行四边形ABCSD即为所求；
（3）如图3，正方形ABCD即为所求．

25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+5与y轴交于点A．直线l2：y＝﹣x+1与直线l1交于点B，与y轴交于点C．
（1）当点B的纵坐标为2时，
①写出点B的坐标及k的值；
②求直线l1，l2与y轴所围成的图形的面积；
（2）当点B的横坐标xB满足﹣3≤xB≤﹣1时，求实数k的取值范围．

【分析】（1）①将y＝2代入直线l2：y＝﹣x+1，求出x，得到点B的坐标；把B点坐标代入直线l1：y＝kx+5，即可求出k的值；
②根据直线l1的解析式，求出A（0，5），根据直线l2的解析式，求出C（0，1）．利用三角形面积公式即可求出S△ABC；
（2）将两条直线的解析式联立得到方程组，解方程组求出点B的坐标，根据点B的横坐标xB满足﹣3≤xB≤﹣1，分别计算xB＝﹣3与xB＝﹣1时k的值，即可得到实数k的取值范围．
【解答】解：（1）①∵直线l2：y＝﹣x+1过点B，点B的纵坐标为2，
∴﹣x+1＝2，解得x＝﹣1，
∴点B的坐标为（﹣1，2）．
∵直线l1：y＝kx+5过点B，
∴2＝﹣k+5，解得k＝3；

②∵k＝3，
∴直线l1的解析式为：y＝x+5，
∴A（0，5）．
∵直线l2的解析式为：y＝﹣x+1，
∴C（0，1）．
∴AC＝5﹣1＝4，
∴直线l1，l2与y轴所围成的图形的面积S△ABC＝×4×1＝2；

（2）解方程组，得，
∴点B的坐标为（﹣，）．
∵点B的横坐标xB满足﹣3≤xB≤﹣1，
∴当xB＝﹣3时，﹣＝﹣3，解得k＝，
当xB＝﹣1时，﹣＝﹣1，解得k＝3，
∴实数k的取值范围是≤k≤3．

26．（6分）如图1，矩形ABCD中，AC＝7cm，AB＞3cm．点E在边AB上，BE＝3cm．点F为对角线AC上的动点，连接EF，BF．设A，F两点间的距离为xcm，BF＝y1cm，EF＝y2cm．

小华根据学习函数的经验，对△EFB的形状进行了探究．
下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）对于点F在AC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BF，EF的长度的几组值，如下表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
y1/cm
5.63
4.86
4.19
3.68
3.39
3.38
3.65
4.16
y2/cm
2.63
1.92
1.57

2.44
3.28
4.19
5.13
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并在图2中画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△BEF为等腰三角形时，AF的长度约为　4.65或5.35（答案不唯一）　cm（结果保留两位小数）．
【分析】（1）用光滑的曲线连接y2的函数图象，测得x＝3时，y2≈1.85（答案不唯一）；
（2）描点画出函数y1，y2的图象即可；
（3）分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）用光滑的曲线连接y2的函数图象，
测得x＝3时，y2≈1.85（答案不唯一），
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
y1/cm
5.63
4.86
4.19
3.68
3.39
3.38
3.65
4.16
y2/cm
2.63
1.92
1.57
1.85
2.44
3.28
4.19
5.13
（2）画出函数y1，y2的图象如下图：


（3）y1＝BF，y2＝EF，BE＝3，
当BE＝BF时，即y1＝3，从图象看，x无解；
当BE＝EF时，即y2＝3，从图象看，x≈4.65（答案不唯一）；
当BF＝EF时，即y1＝y2，从图象看，x≈5.35（答案不唯一）；
故AF的长度约为4.65或5.35（cm）（答案不唯一），
故答案为4.65或5.35（答案不唯一）．
27．（7分）如图，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线翻折，使点B恰好与其对角线AC的中点O重合，折痕与边BC交于点E．延长EO交AD于点F，连接CF．
（1）按要求补全图形；
（2）求证：四边形AECF是菱形；
（3）若AB＝，求BE的长．

【分析】（1）依照题意补全图形；
（2）由“ASA”可证△AOF≌△COE，可得OF＝OE，可证四边形AECF是平行四边形，由折叠的性质可得AB＝AO，∠ABC＝∠AOE＝90°，可得结论；
（3）由勾股定理可求BC＝3，利用勾股定理列出方程可求BE的长．
【解答】解：（1）依照题意补全图形，如图所示：

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠FAC＝∠ECA，
∵点O是AC中点，
∴AO＝CO，
又∵∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵将矩形纸片ABCD沿过点A的直线翻折，
∴AB＝AO，∠ABC＝∠AOE＝90°，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵AB＝，
∴AO＝AB＝，AC＝2AO＝2，
∴BC＝＝＝3，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE，
∵AE2＝BE2+AB2，
∴（3﹣BE）2＝BE2+3，
∴BE＝1．
28．（7分）已知正方形ABCD边长为10，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形ABCD的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形ABCD的内等边三角形．
（1）正方形ABCD的边长为10，点E在边AD上．
①当点E为边AD的中点时，求作：正方形ABCD的内等边△AEF（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②若△AEF是正方形ABCD的内等边三角形，连接BF，DF，则线段BF长的最小值是　5　，线段DF长的取值范围是　5≤DF≤10　；
（2）△ADP和△AMN都是正方形ABCD的内等边三角形，当边AM的长最大时，画出△ADP和△AMN，点A，M，N按逆时针方向排序，连接NP，求NP的长．

【分析】（1）①以点A，点E为圆心，AE长为半径画弧，两弧交于点F，连接EF，AF，即△AEF是等边三角形；
②由题意可得点F在与AD成60°的直线AF上移动，则当BF⊥AF时，BF有最小值，当DF⊥AF时，DF有最小值，当点E与点D重合时，DF有最大值，最大值为10，即可求解；
（2）如图3，过点P作PH⊥AN于H，作∠AMG＝∠MAB，交AB于G，解直角三角形求出AM，AN，再求出NH，PH即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图所示，△AEF是等边三角形；

②如图2，

∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴点F在与AD成60°的直线AF上移动，
∴当BF⊥AF时，BF有最小值，
此时，∵∠FAB＝∠DAB﹣∠EAF＝30°，
∴BF＝AB＝5，
∴BF的最小值为5，
当DF⊥AF时，DF有最小值，
此时，∠ADF＝30°，
∴AF＝AD＝5，DF＝AF＝5，
当点E与点D重合时，DF有最大值，最大值为10，
∴线段DF长的取值范围为5≤DF≤10，
故答案为：5，5≤DF≤10；
（2）如图3，过点P作PH⊥AN于H，作∠AMG＝∠MAB，交AB于G，

∵边AM的长最大，
∴点M在BC上，点N在CD上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝CD＝BC，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN＝MN，∠MAN＝60°，
∴Rt△ADN≌Rt△ABM（HL），
∴DN＝BM，∠DAN＝∠BAM＝15°，
设DN＝BM＝a，
∵∠AMG＝∠MAB＝15°，
∴∠MGB＝30°，AG＝GM，
∴MG＝2a，GB＝a，
∴AB＝a+2a＝10，
∴a＝20﹣10，
∴AM＝＝（+）a＝10﹣10，
∴AN＝AM＝10﹣10，
∵∠DAN＝15°，∠DAP＝60°，
∴∠NAP＝45°，
又∵PH⊥AN，
∴∠PAH＝∠APH＝45°，
∴AH＝PH，AP＝AH，
∵AD＝AB＝AP＝10，
∴AH＝PH＝5，
∴NH＝AN﹣AH＝10﹣15，
∴NP＝＝＝10．