2019-2020学年贵州省遵义市汇川区八年级（下）期末数学试卷 解析版

2019-2020学年贵州省遵义市汇川区八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（共12小题）
1．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）一组数据2，2，4，3，6，5，2的众数和中位数分别是（　　）
A．3，2 B．2，3 C．2，2 D．2，4
3．（3分）下列四组数，可作为直角三角形三边长的是（　　）
A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm
C．2cm、3cm、4cm D．1cm、cm、cm
4．（3分）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（　　）

A．9m B．12m C．8m D．10m
5．（3分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点（即网格线的交点），则线段AB的长度为（　　）

A．3 B．5 C．6 D．4
6．（3分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（　　）

A．8 B．9 C．27 D．45
7．（3分）下列说法错误的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
8．（3分）一组数据为5，6，7，8，10，10，某同学在抄题时，误把其中一个10抄成了100，那么该同学所抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
9．（3分）下列运算：①﹣3＝0：②2×3＝6：③÷＝2；④（+2）2＝7，其中错误的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与DC交于点F，AF⊥BF，DG⊥AF，垂足为G，DG＝3，则BF的长为（　　）

A． B．5 C．6 D．8
11．（3分）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+．其中正确结论的序号是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
12．（3分）如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD＝BE．若AB＝6，DE＝2，则△EFC的面积为（　　）

A．1 B．2 C． D．4
二．填空题（共4小题）
13．（3分）若+在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
14．（3分）如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要　 　米长．

15．（3分）若1，4，m，7，8的平均数是5，则1，4，m+10，7，8的平均数为　 　．
16．（3分）在正方形ABCD中，点G在AB上，点H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分别与对角线AC交于点E、F，则线段AE、EF、FC之间的数量关系为　 　．

三．解答题（共8小题）
17．计算：
①﹣+；
②（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．
18．先化简，再求值：÷（x﹣2﹣），其中x＝﹣3．
19．在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．
（1）请在图中画一个边长为的正方形；
（2）这个正方形的面积为　 　．

20．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，∠ADC＝150°，已知四边形ABCD的周长为30．
（1）求CD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．

21．为了解九年级学生体育水平，学校对九年级全体学生进行了体育测试，并从甲、乙两班中各随机抽取20名学生成绩进行整理分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.30≤x＜35；B.35≤x＜40，C.40≤x＜45，D.45≤x≤50）下面给出了部分信息：
甲班20名学生体育成绩：33，35，36，39，40，41，42，43，44，45，45，46，47，47，48，48，48，49，50，50．
乙班20名学生体育成绩在C组中的数据是；40，43，41，44，42，41．
甲、乙两班被抽取学生体育成绩统计表：

平均数
中位数
众数
方差
甲班
43.8
45.5
c
24.85
乙班
42.5
b
45
22.34
根据以上信息，解答下列问题；
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为　 　班（填“甲”或“乙”）体育水平更高，说明理由（两条理由）：
①　 　；
②　 　．
（3）学校九年级学生共1200人，估计全年级体育成绩优秀（x≥45）的学生人数是多少？

22．如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．
（1）A城市是否会受台风影响？为什么？
（2）若会，将持续多长时间？
（3）该城市受台风影响的最大风力为几级？

23．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若点E是BC的中点，求∠C的度数．

24．如图，在等边△ABC中，点D在BC的延长线上，连接AD，∠ADN＝60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F，过点F作MF∥BC交射线AB于点M．
（1）四边形BCFM是平行四边形吗？请说明理由；
（2）求证：CF+CD＝BE；
（3）若∠ADC＝30°，AB＝8，求BE、CD的长．


2019-2020学年贵州省遵义市汇川区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A.，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.是最简二次根式，故本选项符合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）一组数据2，2，4，3，6，5，2的众数和中位数分别是（　　）
A．3，2 B．2，3 C．2，2 D．2，4
【分析】根据众数的意义，找出出现次数最多的数，根据中位数的意义，排序后找出处在中间位置的数即可．
【解答】解：这组数据从小到大排列是：2，2，2，3，4，5，6，
出现次数最多的数是2，故众数是2；
处在中间位置的数，即处于第四位的数是中位数，是3，
故选：B．
3．（3分）下列四组数，可作为直角三角形三边长的是（　　）
A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm
C．2cm、3cm、4cm D．1cm、cm、cm
【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、12+22≠32，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵22+32≠42，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵12+（）2＝（）2，∴此组数据能构成直角三角形，故本选项正确．
故选：D．
4．（3分）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（　　）

A．9m B．12m C．8m D．10m
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．
【解答】解：∵A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，
∴AB＝DE＝9m，
故选：A．
5．（3分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点（即网格线的交点），则线段AB的长度为（　　）

A．3 B．5 C．6 D．4
【分析】由勾股定理即可得出线段AB的长．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝5；
故选：B．
6．（3分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（　　）

A．8 B．9 C．27 D．45
【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4＝x﹣3，求出即可．
【解答】解：设正方形D的面积为x，
∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，
∴根据图形得：2+4＝x﹣3，
解得：x＝9，
故选：B．
7．（3分）下列说法错误的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【分析】根据正方形、矩形、菱形和平行四边形的判定判断即可．
【解答】解：A、对角线互相平分、相等且垂直的四边形是正方形，原命题是假命题，符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，选项正确，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项正确，不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项正确，不符合题意；
故选：A．
8．（3分）一组数据为5，6，7，8，10，10，某同学在抄题时，误把其中一个10抄成了100，那么该同学所抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
【分析】根据中位数，平均数，方差，众数的定义判断即可．
【解答】解：一组数据为5，6，7，8，10，10，某同学在抄题时，误把其中一个10抄成了100，那么该同学所抄的数据和原数据相比，中位数不变，平均数，方差，众数发现变化，
故选：A．
9．（3分）下列运算：①﹣3＝0：②2×3＝6：③÷＝2；④（+2）2＝7，其中错误的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次根式的混合运算法则，化简计算即可判断；
【解答】解：①﹣3＝0，正确；
②2×3＝12，错误；
③÷＝2；正确；
④（+2）2＝7+4，错误；
故选：B．
10．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与DC交于点F，AF⊥BF，DG⊥AF，垂足为G，DG＝3，则BF的长为（　　）

A． B．5 C．6 D．8
【分析】延长AD、BF交于点E，证明△DEF≌△CBF（AAS），得出DE＝BC，EF＝BF，证出DG是△AEF的中位线，得出EF＝2DG＝6，即可得出答案．
【解答】解：延长AD、BF交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠E＝∠CBF，∠BAF+∠DAF+∠ABF+∠CBF＝180°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AF⊥BF，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，BC＝AD，
∴∠CFB＝∠ABF，∠BAF＝∠DFA，
∴∠CFB＝∠CBF，∠DFA＝∠DAF，
∴CB＝CF，DA＝DF，
∴DF＝CF，
在△DEF和△CBF中，，
∴△DEF≌△CBF（AAS），
∴DE＝BC，EF＝BF，
∴AD＝DE，
∵AF⊥BF，DG⊥AF，
∴DG∥EF，
∴DG是△AEF的中位线，
∴EF＝2DG＝2×3＝6，
∴BF＝EF＝6；
故选：C．

11．（3分）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+．其中正确结论的序号是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB＝∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；
③利用①中的全等，可得∠APD＝∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP＝90°，即可证；
④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可．
【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
又∵AE＝AP，AB＝AD，
∵在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS）；
故此选项成立；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP＝∠PAE＝90°，
∴EB⊥ED；
故此选项成立；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB＝∠FBE＝45°，
又∵BE＝＝，
∴BF＝EF＝，
故此选项正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE＝AP＝1，
∴EP＝，
又∵PB＝，
∴BE＝，
∵△APD≌△AEB，
∴PD＝BE＝，
∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+）﹣××＝+．
故此选项不正确．
综上可知其中正确结论的序号是①②③，
故选：A．


12．（3分）如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD＝BE．若AB＝6，DE＝2，则△EFC的面积为（　　）

A．1 B．2 C． D．4
【分析】过F作FQ⊥BC于Q，根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出BE＝2，∠BED＝60°，∠DEF＝90°，EF＝2，求出∠FEQ，求出CE和FQ，即可求出答案．
【解答】解：过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，
∵BD＝BE，DE＝2，
∴△BED是等边三角形，且边长为2，
∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，
∴CE＝BC﹣BE＝4，
∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，
∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，
∴∠FEC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴QF＝EF＝1，
∴△EFC的面积为＝＝2，
故选：B．
二．填空题（共4小题）
13．（3分）若+在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　x≥1且x≠3　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，且x﹣3≠0，
解得：x≥1且x≠3，
故答案为：x≥1且x≠3．
14．（3分）如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要　14　米长．

【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
【解答】解：根据勾股定理，可得楼梯水平长度为＝8米，
则红地毯至少要8+6＝14米．
故答案为：14．
15．（3分）若1，4，m，7，8的平均数是5，则1，4，m+10，7，8的平均数为　7　．
【分析】先根据算术平均数的计算方法求出m的值，再求新一组数的平均数即可；也可以根据新一组的五个数的和，比原五个数的和多10，因此平均数比原平均数多2，求出结果即可．
【解答】解：由题意得，1+4+m+7+8＝5×5，
解得，m＝5，
（1+4+15+7+8）÷5＝7，
故答案为7．
16．（3分）在正方形ABCD中，点G在AB上，点H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分别与对角线AC交于点E、F，则线段AE、EF、FC之间的数量关系为　EF2＝AE2+CF2　．

【分析】将△DCH绕点D顺时针旋转90°，在DM上截取DN＝DF，连接NE，AN再证△DAN≌△DCF（SAS），求得∠NAE＝90°，由勾股定理得AN2+AE2＝NE2，然后证△DNE≌△DFE，将相关线段代入AN2+AE2＝NE2，即可得答案．
【解答】解：如图，将△DCH绕点D顺时针旋转90°，得△DAM，则△DAM≌△DCH
则DM＝DH，AM＝CH，∠CDH＝∠ADM

在DM上截取DN＝DF，连接NE，AN
在△DAN和△DCF中
；
∴△DAN≌△DCF（SAS）
∴AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°
又∵∠DAC＝45°
∴∠NAE＝90°
∴AN2+AE2＝NE2
∵∠GDH＝45°，
∴∠NDE＝45°
在△DNE和△DFE中

∴△DNE≌△DFE
∴NE＝EF
又∵AN＝CF
∴CF2+AE2＝EF2
故答案为：EF2＝AE2+CF2．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
①﹣+；
②（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用零指数幂、负整数指数幂和二次根式的除法法则运算．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+4
＝5；
（2）原式＝1+2﹣++3
＝6．
18．先化简，再求值：÷（x﹣2﹣），其中x＝﹣3．
【分析】首先对括号内的分式通分相减，把除法转化为乘法即可化简，然后代入x的值进行化简即可．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝•
＝．
当x＝﹣3时，原式＝＝﹣．
19．在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．
（1）请在图中画一个边长为的正方形；
（2）这个正方形的面积为　10　．

【分析】（1）根据勾股定理画出图形即可；
（2）根据正方形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示；

（2）S正方形＝（）2＝10．
故答案为：10．

20．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，∠ADC＝150°，已知四边形ABCD的周长为30．
（1）求CD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）连接BD，设CD＝x，则BC＝18﹣x，利用勾股定理可求出CD的长度，从而可求出答案．
（2）作DE⊥AB于E，根据等边三角形的性质可求出DE的长度，从而可求出△BCD的面积和△ABD的面积，进而可求出四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）连接BD
∵AB＝AD，∠A＝600，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD＝BD＝6，∠ADB＝60°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠BDC＝90°，
∵四边形ABCD周长为30，
∴BC+CD＝18，
设CD＝x，则BC＝18﹣x，
在Rt△BCD中，62+x2＝（18﹣x）2，
∴x＝8，
∴CD＝8；
（2）过点D作DE⊥AB于E，
∵AB＝6，
∴AE＝BE＝3，
∴DE＝，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝×6×3+×6×8，
＝9+24．

21．为了解九年级学生体育水平，学校对九年级全体学生进行了体育测试，并从甲、乙两班中各随机抽取20名学生成绩进行整理分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.30≤x＜35；B.35≤x＜40，C.40≤x＜45，D.45≤x≤50）下面给出了部分信息：
甲班20名学生体育成绩：33，35，36，39，40，41，42，43，44，45，45，46，47，47，48，48，48，49，50，50．
乙班20名学生体育成绩在C组中的数据是；40，43，41，44，42，41．
甲、乙两班被抽取学生体育成绩统计表：

平均数
中位数
众数
方差
甲班
43.8
45.5
c
24.85
乙班
42.5
b
45
22.34
根据以上信息，解答下列问题；
（1）a＝　40　，b＝　42.5　，c＝　48　；
（2）根据以上数据，你认为　甲　班（填“甲”或“乙”）体育水平更高，说明理由（两条理由）：
①　甲班的平均数大于乙班的平均数　；
②　甲班的中位数数大于乙班的中位数　．
（3）学校九年级学生共1200人，估计全年级体育成绩优秀（x≥45）的学生人数是多少？

【分析】（1）用C组的人数和除以总人数求出C组所占的百分比，再用整体1减去其它所占的百分比，即可求出a；再根据中位数和众数的定义即可求出b和c；
（2）从平均数和中位数两个方面进行分析，即可得出答案；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）6÷20＝30%，1﹣30%﹣20%﹣10%＝40%，因此a＝40；
∵共有20名学生，处在第10、11位的两个数的平均数为（42+43）÷2＝42.5，
∴乙班的中位数d＝42.5，
∵48出现了3次，出现的次数最多，
∴众数c＝48；
故答案为：40，42.5，48；

（2）甲班体育水平更高，理由如下：
①甲班的平均数大于乙班的平均数；
②甲班的中位数数大于乙班的中位数；
故答案为：甲，甲班的平均数大于乙班的平均数；甲班的中位数数大于乙班的中位数；

（3）根据题意得：
1200×40%＝480（人），
答：全年级体育成绩优秀（x≥45）的学生人数是480人．
22．如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．
（1）A城市是否会受台风影响？为什么？
（2）若会，将持续多长时间？
（3）该城市受台风影响的最大风力为几级？

【分析】（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段．直角三角形ABD中，有∠ABD的度数，有AB的长，AD就不难求出了．
（2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC上的线段的长即EF得长，可通过在直角三角形AED和AFD中，根据勾股定理求得．有了路程，有了速度，时间就可以求出了．
（3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风．
【解答】解：（1）该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝30°，AB＝220，
∴，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为20×（12﹣4）＝160．
∵110＜160，
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）如图以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F．
则AE＝AF＝160．
∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2＝60．
∴台风影响该市的持续时间t＝60÷15＝4（小时）．
（3）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（110÷20）＝6.5（级）．

23．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若点E是BC的中点，求∠C的度数．

【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可解决问题；
（2）连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AC，根据菱形的性质得到AB＝BC，根据等边三角形的性质得到∠B＝60°，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，且BE＝DF，∠B＝∠D，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：连接AC，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵AE⊥BC，
∴AB＝AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC，
∴∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°．

24．如图，在等边△ABC中，点D在BC的延长线上，连接AD，∠ADN＝60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F，过点F作MF∥BC交射线AB于点M．
（1）四边形BCFM是平行四边形吗？请说明理由；
（2）求证：CF+CD＝BE；
（3）若∠ADC＝30°，AB＝8，求BE、CD的长．

【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）由四边形BCFM是平行四边形，得到BM＝CF，FM＝BC，由△ABC是等边三角形，得到AC＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°，等量代换得到AC＝MF，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）由∠ADC＝30°，∠ACB＝∠ABC＝60°，得到∠BAD＝90°，∠CAD＝∠CDA＝30°，根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：（1）四边形BCFM是平行四边形，
理由：∵CF∥AB，MF∥BC，
∴四边形BCFM是平行四边形；
（2）∵四边形BCFM是平行四边形，
∴BM＝CF，FM＝BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴AC＝MF，
∵MF∥BC，
∴∠BMF＝∠ABC＝60°，∠CDF＝∠MFE，
∴∠ACD＝∠EMF＝120°，
∴∠MEF+∠MFE＝60°，
∵∠ADN＝60°，
∴∠ADC+∠CDF＝60°，
∴∠ADC＝∠MEF，
在△ACD与△FME中，，
∴△ACD≌△FME，
∴CD＝ME，
∴BE＝BM+ME＝CF+CD；
（3）∵∠ADC＝30°，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝90°，∠CAD＝∠CDA＝30°，∠BDE＝30°，
∵AB＝8，
∴BD＝16，AC＝AB＝BC＝8，
∴CD＝AC＝8，
∵∠BDE＝30°，∠EBD＝120°，
∴∠BED＝∠BDE＝30°，
∴BE＝BD＝16．