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2019-2020学年江苏省南京市联合体学校八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年江苏省南京市联合体学校八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）若二次根式有意义，则x的值可以为（ ）
A．﹣2 B．4 C．2 D．0
2．（2分）如果分式的值为零，那么m的值是（ ）
A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．＝3 B．•＝ C．＝2 D．﹣＝
4．（2分）不透明的袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其它差别，随机从袋子中摸出一个球，则（ ）
A．这个球一定是黑球
B．事先能确定摸到什么颜色的球
C．这个球可能是白球
D．摸到黑球、白球的可能性大小一样
5．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A．逐渐增加
B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等
D．保持不变且与AB的长度相等
6．（2分）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行一次，在没有风时，飞行器的速度为v，所需时间为t1；如果风速度为p时（0＜p＜v），飞行器顺风飞行速度为（v+p），逆风飞行速度为（v﹣p），所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为（ ）
A．t1＜t2 B．t1≤t2 C．t1≥t2 D．无法确定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
8．（2分）计算：＝ ．
9．（2分）八年级（1）班安排了甲、乙、丙、丁四名同学参加4×100米接力赛，打算抽签决定四人的比赛顺序，则甲跑第一棒的概率为 ．
10．（2分）比较大小：4﹣ 1（填“＞”、“＝”或“＜”）
11．（2分）如图，小明根据全班同学喜爱四类电视节目的人数而绘制的两幅不完整的统计图，则喜爱动画节目的人数是 人．
12．（2分）已知反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，则常数k的取值范围是 ．
13．（2分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则△AEF的周长＝ cm．
14．（2分）如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为acm2和bcm2（a＞b）的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 cm2．
15．（2分）如果a、b为整数，满足＝b，ab＝216，则a+b的值为 ．
16．（2分）如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交y轴于C点，则△ABC面积为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分）
17．（6分）计算：
（1）﹣
（2）（3+）（﹣）
18．（5分）化简分式（﹣）÷，并从﹣1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值．
19．（8分）解方程：
（1）＝﹣3；
（2）﹣＝1．
20．（6分）讲禁毒，知今古，教训深，应紧记!某校积极爼织开展全国青少年禁莓知识竞赛活动，为了解全校学生的活动情况，随机抽取了50名学生的竞赛成绩，将抽取得到的成绩分为5组，整理后得到下面的频数、频率分布表：
组别
分组
频数/人
频率
1
50≤x＜60
3
0.06
2
60≤x＜70
a
b
3
70≤x＜80
14
0.28
4
80≤x＜90
6
0.12
5
90≤x＜100
20
c
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）画出50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图．
21．（6分）某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖．
（1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件．（填随机、必然、不可能）
（2）小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量；
（3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由．
22．（6分）某厂为抗击疫情，要在规定时间内加工1500万只口罩．在加工了300万只口罩后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成任务，求该厂原来每天加工多少万只口罩？
23．（7分）小阳要把一篇文章录入电脑，所需时间y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的反比例函数关系如图．
（1）这篇文章共有多少个字？
（2）写出y与x的函数表达式；
（3）若小阳7点20分开始录入，预计完成时间不超过7点28分，请你用函数的性质说明小阳录入文字的速度至少为多少？
24．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF、BE交于点G，连接CE、DF交于点H．
（1）求证：四边形EGFH为平行四边形；
（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形EGFH为矩形？并说明理由．
25．（8分）[问题情境]
（1）如图1，已知正方形ABCD，点E在CD的延长线上，以CE为边构造正方形CEFG，连接BE和DG，则BE和DG的数量关系为 ．
[继续探究]
（2）如图2，若正方形ABCD的边长为4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE．
①求证：DG⊥BE．
②连接BG，若AE＝1，求BG长．
26．（9分）小杰同学根据学习函数的经验，对函数y＝+1的图象与性质进行了探究．下面是小杰的探究过程，请补充完整：
（1）下表列出了x与y的几组对应值，其中，m＝ ；
x
…
﹣
﹣1
﹣
0
2
3
…
y
…
﹣
﹣
﹣1
﹣2
﹣5
m
4
3
…
请借助如图所示的平面直角坐标系，研究该函数的图象．发现：函数y＝+1的图象可由函数y＝的图象向 平移 个单位，再向上平移 个单位得到．
（2）写出该函数图象两条不同类型的性质：
① ；
② ；
（3）根据函数图象写出：
①当＜x≤4且x≠1时，y的取值范围是什么？
②当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？
2019-2020学年江苏省南京市联合体学校八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）若二次根式有意义，则x的值可以为（ ）
A．﹣2 B．4 C．2 D．0
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：根据题意知x﹣3≥0，
解得x≥3，
故选：B．
2．（2分）如果分式的值为零，那么m的值是（ ）
A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2
【分析】分子为零，但分母不等于零．
【解答】解：依题意得：m2﹣4＝0且m﹣2≠0，
即m+2＝0，
解得m＝﹣2．
故选：C．
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．＝3 B．•＝ C．＝2 D．﹣＝
【分析】根据二次根式的性质对A、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝3，所以A选项正确；
B、原式＝＝，所以B选项错误；
C、原式＝＝，所以C选项错误；
D、与﹣不能合并，所以D选项错误．
故选：A．
4．（2分）不透明的袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其它差别，随机从袋子中摸出一个球，则（ ）
A．这个球一定是黑球
B．事先能确定摸到什么颜色的球
C．这个球可能是白球
D．摸到黑球、白球的可能性大小一样
【分析】随机从袋子中摸出一个球，可能摸出的球为黑球也可能为白球，然后计算摸出黑球的概率和摸出白球的概率，从而可判断摸出黑球的可能性大．
【解答】解：随机从袋子中摸出一个球，摸出黑球的概率为，摸出白球的概率为，
所以摸出黑球的可能性大．
故选：C．
5．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A．逐渐增加
B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等
D．保持不变且与AB的长度相等
【分析】证明△ABE≌△DBF（AAS），可得AE＝DF，根据线段的和可知：AE+CF＝AB，是一定值，可作判断．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°，
∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD＝60°，
∴∠A＝∠CDB，
∵∠EBF＝60°，
∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF，
∴∠ABE＝∠DBF，
在△ABE和△DBF中，
∵，
∴△ABE≌△DBF（AAS），
∴AE＝DF，
∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB，
故选：D．
6．（2分）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行一次，在没有风时，飞行器的速度为v，所需时间为t1；如果风速度为p时（0＜p＜v），飞行器顺风飞行速度为（v+p），逆风飞行速度为（v﹣p），所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为（ ）
A．t1＜t2 B．t1≤t2 C．t1≥t2 D．无法确定
【分析】直接根据题意表示出t1、t2的值，进而利用分式的性质计算得出答案．
【解答】解：∵t1＝，t2＝+＝，
∴t1﹣t2═﹣＝，
∵0＜p＜v，
∴t1﹣t2＜0，
∴t1＜t2．
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵分式在实数范围内有意义，
∴1﹣x≠0，
解得：x≠1，
则x的取值范围是：x≠1．
故答案为：x≠1．
8．（2分）计算：＝ 1 ．
【分析】直接根据同分母的分数相加减进行计算即可．
【解答】解：原式＝＝1．
故答案为：1．
9．（2分）八年级（1）班安排了甲、乙、丙、丁四名同学参加4×100米接力赛，打算抽签决定四人的比赛顺序，则甲跑第一棒的概率为 ．
【分析】根据概率公式进行解答．
【解答】解：∵跑第一棒有4种等可能的情况，其中甲跑第一棒只有1种情况，
∴甲跑第一棒的概率为．
故答案为．
10．（2分）比较大小：4﹣ ＞ 1（填“＞”、“＝”或“＜”）
【分析】先估算的大小，再得出4﹣的范围，即可解答．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∴4﹣3＜4﹣＜4﹣2，
∴1＜4﹣＜2，
故答案为：＞．
11．（2分）如图，小明根据全班同学喜爱四类电视节目的人数而绘制的两幅不完整的统计图，则喜爱动画节目的人数是 15 人．
【分析】根据统计图中的数据可以求得喜爱动画节目的人数．
【解答】解：由题意可得，
喜爱动画节目的人数是：5÷10%×30%＝15（人），
故答案为：15．
12．（2分）已知反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，则常数k的取值范围是 k＞ ．
【分析】根据反比例函数的性质可得2k﹣1＞0，再解不等式即可．
【解答】解：∵双曲线y＝的图象经过第一、三象限，
∴2k﹣1＞0，
解得k＞．
故答案为：k＞．
13．（2分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则△AEF的周长＝ 9 cm．
【分析】先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝10cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，EF＝OD＝BD＝AC＝cm，AF＝AD＝BC＝4cm，AE＝AO＝AC＝cm，
∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝9cm．
故答案为：9．
14．（2分）如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为acm2和bcm2（a＞b）的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 （﹣b） cm2．
【分析】根据正方形的面积表示出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为acm2和bcm2，
∴它们的边长分别为cm，cm，
∴AB＝cm，BC＝（+）cm，
∴空白部分的面积（+）﹣a﹣b＝（﹣b）cm2．
故答案为：﹣b．
15．（2分）如果a、b为整数，满足＝b，ab＝216，则a+b的值为 42 ．
【分析】根据算术平方根的定义可得b2＝a，所以ab＝b3＝216，据此求出a、b的值即可求解．
【解答】解：∵a、b为整数，满足＝b，ab＝216，
∴b3＝216，
∴b＝6，
∴a＝36，
∴a+b＝36+6＝42．
故答案为：42．
16．（2分）如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交y轴于C点，则△ABC面积为 20 ．
【分析】过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，则△ABF为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB（AAS），设BD＝a，则EF＝a，再得到DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，即可求出a值，从而得到点F（3，1），用待定系数法求出直线AC的解析式即可求解．
【解答】解：∵点A在反比例函数y＝的图象上，且点A的横坐标与纵坐标相等，
∴A（4，4），
过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，则△ABF为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB（AAS），设BD＝a，则EF＝a，
∵点A（4，4）和点B（0，2），
∴DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∵AE+OD＝4，
∴4﹣a+2﹣a＝4，
解得a＝1，
∴F（3，1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴y＝3x﹣8，
令x＝0，则y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
∴BC＝10，
∴S△ABC＝＝20，
故答案为：20．
三、解答题（本大题共10小题，共68分）
17．（6分）计算：
（1）﹣
（2）（3+）（﹣）
【分析】（1）先进行同分母的减法运算，然后把分子分母分解后约分即可；
（2）利用乘法公式展开，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝3﹣3+2﹣5
＝﹣2﹣．
18．（5分）化简分式（﹣）÷，并从﹣1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值．
【分析】先将括号内的分式通分，再按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．
【解答】解：原式＝[﹣]×
＝×
＝，
由于当x＝﹣1，x＝0或x＝1时，分式的分母为0，
故取x的值时，不可取x＝﹣1，x＝0或x＝1，
不妨取x＝2，
此时原式＝＝．
19．（8分）解方程：
（1）＝﹣3；
（2）﹣＝1．
【分析】（1）方程两边同乘最简公分母x﹣2，把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）方程两边同乘最简公分母（x+2）（x﹣2），把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：①方程两边都乘（x﹣2），
得1＝x﹣1﹣3（x﹣2），
解得x＝2，
检验：x＝2时，x﹣2＝0，
所以x＝2是原方程的增根，原方程无解；
②方程两边都乘（x+2）（x﹣2），
得（x+2）2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
解得x＝﹣1，
检验：x＝﹣1时，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解．
20．（6分）讲禁毒，知今古，教训深，应紧记!某校积极爼织开展全国青少年禁莓知识竞赛活动，为了解全校学生的活动情况，随机抽取了50名学生的竞赛成绩，将抽取得到的成绩分为5组，整理后得到下面的频数、频率分布表：
组别
分组
频数/人
频率
1
50≤x＜60
3
0.06
2
60≤x＜70
a
b
3
70≤x＜80
14
0.28
4
80≤x＜90
6
0.12
5
90≤x＜100
20
c
（1）a＝ 7 ，b＝ 0.14 ，c＝ 0.4 ；
（2）画出50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图．
【分析】（1）3÷0.06＝50（人），a＝50﹣3﹣14﹣6﹣20＝7，b＝7÷50＝0.14，c＝20÷50＝0.4；
（2）根据（1）补充频数分布直方图．
【解答】解（1）3÷0.06＝50（人），
a＝50﹣3﹣14﹣6﹣20＝7，
b＝7÷50＝0.14，
c＝20÷50＝0.4，
故答案为7，0.14，0.4；
（2）频数分布直方图：
21．（6分）某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖．
（1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 必然 事件．（填随机、必然、不可能）
（2）小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量；
（3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由．
【分析】（1）根据随机事件和必然事件的定义进行判断；
（2）由于平均每6个人中会有3人抽中三等奖，利用样本估计总体，得到抽中白球的概率为，然后根据概率公式计算袋中白球的数量；
（3）根据概率公式说明抽中一等奖的概率会减小．
【解答】解：（1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是必然事件；
故答案为必然；
（2）白球的数量＝18×＝9（个）；
（3）抽中一等奖的概率会减小．
理由如下：由于增加三个黄球，球的总数增加，而红球的数量没有变，所以抽中一等奖的概率变小．
22．（6分）某厂为抗击疫情，要在规定时间内加工1500万只口罩．在加工了300万只口罩后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成任务，求该厂原来每天加工多少万只口罩？
【分析】设该厂原来每天加工x万只口罩，则提高工作效率后每天加工1.5x万只口罩，根据根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提高工作效率后生产（1500﹣300）万只口罩比原计划少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该厂原来每天加工x万只口罩，则提高工作效率后每天加工1.5x万只口罩，
依题意，得：﹣＝4，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．
答：该厂原来每天加工100万只口罩．
23．（7分）小阳要把一篇文章录入电脑，所需时间y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的反比例函数关系如图．
（1）这篇文章共有多少个字？
（2）写出y与x的函数表达式；
（3）若小阳7点20分开始录入，预计完成时间不超过7点28分，请你用函数的性质说明小阳录入文字的速度至少为多少？
【分析】（1）根据图象中的信息即可得到结论；
（2）根据录入的时间＝录入总量÷录入速度即可得出函数关系式；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结论求解即可．
【解答】解：（1）这篇文章共有140×10＝1400个字；
（2）设y＝，
把（140，10）代入y＝得，10＝，
∴k＝1400，
∴y与x的函数表达式为y＝；
（3）∵当y＝8时，x＝175，
∵k＞0，
在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴小阳录入文字的速度至少为175字/分．
24．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF、BE交于点G，连接CE、DF交于点H．
（1）求证：四边形EGFH为平行四边形；
（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形EGFH为矩形？并说明理由．
【分析】（1）可分别证明四边形AFCE是平行四边形，四边形BFDE是平行四边形，从而得出GF∥EH，GE∥FH，即可证明四边形EGFH是平行四边形．
（2）证出四边形ABFE是菱形，得出AF⊥BE，即∠EGF＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接EF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∵点E、F分别是AD、BC的中点
∴AE＝ED＝AD，BF＝FC＝BC，
∴AE∥FC，AE＝FC．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴GF∥EH．
同理可证：ED∥BF且ED＝BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴GE∥FH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：当BC＝2AB时，平行四边形EGFH是矩形．理由如下：
由（1）同理易证四边形ABFE是平行四边形，
当BC＝2AB时，AB＝BF，
∴四边形ABFE是菱形，
∴AF⊥BE，即∠EGF＝90°，
∴平行四边形EGFH是矩形．
25．（8分）[问题情境]
（1）如图1，已知正方形ABCD，点E在CD的延长线上，以CE为边构造正方形CEFG，连接BE和DG，则BE和DG的数量关系为 BE＝DG ．
[继续探究]
（2）如图2，若正方形ABCD的边长为4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE．
①求证：DG⊥BE．
②连接BG，若AE＝1，求BG长．
【分析】（1）由“SAS”可证△BCE≌△DCG，可得BE＝DG；
（2）①延长BE，GD交于点H，由“SAS”可证△BCE≌△DCG，可得∠EBC＝∠CDG，由四边形内角和定理可求∠DHE＝90°，可得结论；
②过点G作GH⊥BC，交BC延长线于点H，由“AAS”可证△ECD≌△GCN，可得DE＝GN＝3，CN＝CD＝4，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCG，CE＝CG，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG，
故答案为：BE＝DG；
（2）①如图，延长BE，GD交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠ECG＝90°，CE＝CG，
∴∠BCE＝∠DCG，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠EBC＝∠CDG，
∵∠CDG+∠CDH＝180°，
∴∠EBC+∠CDH＝180°，
∵∠EBC+∠BCD+∠CDH+∠DHE＝360°，
∴∠DHE＝90°，
∴DG⊥BE；
②如图3，过点G作GH⊥BC，交BC延长线于点H，
∵AE＝1，AD＝4，
∴DE＝3，
∵∠ECG＝∠DCN＝90°，
∴∠ECD＝∠GCN
又∵EC＝CG，∠EDC＝∠N＝90°，
∴△ECD≌△GCN（AAS），
∴DE＝GN＝3，CN＝CD＝4，
∴BN＝BC+CN＝8，
∴BG＝＝＝．
26．（9分）小杰同学根据学习函数的经验，对函数y＝+1的图象与性质进行了探究．下面是小杰的探究过程，请补充完整：
（1）下表列出了x与y的几组对应值，其中，m＝ 7 ；
x
…
﹣
﹣1
﹣
0
2
3
…
y
…
﹣
﹣
﹣1
﹣2
﹣5
m
4
3
…
请借助如图所示的平面直角坐标系，研究该函数的图象．发现：函数y＝+1的图象可由函数y＝的图象向 右 平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到．
（2）写出该函数图象两条不同类型的性质：
① 函数图象与直线x＝1，直线y＝1无公共点 ；
② 当x＞1或x＜1时，y随x的增大而减小 ；
（3）根据函数图象写出：
①当＜x≤4且x≠1时，y的取值范围是什么？
②当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？
【分析】（1）由图表可知x≠0；
（2）根据图象所反映的特点写出即可；
（3）根据图象和表格数据即可求得．
【解答】解：（1）把x＝代入y＝+1得y＝6+1＝7，
∴m＝7，
由图象可知，函数y＝+1的图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到．
故答案为：7，右，1，1；
（2）函数两条不同类型的性质是：①函数图象与直线x＝1，直线y＝1无公共点；②当x＞1或x＜1时，y随x的增大而减小．
故答案为：函数图象与直线x＝1，直线y＝1无公共点；当x＞1或x＜1时，y随x的增大而减小．
（3）①当＜x≤4且x≠1时，y的取值范围是y＜﹣5或y≥2；
②当x≤﹣或x＞1时，y≥﹣1．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）若二次根式有意义，则x的值可以为（ ）
A．﹣2 B．4 C．2 D．0
2．（2分）如果分式的值为零，那么m的值是（ ）
A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．＝3 B．•＝ C．＝2 D．﹣＝
4．（2分）不透明的袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其它差别，随机从袋子中摸出一个球，则（ ）
A．这个球一定是黑球
B．事先能确定摸到什么颜色的球
C．这个球可能是白球
D．摸到黑球、白球的可能性大小一样
5．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A．逐渐增加
B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等
D．保持不变且与AB的长度相等
6．（2分）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行一次，在没有风时，飞行器的速度为v，所需时间为t1；如果风速度为p时（0＜p＜v），飞行器顺风飞行速度为（v+p），逆风飞行速度为（v﹣p），所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为（ ）
A．t1＜t2 B．t1≤t2 C．t1≥t2 D．无法确定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
8．（2分）计算：＝ ．
9．（2分）八年级（1）班安排了甲、乙、丙、丁四名同学参加4×100米接力赛，打算抽签决定四人的比赛顺序，则甲跑第一棒的概率为 ．
10．（2分）比较大小：4﹣ 1（填“＞”、“＝”或“＜”）
11．（2分）如图，小明根据全班同学喜爱四类电视节目的人数而绘制的两幅不完整的统计图，则喜爱动画节目的人数是 人．
12．（2分）已知反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，则常数k的取值范围是 ．
13．（2分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则△AEF的周长＝ cm．
14．（2分）如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为acm2和bcm2（a＞b）的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 cm2．
15．（2分）如果a、b为整数，满足＝b，ab＝216，则a+b的值为 ．
16．（2分）如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交y轴于C点，则△ABC面积为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分）
17．（6分）计算：
（1）﹣
（2）（3+）（﹣）
18．（5分）化简分式（﹣）÷，并从﹣1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值．
19．（8分）解方程：
（1）＝﹣3；
（2）﹣＝1．
20．（6分）讲禁毒，知今古，教训深，应紧记!某校积极爼织开展全国青少年禁莓知识竞赛活动，为了解全校学生的活动情况，随机抽取了50名学生的竞赛成绩，将抽取得到的成绩分为5组，整理后得到下面的频数、频率分布表：
组别
分组
频数/人
频率
1
50≤x＜60
3
0.06
2
60≤x＜70
a
b
3
70≤x＜80
14
0.28
4
80≤x＜90
6
0.12
5
90≤x＜100
20
c
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）画出50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图．
21．（6分）某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖．
（1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件．（填随机、必然、不可能）
（2）小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量；
（3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由．
22．（6分）某厂为抗击疫情，要在规定时间内加工1500万只口罩．在加工了300万只口罩后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成任务，求该厂原来每天加工多少万只口罩？
23．（7分）小阳要把一篇文章录入电脑，所需时间y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的反比例函数关系如图．
（1）这篇文章共有多少个字？
（2）写出y与x的函数表达式；
（3）若小阳7点20分开始录入，预计完成时间不超过7点28分，请你用函数的性质说明小阳录入文字的速度至少为多少？
24．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF、BE交于点G，连接CE、DF交于点H．
（1）求证：四边形EGFH为平行四边形；
（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形EGFH为矩形？并说明理由．
25．（8分）[问题情境]
（1）如图1，已知正方形ABCD，点E在CD的延长线上，以CE为边构造正方形CEFG，连接BE和DG，则BE和DG的数量关系为 ．
[继续探究]
（2）如图2，若正方形ABCD的边长为4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE．
①求证：DG⊥BE．
②连接BG，若AE＝1，求BG长．
26．（9分）小杰同学根据学习函数的经验，对函数y＝+1的图象与性质进行了探究．下面是小杰的探究过程，请补充完整：
（1）下表列出了x与y的几组对应值，其中，m＝ ；
x
…
﹣
﹣1
﹣
0
2
3
…
y
…
﹣
﹣
﹣1
﹣2
﹣5
m
4
3
…
请借助如图所示的平面直角坐标系，研究该函数的图象．发现：函数y＝+1的图象可由函数y＝的图象向 平移 个单位，再向上平移 个单位得到．
（2）写出该函数图象两条不同类型的性质：
① ；
② ；
（3）根据函数图象写出：
①当＜x≤4且x≠1时，y的取值范围是什么？
②当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？
2019-2020学年江苏省南京市联合体学校八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）若二次根式有意义，则x的值可以为（ ）
A．﹣2 B．4 C．2 D．0
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：根据题意知x﹣3≥0，
解得x≥3，
故选：B．
2．（2分）如果分式的值为零，那么m的值是（ ）
A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2
【分析】分子为零，但分母不等于零．
【解答】解：依题意得：m2﹣4＝0且m﹣2≠0，
即m+2＝0，
解得m＝﹣2．
故选：C．
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．＝3 B．•＝ C．＝2 D．﹣＝
【分析】根据二次根式的性质对A、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝3，所以A选项正确；
B、原式＝＝，所以B选项错误；
C、原式＝＝，所以C选项错误；
D、与﹣不能合并，所以D选项错误．
故选：A．
4．（2分）不透明的袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其它差别，随机从袋子中摸出一个球，则（ ）
A．这个球一定是黑球
B．事先能确定摸到什么颜色的球
C．这个球可能是白球
D．摸到黑球、白球的可能性大小一样
【分析】随机从袋子中摸出一个球，可能摸出的球为黑球也可能为白球，然后计算摸出黑球的概率和摸出白球的概率，从而可判断摸出黑球的可能性大．
【解答】解：随机从袋子中摸出一个球，摸出黑球的概率为，摸出白球的概率为，
所以摸出黑球的可能性大．
故选：C．
5．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A．逐渐增加
B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等
D．保持不变且与AB的长度相等
【分析】证明△ABE≌△DBF（AAS），可得AE＝DF，根据线段的和可知：AE+CF＝AB，是一定值，可作判断．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°，
∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD＝60°，
∴∠A＝∠CDB，
∵∠EBF＝60°，
∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF，
∴∠ABE＝∠DBF，
在△ABE和△DBF中，
∵，
∴△ABE≌△DBF（AAS），
∴AE＝DF，
∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB，
故选：D．
6．（2分）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行一次，在没有风时，飞行器的速度为v，所需时间为t1；如果风速度为p时（0＜p＜v），飞行器顺风飞行速度为（v+p），逆风飞行速度为（v﹣p），所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为（ ）
A．t1＜t2 B．t1≤t2 C．t1≥t2 D．无法确定
【分析】直接根据题意表示出t1、t2的值，进而利用分式的性质计算得出答案．
【解答】解：∵t1＝，t2＝+＝，
∴t1﹣t2═﹣＝，
∵0＜p＜v，
∴t1﹣t2＜0，
∴t1＜t2．
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵分式在实数范围内有意义，
∴1﹣x≠0，
解得：x≠1，
则x的取值范围是：x≠1．
故答案为：x≠1．
8．（2分）计算：＝ 1 ．
【分析】直接根据同分母的分数相加减进行计算即可．
【解答】解：原式＝＝1．
故答案为：1．
9．（2分）八年级（1）班安排了甲、乙、丙、丁四名同学参加4×100米接力赛，打算抽签决定四人的比赛顺序，则甲跑第一棒的概率为 ．
【分析】根据概率公式进行解答．
【解答】解：∵跑第一棒有4种等可能的情况，其中甲跑第一棒只有1种情况，
∴甲跑第一棒的概率为．
故答案为．
10．（2分）比较大小：4﹣ ＞ 1（填“＞”、“＝”或“＜”）
【分析】先估算的大小，再得出4﹣的范围，即可解答．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∴4﹣3＜4﹣＜4﹣2，
∴1＜4﹣＜2，
故答案为：＞．
11．（2分）如图，小明根据全班同学喜爱四类电视节目的人数而绘制的两幅不完整的统计图，则喜爱动画节目的人数是 15 人．
【分析】根据统计图中的数据可以求得喜爱动画节目的人数．
【解答】解：由题意可得，
喜爱动画节目的人数是：5÷10%×30%＝15（人），
故答案为：15．
12．（2分）已知反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，则常数k的取值范围是 k＞ ．
【分析】根据反比例函数的性质可得2k﹣1＞0，再解不等式即可．
【解答】解：∵双曲线y＝的图象经过第一、三象限，
∴2k﹣1＞0，
解得k＞．
故答案为：k＞．
13．（2分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则△AEF的周长＝ 9 cm．
【分析】先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝10cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，EF＝OD＝BD＝AC＝cm，AF＝AD＝BC＝4cm，AE＝AO＝AC＝cm，
∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝9cm．
故答案为：9．
14．（2分）如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为acm2和bcm2（a＞b）的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 （﹣b） cm2．
【分析】根据正方形的面积表示出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为acm2和bcm2，
∴它们的边长分别为cm，cm，
∴AB＝cm，BC＝（+）cm，
∴空白部分的面积（+）﹣a﹣b＝（﹣b）cm2．
故答案为：﹣b．
15．（2分）如果a、b为整数，满足＝b，ab＝216，则a+b的值为 42 ．
【分析】根据算术平方根的定义可得b2＝a，所以ab＝b3＝216，据此求出a、b的值即可求解．
【解答】解：∵a、b为整数，满足＝b，ab＝216，
∴b3＝216，
∴b＝6，
∴a＝36，
∴a+b＝36+6＝42．
故答案为：42．
16．（2分）如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交y轴于C点，则△ABC面积为 20 ．
【分析】过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，则△ABF为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB（AAS），设BD＝a，则EF＝a，再得到DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，即可求出a值，从而得到点F（3，1），用待定系数法求出直线AC的解析式即可求解．
【解答】解：∵点A在反比例函数y＝的图象上，且点A的横坐标与纵坐标相等，
∴A（4，4），
过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，则△ABF为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB（AAS），设BD＝a，则EF＝a，
∵点A（4，4）和点B（0，2），
∴DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∵AE+OD＝4，
∴4﹣a+2﹣a＝4，
解得a＝1，
∴F（3，1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴y＝3x﹣8，
令x＝0，则y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
∴BC＝10，
∴S△ABC＝＝20，
故答案为：20．
三、解答题（本大题共10小题，共68分）
17．（6分）计算：
（1）﹣
（2）（3+）（﹣）
【分析】（1）先进行同分母的减法运算，然后把分子分母分解后约分即可；
（2）利用乘法公式展开，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝3﹣3+2﹣5
＝﹣2﹣．
18．（5分）化简分式（﹣）÷，并从﹣1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值．
【分析】先将括号内的分式通分，再按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．
【解答】解：原式＝[﹣]×
＝×
＝，
由于当x＝﹣1，x＝0或x＝1时，分式的分母为0，
故取x的值时，不可取x＝﹣1，x＝0或x＝1，
不妨取x＝2，
此时原式＝＝．
19．（8分）解方程：
（1）＝﹣3；
（2）﹣＝1．
【分析】（1）方程两边同乘最简公分母x﹣2，把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）方程两边同乘最简公分母（x+2）（x﹣2），把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：①方程两边都乘（x﹣2），
得1＝x﹣1﹣3（x﹣2），
解得x＝2，
检验：x＝2时，x﹣2＝0，
所以x＝2是原方程的增根，原方程无解；
②方程两边都乘（x+2）（x﹣2），
得（x+2）2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
解得x＝﹣1，
检验：x＝﹣1时，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解．
20．（6分）讲禁毒，知今古，教训深，应紧记!某校积极爼织开展全国青少年禁莓知识竞赛活动，为了解全校学生的活动情况，随机抽取了50名学生的竞赛成绩，将抽取得到的成绩分为5组，整理后得到下面的频数、频率分布表：
组别
分组
频数/人
频率
1
50≤x＜60
3
0.06
2
60≤x＜70
a
b
3
70≤x＜80
14
0.28
4
80≤x＜90
6
0.12
5
90≤x＜100
20
c
（1）a＝ 7 ，b＝ 0.14 ，c＝ 0.4 ；
（2）画出50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图．
【分析】（1）3÷0.06＝50（人），a＝50﹣3﹣14﹣6﹣20＝7，b＝7÷50＝0.14，c＝20÷50＝0.4；
（2）根据（1）补充频数分布直方图．
【解答】解（1）3÷0.06＝50（人），
a＝50﹣3﹣14﹣6﹣20＝7，
b＝7÷50＝0.14，
c＝20÷50＝0.4，
故答案为7，0.14，0.4；
（2）频数分布直方图：
21．（6分）某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖．
（1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 必然 事件．（填随机、必然、不可能）
（2）小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量；
（3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由．
【分析】（1）根据随机事件和必然事件的定义进行判断；
（2）由于平均每6个人中会有3人抽中三等奖，利用样本估计总体，得到抽中白球的概率为，然后根据概率公式计算袋中白球的数量；
（3）根据概率公式说明抽中一等奖的概率会减小．
【解答】解：（1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是必然事件；
故答案为必然；
（2）白球的数量＝18×＝9（个）；
（3）抽中一等奖的概率会减小．
理由如下：由于增加三个黄球，球的总数增加，而红球的数量没有变，所以抽中一等奖的概率变小．
22．（6分）某厂为抗击疫情，要在规定时间内加工1500万只口罩．在加工了300万只口罩后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成任务，求该厂原来每天加工多少万只口罩？
【分析】设该厂原来每天加工x万只口罩，则提高工作效率后每天加工1.5x万只口罩，根据根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提高工作效率后生产（1500﹣300）万只口罩比原计划少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该厂原来每天加工x万只口罩，则提高工作效率后每天加工1.5x万只口罩，
依题意，得：﹣＝4，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．
答：该厂原来每天加工100万只口罩．
23．（7分）小阳要把一篇文章录入电脑，所需时间y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的反比例函数关系如图．
（1）这篇文章共有多少个字？
（2）写出y与x的函数表达式；
（3）若小阳7点20分开始录入，预计完成时间不超过7点28分，请你用函数的性质说明小阳录入文字的速度至少为多少？
【分析】（1）根据图象中的信息即可得到结论；
（2）根据录入的时间＝录入总量÷录入速度即可得出函数关系式；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结论求解即可．
【解答】解：（1）这篇文章共有140×10＝1400个字；
（2）设y＝，
把（140，10）代入y＝得，10＝，
∴k＝1400，
∴y与x的函数表达式为y＝；
（3）∵当y＝8时，x＝175，
∵k＞0，
在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴小阳录入文字的速度至少为175字/分．
24．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF、BE交于点G，连接CE、DF交于点H．
（1）求证：四边形EGFH为平行四边形；
（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形EGFH为矩形？并说明理由．
【分析】（1）可分别证明四边形AFCE是平行四边形，四边形BFDE是平行四边形，从而得出GF∥EH，GE∥FH，即可证明四边形EGFH是平行四边形．
（2）证出四边形ABFE是菱形，得出AF⊥BE，即∠EGF＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接EF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∵点E、F分别是AD、BC的中点
∴AE＝ED＝AD，BF＝FC＝BC，
∴AE∥FC，AE＝FC．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴GF∥EH．
同理可证：ED∥BF且ED＝BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴GE∥FH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：当BC＝2AB时，平行四边形EGFH是矩形．理由如下：
由（1）同理易证四边形ABFE是平行四边形，
当BC＝2AB时，AB＝BF，
∴四边形ABFE是菱形，
∴AF⊥BE，即∠EGF＝90°，
∴平行四边形EGFH是矩形．
25．（8分）[问题情境]
（1）如图1，已知正方形ABCD，点E在CD的延长线上，以CE为边构造正方形CEFG，连接BE和DG，则BE和DG的数量关系为 BE＝DG ．
[继续探究]
（2）如图2，若正方形ABCD的边长为4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE．
①求证：DG⊥BE．
②连接BG，若AE＝1，求BG长．
【分析】（1）由“SAS”可证△BCE≌△DCG，可得BE＝DG；
（2）①延长BE，GD交于点H，由“SAS”可证△BCE≌△DCG，可得∠EBC＝∠CDG，由四边形内角和定理可求∠DHE＝90°，可得结论；
②过点G作GH⊥BC，交BC延长线于点H，由“AAS”可证△ECD≌△GCN，可得DE＝GN＝3，CN＝CD＝4，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCG，CE＝CG，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG，
故答案为：BE＝DG；
（2）①如图，延长BE，GD交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠ECG＝90°，CE＝CG，
∴∠BCE＝∠DCG，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠EBC＝∠CDG，
∵∠CDG+∠CDH＝180°，
∴∠EBC+∠CDH＝180°，
∵∠EBC+∠BCD+∠CDH+∠DHE＝360°，
∴∠DHE＝90°，
∴DG⊥BE；
②如图3，过点G作GH⊥BC，交BC延长线于点H，
∵AE＝1，AD＝4，
∴DE＝3，
∵∠ECG＝∠DCN＝90°，
∴∠ECD＝∠GCN
又∵EC＝CG，∠EDC＝∠N＝90°，
∴△ECD≌△GCN（AAS），
∴DE＝GN＝3，CN＝CD＝4，
∴BN＝BC+CN＝8，
∴BG＝＝＝．
26．（9分）小杰同学根据学习函数的经验，对函数y＝+1的图象与性质进行了探究．下面是小杰的探究过程，请补充完整：
（1）下表列出了x与y的几组对应值，其中，m＝ 7 ；
x
…
﹣
﹣1
﹣
0
2
3
…
y
…
﹣
﹣
﹣1
﹣2
﹣5
m
4
3
…
请借助如图所示的平面直角坐标系，研究该函数的图象．发现：函数y＝+1的图象可由函数y＝的图象向 右 平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到．
（2）写出该函数图象两条不同类型的性质：
① 函数图象与直线x＝1，直线y＝1无公共点 ；
② 当x＞1或x＜1时，y随x的增大而减小 ；
（3）根据函数图象写出：
①当＜x≤4且x≠1时，y的取值范围是什么？
②当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？
【分析】（1）由图表可知x≠0；
（2）根据图象所反映的特点写出即可；
（3）根据图象和表格数据即可求得．
【解答】解：（1）把x＝代入y＝+1得y＝6+1＝7，
∴m＝7，
由图象可知，函数y＝+1的图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到．
故答案为：7，右，1，1；
（2）函数两条不同类型的性质是：①函数图象与直线x＝1，直线y＝1无公共点；②当x＞1或x＜1时，y随x的增大而减小．
故答案为：函数图象与直线x＝1，直线y＝1无公共点；当x＞1或x＜1时，y随x的增大而减小．
（3）①当＜x≤4且x≠1时，y的取值范围是y＜﹣5或y≥2；
②当x≤﹣或x＞1时，y≥﹣1．
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