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    人教版九年级上册第21章《一元二次方程》培优练习题 含解析

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    人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试随堂练习题

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    这是一份人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试随堂练习题,共13页。试卷主要包含了若关于x的方程,已知实数x满足等内容,欢迎下载使用。


    一.选择题


    1.已知y=0是关于y的一元二次方程(m﹣1)y2+my+4m2﹣4=0的一个根,那么m的值是( )


    A.0B.1C.﹣1D.±1


    2.若关于x的方程(k﹣1)x2﹣2kx+k﹣3=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )


    A.B.且k≠1C.D.且k≠1


    3.已知等腰△ABC的底边长为3,两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣(k+3)x+6=0的两根,则△ABC的周长为( )


    A.6.5B.7C.6.5或7D.8


    4.若关于x的方程有实数根,则k的取值范围为( )


    A.k≥0B.k>0C.k≥D.k>


    5.关于x的方程m2x2﹣8mx+12=0至少有一个正整数解,且m是整数,则满足条件的m的值的个数是( )


    A.5个B.4个C.3个D.2个


    6.已知x是方程x2+2x﹣2=0的根,那么代数式(﹣x﹣2)÷的值是( )


    A.﹣1B.+1C.﹣1或﹣﹣1D.﹣1或+1


    7.有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片,要在它的四角截去四个全等的小正方形,折成一个无盖的长方体盒子,使它的底面积为180cm2,为了有效利用材料,则截去的小正方形的边长是( )cm.


    A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm


    8.已知实数x满足(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12=0,则代数式x2﹣x+1的值是( )


    A.7B.﹣1C.7或﹣1D.﹣5或3


    9.一元二次方程x2+x﹣1=0的两根分别为x1,x2,则+=( )


    A.B.1C.D.


    10.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:


    ①若a+b+c=0,则b2﹣4ac≥0;


    ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根;


    ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;


    ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则


    其中正确的( )


    A.只有①②B.只有①②④C.①②③④D.只有①②③


    二.填空题


    11.若(a2+b2)2﹣3(a2+b2)﹣4=0,则代数式a2+b2的值为


    12.若关于x的方程x2﹣k|x|+4=0有四个不同的解,则k的取值范围是 .


    13.关于x的方程(a﹣3)x2+x+10=0是一元二次方程,则a的取值范围是 .


    14.已知一元二次方程x2+2x﹣8=0的两根为x1、x2,则+2x1x2+= .


    15.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,动点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿边AC向点C运动,同时动点Q从点C开始,以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A的折线在CB、BA边上向点A运动,当P点到达C点时,两点同时停止运动,连接PQ.在运动过程中(Q点在C、B、A三点除外),线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形,若四边形的面积为三角形面积的2倍,则运动的时间为 秒.





    三.解答题


    16.求证:不论k为何值时,关于x的一元二次方程x2+(k﹣2)x+(k﹣4)=0有两个不相等的实数根.


    17.今年奉节脐橙喜获丰收,某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售.经核算,每箱成本为40元,统一零售价定为每箱50元,可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售.


    (1)问最多打几折销售,才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%?


    (2)该村最开始几天每天可卖5000箱,因脐橙的保鲜周期短,需要尽快打开销路,减少积压,村委会决定在零售价基础上每箱降价3m%,这样每天可多销售m%;为了保护农户的收益与种植积极性,政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励,结果该村每天脐橙销售的利润为49000元,求m的值.


    18.如图,在矩形ABCD中,边AB、BC的长(AB<BC)是方程x2﹣7x+12=0的两个根,点P从点A出发,以每秒1个单位的速度沿矩形ABCD边A→B→C→D→A的方向运动,运动时间为t(秒).


    (1)求AB与BC的长;


    (2)当点P运动到边BC上且AP=时,求t的值.





    19.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、C同时出发,运动的时间为ts,当点Q运动到点B时,两点停止运动.


    (1)当点P在线段AC上运动时,P、C两点之间的距离 cm.(用含t的代数式表示)


    (2)在运动的过程中,是否存在某一时刻,使得△PQC的面积是△ABC面积的.若存在,求t的值;若不存在,说明理由.





    20.在一元二次方程中,有著名的韦达定理:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果方程有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=﹣,x1•x2=(说明:定理成立的条件△≥0).比如方程2x2﹣3x﹣1=0中,△=17,所以该方程有两个不等的实数解.记方程的两根为x1,x2,那么x1+x2=,x1•x2=﹣,请根据阅读材料解答下列各题:


    (1)已知方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1、x2,且x1>x2,求下列各式的值:


    ①x12+x22;②;


    (2)已知x1,x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.


    ①是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.


    ②求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值.
























































    参考答案


    一.选择题(共10小题)


    1.解:把y=0代入(m﹣1)y2+my+4m2﹣4=0得:


    4m2﹣4=0,即m2﹣1=0


    解得:m1=1,m2=﹣1


    当m=1时,关于y的方程由于二次项系数为0不再是一元二次方程,


    所以m=﹣1.


    故选:C.


    2.解:①当k﹣1=0,即k=1时,方程为﹣2x﹣2=0,此时方程有一个解,不符合题意;


    ②当k≠1时,∵关于x的方程(k﹣1)x2﹣2kx+k﹣3=0有两个不相等的实数根,


    ∴(﹣2k)2﹣4×(k﹣1)×(k﹣3)>0,


    解得:k>且k≠1.


    故选:B.


    3.解:∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣(k+3)x+6=0的两根,


    ∴△=[﹣(k+3)]2﹣4×k×6=0,


    解得k=3,


    ∴一元二次方程为x2﹣6x+6=0,


    ∴两腰之和为=4,


    ∴△ABC的周长为4+3=7,


    故选:B.


    4.解:∵关于x的方程有实数根,


    ∴△=b2﹣4ac=(﹣3)2+4=9k+4≥0,


    解得:k≥,


    又∵方程中含有


    ∴k≥0,


    故选:A.


    5.解:m2x2﹣8mx+12=0,


    解法一:△=(﹣8m)2﹣4m2×12=16m2,


    ∴x==,


    ∴x1=,x2=,


    解法二:(mx﹣2)(mx﹣6)=0,


    ∴x1=,x2=,


    ∵关于x的方程m2x2﹣8mx+12=0至少有一个正整数解,且m是整数,


    ∴>0,>0,


    ∴m=1或2或3或6,


    则满足条件的m的值的个数是4个,


    故选:B.


    6.解:x2+2x﹣2=0,


    ∴x2+2x=2.


    解得x=±﹣1


    ∴(﹣x﹣2)÷


    =×


    =×


    =﹣(x2+3x)


    =﹣(x2+2x+x)


    =﹣(2+x)


    当x=﹣1时,


    原式=﹣(2±﹣1)


    故选:C.


    7.解:设截去的小正方形的边长是xcm,由题意得


    (28﹣2x)(20﹣2x)=180,


    解得:x1=5,x2=19,


    ∵20﹣2x>0,


    ∴x<10.


    ∴x2=19,不符合题意,应舍去.


    ∴x=5.


    ∴截去的小正方形的边长是5cm.


    故选:C.








    8.解:∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12=0,


    ∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)=0,


    ∴x2﹣x+2=0或x2﹣x﹣6=0,


    ∴x2﹣x=﹣2或x2﹣x=6.


    当x2﹣x=﹣2时,x2﹣x+2=0,


    ∵b2﹣4ac=1﹣4×1×2=﹣7<0,


    ∴此方程无实数解.


    当x2﹣x=6时,x2﹣x+1=7


    故选:A.


    9.解:根据题意得x1+x2=﹣1,x1•x2=﹣1,


    所以+===1.


    故选:B.


    10.解:①若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的解,


    由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△=b2﹣4ac≥0,故①正确;


    ②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根,


    ∴△=0﹣4ac>0


    ∴﹣4ac>0


    则方程ax2+bx+c=0的判别式


    △=b2﹣4ac>0


    ∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根,故②正确;


    ③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根,


    则ac2+bc+c=0


    ∴c(ac+b+1)=0


    若c=0,等式仍然成立


    但ac+b+1=0不一定成立,故③不正确;


    ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,


    则由求根公式可得:


    x0=或x0=


    ∴2ax0+b=或2ax0+b=﹣





    故④正确.


    故选:B.


    二.填空题(共5小题)


    11.解:设t=a2+b2,


    则原方程为t2﹣3t﹣4=0,


    解得t1=4,t2=﹣1,


    ∵a2+b2≥0,


    ∴t=4,


    ∴a2+b2=4,


    故答案为:4.


    12.解:∵关于x的方程x2﹣k|x|+4=0有四个不同的解,


    ∴△=b2﹣4ac=k2﹣16>0,


    即k2>16,


    解得k<﹣4或k>4,


    而k<﹣4时,x2﹣k|x|+4的值不可能等于0,


    所以k>4.


    故填空答案:k>4.


    13.解:∵方程(a﹣3)x2+x+10=0是一元二次方程,


    ∴a﹣3≠0,即 a≠3,


    又∵二次根式有意义,


    ∴a+3≥0,即 a≥﹣3,


    ∴a≥﹣3且a≠3.


    故答案为:a≥﹣3且a≠3.


    14.解:∵一元二次方程x2+2x﹣8=0的两根为x1、x2,


    ∴x1+x2=﹣2,x1•x2=﹣8,


    ∴+2x1x2+


    =2x1x2+


    =2×(﹣8)+


    =﹣16+


    =﹣,


    故答案为:﹣.


    15.解:在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,


    ∴BC=10


    设运动的时间为t,则AP=t,点Q所走的路程为2t,


    1)当点Q在BC线段上运动时,0<t<5,


    如图所示,过点Q作QG⊥AC,交AC于点G,


    则sinC==


    ∴QG=×2t=


    ∵S△ABC=6×8÷2=24


    若四边形的面积为三角形面积的2倍,则S△PQC=24×=8


    ∴(8﹣t)×÷2=8


    化简得3t2﹣24t+40=0


    解得t1=4﹣,t2=4+(舍)





    2)当点Q在BA线段上运动时,5<t<8,


    如图所示,


    S△APQ=AP•AQ=t(10+6﹣2t)=8


    化简得:t2﹣8t+8=0


    解得t3=4﹣2(舍),t4=4+2.





    故答案为:4﹣或4+2.


    三.解答题(共5小题)


    16.证明:△=(k﹣2)2﹣4(k﹣4)=k2﹣8k+20=(k﹣4)2+4,


    ∵(k﹣4)2≥0,


    ∴(k﹣4)2+4>0,


    ∴不论k为何值时,关于x的一元二次方程x2+(k﹣2)x+(k﹣4)=0有两个不相等的实数根.


    17.解:(1)设打x折销售,才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%,


    由题意得:≥10%,


    x≥8.8,


    答:最多打8.8折销售,才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%;


    (2)由题意得:5000(1+m%)[50(1﹣3m%)+m﹣40]=49000,


    5(1+)(50﹣m+m﹣40)=49,


    m2﹣5m﹣6=0,


    m1=6,m2=﹣1(舍).


    18.解:(1)∵x2﹣7x+12=0,


    则(x﹣3)(x﹣4)=0,


    ∴x1=3,x2=4.


    ∵AB<BC,


    ∴AB=3,BC=4;


    (2)如图,在Rt△ABP中,


    ∵AP=,AB=3,


    ∴BP===1.


    ∴t==4.


    答:t的值是4秒.





    19.解:(1)∵△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,


    ∴Rt△ABC中,AC=6cm,


    又∵点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动,


    ∴AP=2t,


    ∴当点P在线段AC上运动时,P、C两点之间的距离(6﹣2t)cm;


    故答案为:(6﹣2t);


    (2)△ABC的面积为S△ABC=×6×8=24,


    ①当0<t<3时,PC=6﹣2t,QC=t,


    ∴S△PCQ=PC×QC=t(6﹣2t),


    ∴t(6﹣2t)=4,


    即t2﹣3t+4=0,


    ∵△=b2﹣4ac=﹣7<0,


    ∴该一元二次方程无实数根,


    ∴该范围下不存在;


    ②当3<t≤8时,PC=2t﹣6,QC=t,


    ∴S△PCQ=PC×QC=t(2t﹣6),


    ∴t(2t﹣6)=4,


    即t2﹣3t﹣4=0,


    解得t=4或﹣1(舍去),


    综上所述,存在,当t=4时,△PQC的面积是△ABC面积的.


    20.解:(1)∵x2﹣3x﹣2=0,△=(﹣3)2﹣4×(﹣2)=17>0


    ∴x1+x2=3,x1•x2=﹣2


    ①x+x=(x1+x2)2﹣2x1•x2=32﹣2×(﹣2)=9+4=13


    ②=


    (2)∵方程有两个实数根,


    ∴△=(﹣4k)2﹣4•4k(k+1)>0


    ∴k<0,x1+x2=1,x1•x2=


    ①∵(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=2x12﹣5x1x2+2x22=2(x12+2x1x2+x22)﹣9x1x2=2(x1+x2)2﹣9x1x2


    ∴2﹣9=


    解得:k=,与k<0矛盾


    ∴不存在k的值,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立.


    ②+﹣2===


    ∵+﹣2=的值为整数


    ∴k+1=±1或±2或±4


    又∵k<0


    ∴k=﹣2或﹣3或﹣5





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