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人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试随堂练习题
展开这是一份人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试随堂练习题,共13页。试卷主要包含了若关于x的方程,已知实数x满足等内容,欢迎下载使用。
一.选择题
1.已知y=0是关于y的一元二次方程(m﹣1)y2+my+4m2﹣4=0的一个根,那么m的值是( )
A.0B.1C.﹣1D.±1
2.若关于x的方程(k﹣1)x2﹣2kx+k﹣3=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.B.且k≠1C.D.且k≠1
3.已知等腰△ABC的底边长为3,两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣(k+3)x+6=0的两根,则△ABC的周长为( )
A.6.5B.7C.6.5或7D.8
4.若关于x的方程有实数根,则k的取值范围为( )
A.k≥0B.k>0C.k≥D.k>
5.关于x的方程m2x2﹣8mx+12=0至少有一个正整数解,且m是整数,则满足条件的m的值的个数是( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
6.已知x是方程x2+2x﹣2=0的根,那么代数式(﹣x﹣2)÷的值是( )
A.﹣1B.+1C.﹣1或﹣﹣1D.﹣1或+1
7.有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片,要在它的四角截去四个全等的小正方形,折成一个无盖的长方体盒子,使它的底面积为180cm2,为了有效利用材料,则截去的小正方形的边长是( )cm.
A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm
8.已知实数x满足(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12=0,则代数式x2﹣x+1的值是( )
A.7B.﹣1C.7或﹣1D.﹣5或3
9.一元二次方程x2+x﹣1=0的两根分别为x1,x2,则+=( )
A.B.1C.D.
10.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:
①若a+b+c=0,则b2﹣4ac≥0;
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则
其中正确的( )
A.只有①②B.只有①②④C.①②③④D.只有①②③
二.填空题
11.若(a2+b2)2﹣3(a2+b2)﹣4=0,则代数式a2+b2的值为
12.若关于x的方程x2﹣k|x|+4=0有四个不同的解,则k的取值范围是 .
13.关于x的方程(a﹣3)x2+x+10=0是一元二次方程,则a的取值范围是 .
14.已知一元二次方程x2+2x﹣8=0的两根为x1、x2,则+2x1x2+= .
15.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,动点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿边AC向点C运动,同时动点Q从点C开始,以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A的折线在CB、BA边上向点A运动,当P点到达C点时,两点同时停止运动,连接PQ.在运动过程中(Q点在C、B、A三点除外),线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形,若四边形的面积为三角形面积的2倍,则运动的时间为 秒.
三.解答题
16.求证:不论k为何值时,关于x的一元二次方程x2+(k﹣2)x+(k﹣4)=0有两个不相等的实数根.
17.今年奉节脐橙喜获丰收,某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售.经核算,每箱成本为40元,统一零售价定为每箱50元,可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售.
(1)问最多打几折销售,才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%?
(2)该村最开始几天每天可卖5000箱,因脐橙的保鲜周期短,需要尽快打开销路,减少积压,村委会决定在零售价基础上每箱降价3m%,这样每天可多销售m%;为了保护农户的收益与种植积极性,政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励,结果该村每天脐橙销售的利润为49000元,求m的值.
18.如图,在矩形ABCD中,边AB、BC的长(AB<BC)是方程x2﹣7x+12=0的两个根,点P从点A出发,以每秒1个单位的速度沿矩形ABCD边A→B→C→D→A的方向运动,运动时间为t(秒).
(1)求AB与BC的长;
(2)当点P运动到边BC上且AP=时,求t的值.
19.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、C同时出发,运动的时间为ts,当点Q运动到点B时,两点停止运动.
(1)当点P在线段AC上运动时,P、C两点之间的距离 cm.(用含t的代数式表示)
(2)在运动的过程中,是否存在某一时刻,使得△PQC的面积是△ABC面积的.若存在,求t的值;若不存在,说明理由.
20.在一元二次方程中,有著名的韦达定理:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果方程有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=﹣,x1•x2=(说明:定理成立的条件△≥0).比如方程2x2﹣3x﹣1=0中,△=17,所以该方程有两个不等的实数解.记方程的两根为x1,x2,那么x1+x2=,x1•x2=﹣,请根据阅读材料解答下列各题:
(1)已知方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1、x2,且x1>x2,求下列各式的值:
①x12+x22;②;
(2)已知x1,x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.
①是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
②求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值.
参考答案
一.选择题(共10小题)
1.解:把y=0代入(m﹣1)y2+my+4m2﹣4=0得:
4m2﹣4=0,即m2﹣1=0
解得:m1=1,m2=﹣1
当m=1时,关于y的方程由于二次项系数为0不再是一元二次方程,
所以m=﹣1.
故选:C.
2.解:①当k﹣1=0,即k=1时,方程为﹣2x﹣2=0,此时方程有一个解,不符合题意;
②当k≠1时,∵关于x的方程(k﹣1)x2﹣2kx+k﹣3=0有两个不相等的实数根,
∴(﹣2k)2﹣4×(k﹣1)×(k﹣3)>0,
解得:k>且k≠1.
故选:B.
3.解:∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣(k+3)x+6=0的两根,
∴△=[﹣(k+3)]2﹣4×k×6=0,
解得k=3,
∴一元二次方程为x2﹣6x+6=0,
∴两腰之和为=4,
∴△ABC的周长为4+3=7,
故选:B.
4.解:∵关于x的方程有实数根,
∴△=b2﹣4ac=(﹣3)2+4=9k+4≥0,
解得:k≥,
又∵方程中含有
∴k≥0,
故选:A.
5.解:m2x2﹣8mx+12=0,
解法一:△=(﹣8m)2﹣4m2×12=16m2,
∴x==,
∴x1=,x2=,
解法二:(mx﹣2)(mx﹣6)=0,
∴x1=,x2=,
∵关于x的方程m2x2﹣8mx+12=0至少有一个正整数解,且m是整数,
∴>0,>0,
∴m=1或2或3或6,
则满足条件的m的值的个数是4个,
故选:B.
6.解:x2+2x﹣2=0,
∴x2+2x=2.
解得x=±﹣1
∴(﹣x﹣2)÷
=×
=×
=﹣(x2+3x)
=﹣(x2+2x+x)
=﹣(2+x)
当x=﹣1时,
原式=﹣(2±﹣1)
故选:C.
7.解:设截去的小正方形的边长是xcm,由题意得
(28﹣2x)(20﹣2x)=180,
解得:x1=5,x2=19,
∵20﹣2x>0,
∴x<10.
∴x2=19,不符合题意,应舍去.
∴x=5.
∴截去的小正方形的边长是5cm.
故选:C.
8.解:∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12=0,
∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)=0,
∴x2﹣x+2=0或x2﹣x﹣6=0,
∴x2﹣x=﹣2或x2﹣x=6.
当x2﹣x=﹣2时,x2﹣x+2=0,
∵b2﹣4ac=1﹣4×1×2=﹣7<0,
∴此方程无实数解.
当x2﹣x=6时,x2﹣x+1=7
故选:A.
9.解:根据题意得x1+x2=﹣1,x1•x2=﹣1,
所以+===1.
故选:B.
10.解:①若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的解,
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△=b2﹣4ac≥0,故①正确;
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根,
∴△=0﹣4ac>0
∴﹣4ac>0
则方程ax2+bx+c=0的判别式
△=b2﹣4ac>0
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根,故②正确;
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根,
则ac2+bc+c=0
∴c(ac+b+1)=0
若c=0,等式仍然成立
但ac+b+1=0不一定成立,故③不正确;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,
则由求根公式可得:
x0=或x0=
∴2ax0+b=或2ax0+b=﹣
∴
故④正确.
故选:B.
二.填空题(共5小题)
11.解:设t=a2+b2,
则原方程为t2﹣3t﹣4=0,
解得t1=4,t2=﹣1,
∵a2+b2≥0,
∴t=4,
∴a2+b2=4,
故答案为:4.
12.解:∵关于x的方程x2﹣k|x|+4=0有四个不同的解,
∴△=b2﹣4ac=k2﹣16>0,
即k2>16,
解得k<﹣4或k>4,
而k<﹣4时,x2﹣k|x|+4的值不可能等于0,
所以k>4.
故填空答案:k>4.
13.解:∵方程(a﹣3)x2+x+10=0是一元二次方程,
∴a﹣3≠0,即 a≠3,
又∵二次根式有意义,
∴a+3≥0,即 a≥﹣3,
∴a≥﹣3且a≠3.
故答案为:a≥﹣3且a≠3.
14.解:∵一元二次方程x2+2x﹣8=0的两根为x1、x2,
∴x1+x2=﹣2,x1•x2=﹣8,
∴+2x1x2+
=2x1x2+
=2×(﹣8)+
=﹣16+
=﹣,
故答案为:﹣.
15.解:在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,
∴BC=10
设运动的时间为t,则AP=t,点Q所走的路程为2t,
1)当点Q在BC线段上运动时,0<t<5,
如图所示,过点Q作QG⊥AC,交AC于点G,
则sinC==
∴QG=×2t=
∵S△ABC=6×8÷2=24
若四边形的面积为三角形面积的2倍,则S△PQC=24×=8
∴(8﹣t)×÷2=8
化简得3t2﹣24t+40=0
解得t1=4﹣,t2=4+(舍)
2)当点Q在BA线段上运动时,5<t<8,
如图所示,
S△APQ=AP•AQ=t(10+6﹣2t)=8
化简得:t2﹣8t+8=0
解得t3=4﹣2(舍),t4=4+2.
故答案为:4﹣或4+2.
三.解答题(共5小题)
16.证明:△=(k﹣2)2﹣4(k﹣4)=k2﹣8k+20=(k﹣4)2+4,
∵(k﹣4)2≥0,
∴(k﹣4)2+4>0,
∴不论k为何值时,关于x的一元二次方程x2+(k﹣2)x+(k﹣4)=0有两个不相等的实数根.
17.解:(1)设打x折销售,才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%,
由题意得:≥10%,
x≥8.8,
答:最多打8.8折销售,才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%;
(2)由题意得:5000(1+m%)[50(1﹣3m%)+m﹣40]=49000,
5(1+)(50﹣m+m﹣40)=49,
m2﹣5m﹣6=0,
m1=6,m2=﹣1(舍).
18.解:(1)∵x2﹣7x+12=0,
则(x﹣3)(x﹣4)=0,
∴x1=3,x2=4.
∵AB<BC,
∴AB=3,BC=4;
(2)如图,在Rt△ABP中,
∵AP=,AB=3,
∴BP===1.
∴t==4.
答:t的值是4秒.
19.解:(1)∵△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,
∴Rt△ABC中,AC=6cm,
又∵点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动,
∴AP=2t,
∴当点P在线段AC上运动时,P、C两点之间的距离(6﹣2t)cm;
故答案为:(6﹣2t);
(2)△ABC的面积为S△ABC=×6×8=24,
①当0<t<3时,PC=6﹣2t,QC=t,
∴S△PCQ=PC×QC=t(6﹣2t),
∴t(6﹣2t)=4,
即t2﹣3t+4=0,
∵△=b2﹣4ac=﹣7<0,
∴该一元二次方程无实数根,
∴该范围下不存在;
②当3<t≤8时,PC=2t﹣6,QC=t,
∴S△PCQ=PC×QC=t(2t﹣6),
∴t(2t﹣6)=4,
即t2﹣3t﹣4=0,
解得t=4或﹣1(舍去),
综上所述,存在,当t=4时,△PQC的面积是△ABC面积的.
20.解:(1)∵x2﹣3x﹣2=0,△=(﹣3)2﹣4×(﹣2)=17>0
∴x1+x2=3,x1•x2=﹣2
①x+x=(x1+x2)2﹣2x1•x2=32﹣2×(﹣2)=9+4=13
②=
(2)∵方程有两个实数根,
∴△=(﹣4k)2﹣4•4k(k+1)>0
∴k<0,x1+x2=1,x1•x2=
①∵(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=2x12﹣5x1x2+2x22=2(x12+2x1x2+x22)﹣9x1x2=2(x1+x2)2﹣9x1x2
∴2﹣9=
解得:k=,与k<0矛盾
∴不存在k的值,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立.
②+﹣2===
∵+﹣2=的值为整数
∴k+1=±1或±2或±4
又∵k<0
∴k=﹣2或﹣3或﹣5
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