人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试单元测试同步达标检测题

这是一份人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试单元测试同步达标检测题，共20页。试卷主要包含了下列函数是二次函数的是，若点M在抛物线y＝，二次函数y＝2，关于x的函数y＝ax2+，二次函数y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
时间：100分钟 满分：100分


班级：_______ 姓名：________得分:_______





一．选择题（每题3分，共30分）


1．下列函数是二次函数的是（ ）


A．y＝x+B．y＝3（x﹣1）2C．y＝ax2+bx+cD．y＝+3x


2．若点M在抛物线y＝（x+3）2﹣4的对称轴上，则点M的坐标可能是（ ）


A．（3，﹣4）B．（﹣3，0）C．（3，0）D．（0，﹣4）


3．二次函数y＝2（x﹣3）2+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）


A．y＝2x2﹣12xB．y＝﹣2x2+6x+12


C．y＝2x2+12x+18D．y＝﹣2x2﹣6x+18


4．在同一直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）


A．B．


C．D．


5．关于x的函数y＝ax2+（2a+1）x+a﹣1与坐标轴有两个交点，则a的取值有（ ）


A．1个B．2个C．3个D．4个


6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（ ）


A．﹣0.03＜x＜﹣0.01B．3.18＜x＜3.19


C．﹣0.01＜x＜0.02D．3.17＜x＜3.18


7．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y＝x2+6x（0≤x≤4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ）


A．1米B．2米C．5米D．6米


8．把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是（ ）


A．（3，﹣3）B．（3，9）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，9）


9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点．则以下结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣1；③2a+c＝0；④a﹣b+c＞0．其中正确的有（ ）个．





A．0B．1C．2D．3


10．已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（ ）


A．﹣1B．2C．3D．4





二．填空题（每题4分，共20分）


11．若二次函数y＝x2+mx+3的图象关于直线x＝1对称，则m的值为 ．


12．已知抛物线的顶点为（，﹣），与x轴交于A，B两点，在x轴下方与x轴距离为4的点M在抛物线上，且S△AMB＝10，则点M的坐标为 ．


13．已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为 ．


14．若直线y＝2x+t与函数y＝x2﹣2|x﹣1|﹣1的图象有且只有两个公共点时，则t的取值范围是 ．


15．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表：


当n＞0时，下列结论中一定正确的是 ．（填序号即可）


①bc＞0；②当x＞2时，y的值随x值的增大而增大；③n＞4a；④当n＝1时，关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．


三．解答题（每题10分，共50分）


16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．


（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；


（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；


（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．





17．对于二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4，把y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：


（1）当t＝2时，抛物线E的顶点坐标是 ；


（2）判断点A是否在抛物线E上；


（3）求n的值．


（4）通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，这个定点的坐标是 ．


（5）二次函数y＝﹣3x2+5x+2是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．


（6）以AB为一边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过点A、B、C、D中的三点，求出所有符合条件的t的值．





18．黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．


（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？


（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：


请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．


（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？


19．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．


（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：


其中，m＝ ．


（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．





（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．


（4）直线y＝kx+b经过（，），若关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，则b的取值范围为 ．


20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点．


（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式．


（2）在该抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；


（3）设点P为该抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标．


提示：若平面直角坐标系内有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ＝）．








参考答案


一．选择题


1．解：A、y＝x+是一次函数，此选项错误；


B、y＝3（x﹣1）2是二次函数，此选项正确；


C、y＝ax2+bx+c不是二次函数，此选项错误；


D、y＝+3x不是二次函数，此选项错误；


故选：B．


2．解：


∵y＝（x+3）2﹣4，


∴抛物线对称轴为x＝﹣3，


∵点M在抛物线对称轴上，


∴点M的横坐标为﹣3，


故选：B．


3．解：二次函数y＝2（x﹣3）2+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是：y＝2（x﹣3+6）2+2﹣2，即y＝2x2+12x+18．


故选：C．


4．解：A、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；


B、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x＝﹣＝﹣＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；


C、由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；


D、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x＝﹣＝﹣＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；


故选：D．


5．解：∵关于x的函数y＝ax2+（2a+1）x+a﹣1的图象与坐标轴有两个交点，


∴可分如下三种情况：


①当函数为一次函数时，有a＝0，


∴a＝0，此时y＝x﹣1，与坐标轴有两个交点；


②当函数为二次函数时（a≠0），与x轴有一个交点，与y轴有一个交点，


∵函数与x轴有一个交点，


∴△＝0，


∴（2a+1）2﹣4a（a﹣1）＝0，


解得a＝﹣；


③函数为二次函数时（a≠0），与x轴有两个交点，与y轴的交点和x轴上的一个交点重合，即图象经过原点，


∴a﹣1＝0，


∴a＝1．


当a＝1，此时y＝x2+3x，与坐标轴有两个交点．


综上所述，a的取值为0，﹣，1，


故选：C．


6．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，


故x应取对应的范围为：3.18＜x＜3.19，


故选：B．


7．解：方法一：


根据题意，得


y＝x2+6x（0≤x≤4），


＝﹣（x﹣2）2+6


所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．


方法二：


因为对称轴x＝＝2，


所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．


故选：B．


8．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，


∴顶点坐标为（1，3），


∴把点（1，3）向左平移2个单位，再向下平移6个单位得到（﹣1，﹣3）．


故选：C．


9．解：对于①：二次函数开口向下，故a＜0，与y轴的交点在y的正半轴，故c＞0，故ac＜0，因此①错误；


对于②：二次函数的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（1，0），由对称性可知，其对称轴为：，因此②错误；


对于③：设二次函数y＝ax2+bx+c的交点式为y＝a（x+2）（x﹣1）＝ax2+ax﹣2a，比较一般式与交点式的系数可知：b＝a，c＝﹣2a，故2a+c＝0，因此③正确；


对于④：当x＝﹣1时对应的y＝a﹣b+c，观察图象可知x＝﹣1时对应的函数图象的y值在x轴上方，故a﹣b+c＞0，因此④正确．


∴只有③④是正确的．


故选：C．


10．解：由二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c的图象与x轴有公共点，


∴（﹣2b）2﹣4×1×（2b2﹣4c）≥0，即b2﹣4c≤0 ①，


由抛物线的对称轴x＝﹣＝b，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），


b＝，即，c＝b﹣1 ②，


②代入①得，b2﹣4（b﹣1）≤0，即（b﹣2）2≤0，因此b＝2，


c＝b﹣1＝2﹣1＝1，


∴b+c＝2+1＝3，


故选：C．


二．填空题（共5小题）


11．解：∵二次函数y＝x2+mx+3的图象关于直线x＝1对称，


∴对称轴为：x＝﹣＝1，


解得：m＝﹣2，


故答案为：﹣2．


12．解：抛物线的顶点为（，﹣），因此设抛物线的关系式为y＝a（x﹣）2﹣，


点M到x轴的距离为4，即△ABM底边AB上的高为4，


∵S△AMB＝10，


∴AB×4＝10，


∴AB＝5，


又∵抛物线的对称轴为x＝，


∴抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣2，0）（3，0），


把（3，0）代入得，0＝a（3﹣）2﹣，


解得，a＝1，


∴抛物线的关系式为y＝（x﹣）2﹣，


当y＝﹣4时，即（x﹣）2﹣＝﹣4，


解得，x1＝2，x2＝﹣1，


∴点M（2，﹣4）或（﹣1，﹣4）．





13．解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，


∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，


∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，


∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，


∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，


∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，


故答案为：9．


14．解：由函数y＝x2﹣2|x﹣1|﹣1可知y＝，


画出函数的图象如图：





由图象可知函数的最低点为（﹣1，﹣4），


把（﹣1，﹣4）代入y＝2x+t解得t＝﹣2，


若直线y＝2x+t与函数y＝x2﹣2x+1有一个交点时，x2﹣4x+1﹣t＝0，则△＝16﹣4（1﹣t）＝0，


解得t＝﹣3，


若直线y＝2x+t与函数y＝x2+2x﹣3有一个交点时，x2﹣3﹣t＝0，则△＝4（3+t）＝0，


解得t＝﹣3，


由图象可知：直线y＝2x+t与函数y＝x2﹣2|x﹣1|﹣1的图象有且只有两个公共点时t的取值范围是t＞﹣2或t＝﹣3．


故答案为t＞﹣2或t＝﹣3．


15．解：①函数的对称轴为直线x＝（0+3）＝，即＝﹣，则b＝﹣3a，


∵n＞0，故在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故抛物线开口向上，则a＞0，


对称轴在y轴的右侧，故b＜0，而c＝﹣3，故bc＞0正确，符合题意；


②x＝2在函数对称轴的右侧，故y的值随x值的增大而增大，故②正确，符合题意；


③当x＝﹣1时，n＝y＝a﹣b+c＝4a﹣3＜4a，故③错误，不符合题意；


④当n＝1时，即：x＝﹣1时，y＝1，


ax2+（b+1）x+c＝0可以变形为ax2+bx+c＝﹣x，即探讨一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c图象情况，


当x＝1，y＝﹣1，即（1，﹣1）是上述两个图象的交点，根据函数的对称性，另外一个交点的横坐标为：×2＝3，则该交点为（3，﹣3），


故两个函数交点的横坐标为﹣1、3，


即关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，正确，符合题意，


故答案为：①②④．


三．解答题（共5小题）


16．解：（1）∵对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0），


∴点B的坐标是（3，0）．


将A（1，0），B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c，得


．


解得．


则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．


由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1知，该抛物线顶点坐标是（2，﹣1）；





（2）如图1，过点P作PN⊥x轴于N，过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M，





∵∠CON＝90°，


∴四边形CONM是矩形．


∴∠CMN＝90°，CO＝MN、


∴y＝x2﹣4x+3，


∴C（0，3）．


∵B（3，0），


∴OB＝OC＝3．


∵∠COB＝90°，


∴∠OCB＝∠BCM＝45°．


又∵∠ACB＝∠PCB，


∴∠OCB﹣∠ACB＝∠BCM﹣∠PCB，即∠OCA＝∠PCM．


∴tan∠OCA＝tan∠PCM．


∴＝．


故设PM＝a，MC＝3a，PN＝3﹣a．


∴P（3a，3﹣a），


将其代入抛物线解析式y＝x2﹣4x+3，得（3a）2﹣4（3﹣a）+3＝3﹣a．


解得a1＝，a2＝0（舍去）．


∴P（，）．





（3）设抛物线平移的距离为m，得y＝（x﹣2）2﹣1﹣m．


∴D（2，﹣1﹣m）．


如图2，过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ延长线于点F，





∵∠OED＝∠QFD＝∠ODQ＝90°，


∴∠EOD+∠ODE＝90°，∠ODE+∠QDP＝90°．


∴∠EOD＝∠QDF．


∴tan∠EOD＝tan∠QDF，


∴＝．


∴＝．


解得m＝．


故抛物线平移的距离为．


17．解：（1）将t＝2代入抛物线E中，得：y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，


∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．


故答案为：（1，﹣2）；


（2）将x＝2代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y＝0，


∴点A（2，0）在抛物线E上．





（3）将x＝﹣1代入抛物线E的解析式中，得：


n＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝6．





（4）将抛物线E的解析式展开，得：


y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4


∴抛物线E必过定点（2，0）、（﹣1，6）．


故答案为：A（2，0）、B（﹣1，6）；





（5）将x＝2代入y＝﹣3x2+5x+2，y＝0，即点A在抛物线上．


将x＝﹣1代入y＝﹣3x2+5x+2，计算得：y＝﹣6≠6，


即可得抛物线y＝﹣3x2+5x+2不经过点B，


二次函数y＝﹣3x2+5x+2不是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”．





（6）如图，作矩形ABC1D1和矩形ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于K，过点D1作D1G⊥x轴于G，过点C2作C2H⊥y轴于H，过点B作BM⊥x轴于M，C2H与BM交于点T．





∵∠AMB＝∠BKC1，∠KBC1＝∠ABM，


∴△KBC1∽△MBA，


∴＝，


∵AM＝3，BM＝6，BN＝1，


∴＝，


∴C1K＝，


∴点C1（0， ）．


∵BC1＝AD1，∠AGD1＝∠BKC1＝90°，∠GAD1＝∠KBC1，


∴△KBC1≌△GAD1（AAS），


∴AG＝1，GD1＝，


∴点D1（3， ）．


同理△OAD2∽△GAD1，


∴＝，


∵AG＝1，OA＝2，GD1＝，


∴OD2＝1，


∴点D2（0，﹣1）．


同理△TBC2≌△OD2A，


∴TC2＝AO＝2，BT＝OD2＝1，


∴点C2（﹣3，5）．


∵抛物线E总过定点A（2，0）、B（﹣1，6），


∴符合条件的三点可能是A、B、C或A、B、D．


当抛物线E经过A、B、C1时，将C1（0， ）代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），


解得t1＝﹣；


当抛物线经过A、B、D1时，将D1（3，）代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t＝，


当抛物线经过A、B、C2时，将C2（﹣3，5）代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t＝﹣，


当抛物线经过A、B、D2时，将D2（0，﹣1）代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t＝，


∴满足条件的所有t的值为：﹣，，﹣，．


18．解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得：


，


解得：．


∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．


（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得：


，解得：．


∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．


（3）由题意得：


w＝（﹣2x+40）（x﹣10）


＝﹣2x2+60x﹣400


＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）．


∴当x＝15时，w取得最大值50．


∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．


19．解：（1）把x＝5代入函数y＝﹣x2+3|x|+4中，得y＝﹣25+15+4＝﹣6，


∴m＝﹣6，


故答案为：﹣6；


（2）连线得，





（3）由函数图象可知①该函数的图象关于y轴对称：


②该函数的图象有最高点：（答案不唯一）


（4）∵直线y＝kx+b经过（，），


∴，


∴k＝


∵关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，


∴x2﹣3x﹣4+kx+b＝0和方程x2+3x﹣4+kx+b＝0各有两个不相等的实数根，


即方程x2﹣（3﹣）x﹣4+b＝和0x2+（3+）x﹣4+b＝0各有两个不相等的实数根，


∴，


解得b≠，且b＞或b＜，


∴b的取值范围为b＞或b＜．


故答案为：b＞或b＜．


20．解：（1）由题意得：，


解得：，


∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，


∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），


∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，


得，


解得：，


∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；





（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．


把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝﹣1+3＝2，


∴M（﹣1，2），


即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；





（3）如图，设P（﹣1，t），





又∵B（﹣3，0），C（0，3），


∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，


①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；


②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4，


③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t1＝，t2＝；


综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．





x
3.17
3.18
3.19
y
﹣0.03
﹣0.01
0.02
x
﹣1
0
3
y
n
﹣3
﹣3
销售单价x（元/件）
11
19
日销售量y（件）
18
2
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣6
0
4
6
6
4
6
6
4
0
m
…