初二数学上册秋季班培优讲义 第2讲 三角形的两大模型 教师版

模块一  两大模型与角度关系

模块二  两大模型与边长关系

模块三  多边形

（1）如图1-1，中，点D在BC的延长线上，过D作于E，交AC于F．已知，，则的度数为___________．

（2）如图1-2，，则          ．

（3）如图1-3，则___________．

图1-1                 图1-2                    图1-3

（1）；（2）；（3）．

【教师备课提示】这道题主要考查三角形两大模型的基础倒角问题——找模型．

（1）飞镖模型：找燕尾；（2）“8”字模型：找×字．

（1）如图2-1，则           ．

（2）如图2-2，则           ．

图2-1                                 图2-2

（1）本题既可按“8字模型”来考虑，也可按照飞镖模型来做，也可以应用外角定理来解决，此题可以锻炼学生一题多解，熟练灵活的应用．

①如图1，连接，应用“8字模型”

，.

②如图2，应用飞镖模型，∵

∵，∴

③如图3，应用外角定理，∵

又∵，∴

图1                 图2                   图3

（2）法一：∵∠A+∠B=∠5+∠6       ①

∠C+∠D=∠4+∠6         ②

∠E+∠F=∠4+∠5         ③

①+②+③=2（∠4+∠5+∠6），∵．

∴．

法二：∵，           ①

，               ②

．                ③

而，，，且．  ④

∴①+②+③④得，

法三：连接，

∴

【教师备课提示】这道题相对复杂，锻炼孩子们找模型的能力和倒角能力，一题多解．

（1）如图3-1，已知，，则        ．

（2）如图3-2，则        ．

图3-1                              图3-2

（1）；利用两次“8”字模型．

（2）；连接BD，利用两次飞镖模型．

【教师备课提示】这道题主要需要孩子们自己连接辅助线，锻炼倒角能力．

如图，已知，BO平分，DO平分，        ．

．

已知：如图，，AM，CM分别平分和．

（1）求的大小；

（2）当，为任意角时，探索与，间的数量关系，并对你的结论加以证明．

（1）根据三角形内角和定理，在和中，

，

，

∴    ①  

同理    ②

∵，，

∴①+②得，

即

（2）当、为任意角时，，

证明：根据三角形外角性质，可得：

，

，

∴，

∴

又∵、分别平分、

∴，， ∴

∴，即

【教师备课提示】例4—例5主要考查两大模型的拓展，自己拓展出结论．

如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O．

求证：（1）； 

（2）．

（1）在中，，

在中，，

两不等式相加得，∴

即 

（2）应用上题的结论：，，

∴．

三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度．在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上．

（1）说明为什么．

（2）说明为什么．

（3）与，哪一个更大？证明你的答案；

（4）与，哪一个更大？证明你的答案．

（1）由三角形三边关系，．

（2）由三角形三边关系，．

因此， ．

（3）由三角形三边关系，，，以及，

将三个不等式相加，得．

（4）由（2）可知．

类似可得，以及．

将这三个不等式相加，可得，

即．

【教师备课提示】例6—例7主要考查两大模型和边长的关系．

（1）下列平面图形            不具有稳定性．（黑点表示连接点）

A．              B．              C．              D．

（2）科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图示中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（    ）

A．6米          B．8米

C．12米                 D．不确定

（3）m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则
         ．

（1）C．提示：三角形具有稳定性．

（2）B．多边形的外角和为，每个外角为，则，

故多边形边数为，则周长为．

（3）m边形的一个顶点有7条对角线，所以，则；

没有对角线的多边形显然是三角形，则；

k边形条数与其边数相等，即，所以．故．

（1）若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（    ）

A．5    B．6    C．7    D．8

（2）若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（    ）

A．10      B．9     C．8    D．6

（3）一个多边形内角和是外角和的4倍，那么这是（    ）边形.

A．10     B．22      C．15       D．8

（4）如果一个五边形的4个内角都是，则第5个内角的度数是         ．

（5）一个凸多边形的每一个内角都等于，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是          ．

（1）B；（2）B.

（3）A．设多边形的边数为，由题意得，解得．

（4）.

（5）6．每个外角为，边数为，

则每个顶点出发得到对角线的条数：．

（1）一个凸多边形的内角中，最多有　　　个锐角．

（2）一个凸n边形，除一个内角外，其余个内角的和是，则n的值为      ．

（1）3．

（2）由凸边形的内角得，，

解不等式的，故．

如图，求六个角的和.

连接DE、EF，BE与DG的交点为O

∵三角形内角和等于，

∴，

∵，∴

同理

∴

．

如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证．

作点关于的对称点，则点落在线段CD上．连接交于点，连接．

由轴对称图形的性质可得，．

在中，，在中，．

因此，所以．

如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D.

求证：（1）；

（2）.

（1）∵，∴

∵，∴，∴

∵，∴

（2）过点作，交、于、，则，

由（1）知

∵，

∴

即

几何证明中后一问常常要用到前一问的结论.

（1）如图1-1，已知，，，则__________．

（2）如图1-2，，，则___________．

图1-1                                  图1-2

（1）130°；（2）10°．

（1）如图2-1，__________．

（2）如图2-2，__________．

图2-1                                图2-2

（1）；（2）连接BC，∵（对顶角相等）

∴（等量减等量差相等）

∴（等量代换），

∵（三角形内角和定义），

∴（等量代换）．

将图3-1中线段AD上一点E（点A、D除外）向下拖动，依次可得图3-2、图3-3、图3-4．分别探究图3-2、图3-3、图3-4中、、、、（）之间有什么关系？

图3-1          图3-2              图3-3            图3-4

探究图3-2、图3-3、图3-4可得：（或）

图3-2中：证明：

，．

∵，∴

即

图3-3中：同上可证

图3-4中：同上可证

（1）已知如图4-1所示，在图形ABCDEFG中，若BC//FG，则          ．

（2）如图4-2所示， 的值等于         ．

（3）如图4-3所示， 的度数为         ．

图4-1                 图4-2                  图4-3

（1），

，

．

（2）连接、，设与交于，与交于.

由，

，

而，所以，

原式

.

（3）

所以．

已知，如图，P，Q为三角形ABC内两点，B，P，Q，C构成凸四边形．
求证：．

作直线PQ，分别与AB，AC交于点M，N

由三角形的三边关系可得

①+②+③得

∴，即．

（1）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，这个多边形的边数是       ．

（2）一凸n边形最小的内角为，其它内角依次增加，则_________．

（3）在凸多边形中，小于的角最多可以有（     ）

A．3个              B．4个               C．5个               D．6个

（1）七．

（2）这个凸n边形的内角由小到大依次为，

它的外角依次为

而这六个外角之和为

∴．

（3）设凸边形中，小于的角有个．

当多边形的一个内角小于，则它的外角大于，而任意多边形的外角和等于，故有

解得，故小于的角可以有4个，故选B

如图，图中的5个圆都是半径为1的圆，求图中五个扇形（阴影部分）的面积．

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