(最新)初三数学上册班培优讲义.直升班第03讲 一元二次方程的判别式与根系关系（学生版）

 
            一元二次方程的判别
式与根系关系        模块一  一元二次方程的判别式 模块二  一元二次方程的根与系数关系   
模块一  一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程中，只有当系数a、b、c满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式，记作．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由确定．设一元二次方程为，其根的判别式为：，则①方程有两个不相等的实数根．②方程有两个相等的实数根．③方程没有实数根．特殊的：（1）若a，b，c为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若为完全平方式，同时是2a的整数倍，则方程的根为整数根．模块二  一元二次方程的根与系数关系1．韦达定理：如果的两根是，，则，．（使用前提：）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，．2．韦达定理的逆定理：如果有两个数，满足，，那么，必定是的两个根．特别地，以两个数、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是．3．韦达定理与根的符号关系：在的条件下，我们有如下结论：（1）当时，方程的两根必一正一负．①若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当时，方程的两根同正或同负．①若，则此方程的两根均为正根；②若，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若，则方程必有实数根．（2）若，方程不一定有实数根．
 （1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况：①           ②   ③          ④（m为常数） （2）已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程的根的情况是（    ）A．没有实数根       B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根     D．有两个不相等的实数根 （1）若关于x的一元二次方程有实根，则k的取值范围为______． （2）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围______． （3）当a、b为何值时，方程有实根？    已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值．   在等腰中，、、的对边分别为a、b、c，已知，b和c是关于x的方程的两个实数根，求的周长．     （1）已知一元二次方程的一根，则方程的另一根． （2）已知，是方程的两个实数根，则：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．    （1）已知关于x的方程有两个实数根，，且，求k值． （2）已知，是方程的两实根，是否能适当选取a的值，使得的值等于．   （1）若m，n是方程的两个实数根，则的值为________． （2）已知a，b是方程的两个实数根，则的值为__________． （3）已知m、n是方程的两个根，则 ________．   （1）已知一元二次方程的两根都是负数，则k的取值范围是_________． （2）已知二次方程的两根都是非负数，则k的取值范围是__________．          1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_____________．A．          B．且             C．且            D．且 2．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围__________． 3．关于x的方程有实根，则m的取值范围__________． 4．已知关于x的方程．（1）求证：无论k为何值，方程总有实根；（2）若等腰，底边，另两边b、c恰好是此方程的两根，求的周长．   5．关于x的方程的一个根是，则方程的另一根是_______；________． 6．已知a，b，c为正数，若二次方程有两个实数根，那么方程的根的情况是（    ）A．有两个不相等的正实数根                 B．有两个异号的实数根C．有两个不相等的负实数根              D．不一定有实数根 7．设α，β是一元二次方程的两个根，则________．   8．已知关于x的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值．