（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（28）第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第二讲平面向量的基本定理及坐标表示（含解析）

 [练案28]第二讲　平面向量的基本定理及坐标表示A组基础巩固一、单选题1．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝(　B　)A．2　 B．3　C．4　 D．6[解析]　因为a∥b，所以2×6－4x＝0，解得x＝3.故选B.2．(2020·抚州模拟)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝(　B　)A．3a＋b　　 B．3a－bC．－a＋3b　　 D．a＋3b[解析]　解法一：设c＝ma＋nb，则(4,2)＝(m－n，m＋n)，所以所以所以c＝3a－b.解法二：代入验证法对于A,3a＋b＝3(1,1)＋(－1,1)＝(2,4)≠c，故A不正确；同理选项C、D也不正确；对于B,3a－b＝(4,2)＝c，故B正确．3．(2020·北京八十中学月考)已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1.若A，B，D三点共线，则mn＝(　C　)A．　 B．2　C．1　 D．－3[解析]　∵A，B，D三点共线，∴∥，设＝λ，则∴mn＝1.故选C.4．(2020·湖南重点中学联考)已知m＝(5,12)，则与m方向相同的单位向量的坐标是(　A　)A．(，)　　 B．(，)C．(，)　　 D．(－，)[解析]　设所求向量为n＝λm(λ>0)，∵m＝(5,12)，∴n＝(5λ，12λ)．∵|n|＝1，∴25λ2＋144λ2＝1，得λ＝，∴n＝(，)．故选A.5．若M是△ABC内一点，且满足＋＝4，则△ABM与△ACM的面积之比为(　A　)A．　 B．　C．　 D．2[解析]　设AC的中点为D，则＋＝2，于是2＝4，从而＝2，即M为BD的中点，于是＝＝＝.6．(2020·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB，若点C满足＝2，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＋＝(　D　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝，μ＝，∴＋＝3＋＝.故选D.二、多选题7．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是(　BD　)A．a＝(1,2)，b＝(0,0)B．a＝(1，－2)，b＝(3,5)C．a＝(3,2)，b＝(9,6)D．a＝(－，)，b＝(－3，－2)[解析]　在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B、D.8．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且||＝||，则P点的坐标为(　BD　)A．(－8,1)　　 B．(－1，－)C．(1，)　　 D．(7，－)[解析]　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝(－4，)，当＝时，有解得所以P点坐标为(－1，－)．同理当＝－时，可解得P(7，－)．故选B、D.三、填空题9．(2020·广西贺州联考)已知向量＝(m，n)，＝(2,1)，＝(3,8)，则mn＝__7__.[解析]　∵＝＋＝(m＋2，n＋1)＝(3,8)，∴m＋2＝3，n＋1＝8，∴m＝1，n＝7，∴mn＝7.10．(2020·北京海淀区期中)已知向量a＝(1,0)，b＝(m，n)，若b－a与a平行，则实数n的值为__0__.[解析]　b－a＝(m－1，n)，若b－a与a平行，则n×1＝(m－1)×0，得n＝0.11．设向量a＝(3,2)，b＝(－1,3)，向量λa－2b与a＋b平行，则实数λ＝__－2__.[解析]　∵a＝(3,2)，b＝(－1,3)，∴λa－2b＝(3λ＋2,2λ－6)，a＋b＝(2,5)，又λa－2b与a＋b平行，所以5(3λ＋2)＝2(2λ－6)整理得11λ＝－22，即λ＝－2.12．(2020·江西南昌模拟)已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2，a＝λb(λ<0)，则m－n＝__－6__.[解析]　∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)，∴由|a|＝2，a＝λb(λ<0)，得m2＋n2＝20　①，　②，联立①②，解得m＝－2，n＝4.∴m－n＝－6.四、解答题13．已知向量a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：(1)|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？[解析]　(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，故|a＋3b|＝＝.(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－.此时ka－b＝(k－2，－1)＝(－，－1)，a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．14．(2020·河北六校第三次联考)已知向量a＝(2＋sin x,1)，b＝(2，－2)，c＝(sin x－3,1)，d＝(1，k)，x∈R，k∈R.(1)若x∈[－，]，且a∥(b＋c)，求x的值；(2)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析]　(1)b＋c＝(sin x－1，－1)，因为a∥(b＋c)，所以－(2＋sin x)＝sin x－1，即sin x＝－.又x∈[－，]，所以x＝－.(2)a＋d＝(3＋sin x,1＋k)，b＋c＝(sin x－1，－1)，若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，即(3＋sin x)(sin x－1)－(1＋k)＝0，所以k＝sin2x＋2sin x－4＝(sin x＋1)2－5，由sin x∈[－1,1]，可得k∈[－5，－1]，所以存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．B组能力提升1．(2020·河北石家庄二中模拟)已知a＝(3，t)，b＝(－1,2)，若存在非零实数λ，使得a＝λ(a＋b)，则t＝(　B　)A．6　 B．－6　C．－　 D．[解析]　因为a＋b＝(2，t＋2)，a＝λ(a＋b)，所以解得t＝－6.2．(2020·福建莆田二十四中期中)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设＝a，＝b，则＝(　B　)A．a＋b　　 B．a＋bC.a＋b　　 D．a＋b[解析]　如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF.∴＝＝(－)＝(－)，＝－＝＋.则＝＋＝(＋)＋(－)＝＋＝a＋b.故选B.3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量＝a，＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是(　A　)[解析]　由题意知＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，从而选A.4．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，则＝__3__.[解析]　如图所示，因为·＝0，所以⊥.不妨设||＝2，过点C作CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，则四边形ODCE是矩形.＝＋＝＋.因为||＝2，∠COD＝30°，所以||＝1，||＝.又因为||＝，||＝1，故＝，＝.所以＝＋，此时m＝，n＝.所以＝＝3.5．(2020·安徽五校联考)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝，点O在线段CD上(不与点C，D重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是__(－2,0)__.[解析]　设＝y，则＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y)，因为＝，点O在线段CD上，且不与C，D重合，所以y∈(0,2)，因为＝x＋(1－x)，所以x＝－y∈(－2,0)．