（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（27）第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一讲平面向量的概念及其线性运算（含解析）

 [练案27]第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入第一讲　平面向量的概念及其线性运算A组基础巩固一、单选题1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　D　)A．0　 B．1　C．2　 D．3[解析]　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则当a为零向量时，a的方向任意；当a不为零向量时，a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题，综上所述，假命题的个数是3.故选D.2．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　A　)A．－＋　　 B．－－C.－　　 D．＋[解析]　如图所示，＝＋＝＋＝－＋.故选A.3．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　D　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　在方格纸上作出＋，如图所示，则容易看出＋＝，故选D.4．(2018·课标全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　A　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A.5．(2020·重庆高三二诊)已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b与n＝2a＋λb共线，则实数λ的值为(　C　)A．5　 B．3　C．　 D．2[解析]　因为向量m＝4a＋5b与n＝2a＋λb共线，所以存在实数t，使得m＝tn，即4a＋5b＝t(2a＋λb)，又向量a，b互相垂直，故a，b不共线，所以解得.故选C.6．(2020·黑龙江统一仿真模拟)点G为△ABC的重心(三角形三边中线的交点)，设＝a，＝b，则＝(　D　)A．a－b　　 B．a＋bC．2a－b　　 D．b－2a[解析]　如图，＋＝，即＋＝，故＝－2＝b－2a.故选D.二、多选题7．(2020·湖北枣阳白水高中期中改编)下列说法正确的是(　BC　)A．单位向量都相等B．模为0的向量与任意向量共线C．平行向量一定是共线向量D．任一向量与它的相反向量不相等[解析]　对于A，单位向量的模相等，方向不一定相同，所以A错误；对于B，模为0的向量为零向量，零向量和任意向量共线，所以B正确；对于C，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C正确；对于D，零向量与它的相反向量相等，所以D错误，故选B、C正确．8．(2020·广东仲元中学期中改编)在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　AC　)A．||＝||一定成立B.＝＋一定成立C.＝一定成立D.＝－一定成立[解析]　在平行四边形ABCD中，＝＋一定不成立，＝一定不成立，＝－一定成立，但||＝||不一定成立，故选A、C.三、填空题9．如图所示，下列结论不正确的是__②④__.①＝a＋b；②＝－a－b；③＝a－b；④＝a＋b.[解析]　由a＋b＝，知＝a＋b，①正确；由＝a－b，从而②错误；＝＋b，故＝a－b，③正确；＝＋2b＝a＋b，④错误．故正确的为①③.10．设a和b是两个不共线的向量，若＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于__－4__.[解析]　∵A，B，D三点共线，∴∥.∵＝2a＋kb，＝＋＝a－2b，∴k＝－4.故填－4.11．(2020·河南三市联考)若＝，＝(λ＋1)，则λ＝　－　.[解析]　由＝可知，点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则＝－，所以λ＋1＝－，解得λ＝－.12．如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，若用和来表示向量，则＝　＋　.[解析]　易知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.四、解答题13．(1)设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.①求证：A，B，D三点共线；②若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求实数k的值；(2)已知a、b不共线，若向量ka＋b与a＋kb共线反向，求实数k的值．[解析]　(1)①证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵＝2e1－8e2，∴＝2，又与有公共点B，∴A，B，D三点共线．②由①可知＝e1－4e2，又＝3e1－ke2，由B，D，F三点共线，得＝λ，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，∴解得k＝12，(2)∵ka＋b与a＋kb共线反向，∴存在实数λ使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)．∴∴k＝±1.又λ<0，∴k＝－1.B组能力提升1．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为(　C　)A．梯形　　 B．菱形C．矩形　　 D．正方形[解析]　 如图，因为＋＝，－＝，所以||＝||.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形. 2．(2020·广西玉林高中模拟)设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝(　D　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴＋2＋3＝(＋)＋2×(＋)＋3×(＋)＝＋＋＋＋＋＝＋＋＝.3．(2020·江西南昌莲塘一中质检)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是(　A　)A．λμ＝1　　 B．λμ＝－1C．λ－μ＝－1　　 D．λ＋μ＝2[解析]　∵与有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t使＝t，即λa＋b＝ta＋μtb，则消去参数t得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，＝a＋b，此时存在实数使＝，故和共线 .∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．故选A.4．(2020·四川成都七中一诊)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　B　)A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上[解析]　∵2＝2＋，∴2－2＝，即2＝，∴点P在线段AB的反向延长线上，故选B.5．(2020·甘肃诊断)设D为△ABC所在平面内一点，＝－4，则＝(　B　)A．－　　 B．＋C.－　　 D．＋[解析]　解法一：设＝x＋y，由＝－4可得，＋＝－4－4，即－－3＝－4x－4y，则解得即＝＋，故选B.解法二：在△ABC中，＝－4，即－＝，则＝＋＝－＝－(＋)＝＋，故选B.