（浙江专用）2021届高考数学一轮复习专题八立体几何8.1空间几何体的表面积与体积试题（含解析）

专题八　立体几何

【考情探究】

【真题探秘】

§8.1　空间几何体的表面积与体积

基础篇固本夯基

【基础集训】

考点一　空间几何体的结构特征

1.给出下列命题:

①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;

②在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;

③存在每个面都是直角三角形的四面体;④棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是　　　　. 

答案　②③④

2.给出下列命题:

①在圆柱上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;

②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;

③用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是圆锥;

④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;

⑤圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;

⑥一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.

其中正确命题的序号是　　　　. 

答案　⑤

3.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6 cm,O'C'=2 cm,则原图形OABC的形状是　　　　. 

答案　菱形

4.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形O'A'B'C'的面积为,则原梯形的面积为　　　　. 

答案　4

考点二　空间几何体的体积

5.如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为(　　)

A.3　　　B.　　　C.1　　　D.

答案　C

6.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为(　　)

A.π　　　B.4π　　　C.4π　　　D.6π

答案　B

7.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的体积为　　　　. 

答案　π

考点三　空间几何体的表面积

8.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,且AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的表面积是　　　　. 

答案　169π

9.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓,例如:将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵,将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开,得到一个阳马(底面是长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵ABC-A1B1C1中,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,则阳马C1-ABB1A1的外接球的表面积是　　　　. 

答案　50π

综合篇知能转换

【综合集训】

考法一　与表面积和体积有关的问题

1.(2017课标Ⅰ,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为　　　　. 

答案　4

2.(2020届浙江东阳中学10月月考,16)顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为H,且PA=4,C是PA的中点,则当三棱锥O-HPC的体积最大时,OB的长为　　　　. 

答案　

考法二　与球有关的切、接问题

3.(2016课标全国Ⅲ,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是(　　)

A.4π　　　B.　　　C.6π　　　D.

答案　B

4.(2019皖中入学摸底,10)将半径为3,圆心角为的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计),则该圆锥的内切球的体积为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.2π

答案　A

5.(2018四川南充模拟,9)已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为(　　)

A.32π　　　B.48π　　　C.24π　　　D.16π

答案　A

6.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是　　　　. 

答案　

7.(2018湖南师大附中模拟,16)在体积为的三棱锥S-ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,SA=SC,且平面SAC⊥平面ABC,若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积是　　　　. 

答案　π

8.(2018江西南昌二中1月模拟,16)在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为3的等边三角形,SA=,SB=2,二面角S-AB-C的大小为120°,则此三棱锥的外接球的表面积为　　　　. 

答案　21π

应用篇知行合一

【应用集训】

1.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(　　)

A.14斛　　　B.22斛　　　C.36斛　　　D.66斛

答案　B

2.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为(　　)

A. cm3　　　　　B. cm3

C. cm3　　　　　D. cm3

答案　A

3.(2019课标Ⅲ,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为　　　　g. 

答案　118.8

【五年高考】

考点一　空间几何体的结构特征

1.(2019课标Ⅱ,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有　　　　个面,其棱长为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分) 

图1

图2

答案　26;-1

考点二　空间几何体的体积

2.(2019课标Ⅰ,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为(　　)

A.8π　　　B.4π　　　C.2π　　　D.π

答案　D

3.(2015山东,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.2π

答案　C

4.(2019江苏,9,5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是　　　　. 

答案　10

5.(2019天津,11,5分)已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为　　　　. 

答案　

6.(2018天津,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为　　　　. 

答案　

7.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为　　　　. 

答案　

8.(2017天津,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为　　　　. 

答案　π

9.(2015江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为　　　　. 

答案　

10.(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.

(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?

(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?

解析　(1)由PO1=2 m知O1O=4PO1=8 m.

因为A1B1=AB=6 m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3);

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).

所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).

(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0<h<6,O1O=4h(m).连接O1B1.

因为在Rt△PO1B1中,O1+P=P,所以+h2=36,即a2=2(36-h2).

于是仓库的容积V=V柱+V锥=a2·4h+a2·h=a2h=(36h-h3),0<h<6,

从而V'=(36-3h2)=26(12-h2).令V'=0,得h=2或h=-2(舍).

当0<h<2时,V'>0,V是单调增函数;当2<h<6时,V'<0,V是单调减函数.

故h=2时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=2 m时,仓库的容积最大.

方法指导　(1)根据已知条件求出相关数据,进而利用相应体积公式求解.

(2)选择中间关联变量PO1为主变量把相关边长与高用主变量表示出来,再把容积表示成主变量的函数,进而转化成研究函数最值的问题.

评析　本题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.

考点三　空间几何体的表面积

11.(2015课标Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(　　)

A.36π　　　B.64π　　　C.144π　　　D.256π

答案　C

12.(2018课标Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为　　　　. 

答案　40π

【三年模拟】

一、单项选择题(每题5分,共50分)

1.(2020届山东夏季高考模拟,5)已知三棱锥S-ABC中,∠SAB=∠ABC=,SB=4,SC=2,AB=2,BC=6,则三棱锥S-ABC的体积是(　　)

A.4　　　B.6　　　C.4　　　D.6

答案　C

2.(2020届九师联盟9月质量检测,3)埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为著名的是胡夫金字塔,令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍,得到的商为3.141 59,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约为230米.因年久风化,顶端剥落10米,则胡夫金字塔现高大约为(　　)

A.128.4米　　　B.132.4米　　　C.136.4米　　　D.140.4米

答案　C

3.(2020届广东广州中学10月月考,7)已知圆柱的高为2,底面半径为,若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的表面积等于(　　)

A.4π　　　B.π　　　C.π　　　D.16π

答案　D

4.(2020届山东寿光现代中学10月月考,10)已知矩形ABCD的面积为8,当矩形周长最小时,沿对角线AC把△ACD折起,则三棱锥D-ABC的外接球的表面积等于(　　)

A.4π　　　B.8π　　　C.16π　　　D.24π

答案　C

5.(2020届辽宁瓦房店高级中学10月月考,11)一个圆锥的母线长为2,圆锥的母线与底面的夹角为,则圆锥的内切球的表面积为(　　)

A.8π　　　　　B.4(2-)2π　　　 C.4(2+)2π　　　　　D.π

答案　B

6.(2019宁夏银川质量检测,11)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,且两直角边长分别为1和,此三棱柱的高为2,则该三棱柱的外接球的体积为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　A

7.(2018广东惠州二模,10)已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,则三棱锥S-ABC的外接球的球心到平面ABC的距离是(　　)

A.　　　B.1　　　C.　　　D.

答案　A

8.(2020届辽宁阜新高级中学10月月考,11)在三棱锥S-ABC中,AB=,∠ASC=∠BSC=,AC=AS,BC=BS,若该三棱锥的体积为,则三棱锥S-ABC外接球的体积为(　　)

A.π　　　B.4π　　　C.π　　　D.

答案　B

9.(2020届河北衡水中学模拟,11)在菱形ABCD中,∠DAB=60°,将这个菱形沿对角线BD折起,使得平面DAB⊥平面BDC,若此时三棱锥A-BCD的外接球的表面积为5π,则AB的长为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.3

答案　B

10.(2020届湖南长沙一中第一次月考,12)已知三棱锥D-ABC的四个顶点在球O的球面上,若AB=AC=BC=DB=DC=1,当三棱锥D-ABC的体积取到最大值时,球O的表面积为(　　)

A.　　　B.2π　　　C.5π　　　D.

答案　A

二、多项选择题(每题5分,共15分)

11.(改编题)已知三棱锥A-BCD中,BC⊥CD,AB=AD=,BC=1,CD=,则(　　)

A.三棱锥的外接球的体积为                                 B.三棱锥的外接球的体积为

C.三棱锥的体积的最大值为                                  D.三棱锥的体积的最大值为

答案　AC

12.(改编题)如图,矩形ABCD中,M为BC的中点,将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M,连接B1D,N为B1D的中点,则在翻折过程中,下列说法中正确的是(　　)

A.存在某个位置,使得CN⊥AB1

B.CN的长是定值

C.若AB=BM,则AM⊥B1D

D.若AB=BM=1,当三棱锥B1-AMD的体积最大时,三棱锥B1-AMD的外接球的表面积是4π

答案　BD

13.(2019山东德州上学期期末考试数学试题)一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E、F分别为PB、PC的中点,在此几何体中,给出下面的结论,其中正确的是(　　)

A.直线AE与直线BF异面　　　　　B.直线AE与直线DF异面　　　

C.直线EF∥平面PAD　　　　　D.直线DF⊥平面PBC

答案　AC

三、填空题(每题5分,共35分)

14.(2020届山东夏季高考模拟,16)半径为2的球面上有A,B,C,D四点,且AB,AC,AD两两垂直,则△ABC,△ACD与△ADB面积之和的最大值为　　　　. 

答案　8

15.(2020届重庆一中第二次月考,13)已知圆锥的母线长为5,侧面积为15π,则该圆锥的体积为　　　　. 

答案　12π

16.(2019辽宁丹东质量测试(一),14)一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形,则这个圆锥的侧面积为　　　　. 

答案　π

17.(2019福建漳州二模,15)已知正四面体ABCD的外接球的体积为8π,则这个四面体的表面积为　　　　. 

答案　16

18.(2019东北师大附中、重庆一中等校联合模拟,15)若侧面积为4π的圆柱有一外接球O,当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积为　　　　. 

答案　6π

19.(2020届福建厦门一中10月月考,15)三棱锥P-ABC中,PA=PB=2,AB=4,BC=3,AC=5,若平面PAB⊥平面ABC,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为　　　　. 

答案　25π

20.(2020届广东广州十六中质量检测(一),15)已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上,底面为矩形,平面PAD⊥底面ABCD,△PAD为正三角形,AB=2AD=4,则球O的表面积为　　　　. 

答案　π