（浙江专用）2021届高考数学一轮复习专题九平面解析几何9.2直线、圆的位置关系试题（含解析）

§9.2　直线、圆的位置关系

基础篇固本夯基

【基础集训】

考点一　两直线的位置关系

1.若直线l1:(m-2)x-y-1=0与直线l2:3x-my=0互相平行,则m的值等于(　　)

A.0或-1或3　　　　　B.0或3

C.0或-1　　　　　D.-1或3

答案　D

2.已知曲线y=在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2,则直线l的方程为(　　)

A.2x+y+2=0　　　　　B.2x+y+2=0或2x+y-18=0

C.2x-y-18=0　　　　　D.2x-y+2=0或2x-y-18=0

答案　B

3.已知动直线l0:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过定点P(1,m),且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3,则+的最小值为(　　)

A.　　　B.　　　C.1　　　D.9

答案　B

4.若直线l1:x+a2y+6=0与直线l2:ax+3y+2a=0互相垂直,则实数a的值为　　　　. 

答案　0或-

考点二　直线与圆的位置关系

5.直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是(　　)

A.相交　　　B.相切　　　C.相离　　　D.不确定

答案　A

6.直线l:x-y+m=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0恒有公共点,则m的取值范围是(　　)

A.[-,]　　　　　B.[-2,2]

C.[--1,-1]　　　　　D.[-2-1,2-1]

答案　D

7.已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by=r2,那么(　　)

A.m∥l,且l与圆相交　　　　　B.m⊥l,且l与圆相切

C.m∥l,且l与圆相离　　　　　D.m⊥l,且l与圆相离

答案　C

8.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为　(　　)

A.-或-　　　　　B.-或-　　　

C.-或-　　　　　D.-或-

答案　D

考点三　圆与圆的位置关系

9.圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9与圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4外切,则m的值为(　　)

A.2　　　B.-5　　　C.2或-5　　　D.不确定

答案　C

10.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　)

A.内切　　　B.相交　　　C.外切　　　D.外离

答案　B

11.已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab的最大值为　　　　. 

答案　

12.两圆C1:x2+y2+4x+y+1=0,C2:x2+y2+2x+2y+1=0相交于A,B两点,则|AB|=　　　　. 

答案　

综合篇知能转换

【综合集训】

考法一　两直线的位置关系

1.(2018广东江门4月模拟,3)已知三条直线l1:4x+y=1,l2:x-y=0,l3:2x-my=3,若l1关于l2对称的直线与l3垂直,则实数m的值是(　　)

A.-8　　　B.-　　　C.8　　　D.

答案　D

2.(2018河北五个一联盟联考,3)已知直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是l1平行于l2的(　　)

A.充分不必要条件　　　　　B.必要不充分条件

C.充分必要条件　　　　　D.既不充分也不必要条件

答案　C

3.(2018河南顶级名校第二次联考,6)已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则的最小值为(　　)

A.　　　B.　　　C.1　　　D.

答案　C

考法二　直线和圆的位置关系

4.(2018河北衡水中学五调,13)设直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A,B两点,且弦长为2,则a的值是　　　　. 

答案　0

5.(2018山西晋中二模,14)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为　　　　. 

答案　

6.(2019皖南八校联考,14)设直线y=kx+1与圆x2+y2+2x-my=0相交于A,B两点,若点A,B关于直线l:x+y=0对称,则|AB|=　　　　. 

答案　

7.(2019河北衡水金卷,14)过M(-3,1),N(0,a)两点的光线经y轴反射后所在直线与圆x2+y2=1存在公共点,则实数a的取值范围为　　　　. 

答案　

考法三　圆和圆的位置关系

8.(2018河南郑州外国语中学3月调研,9)已知圆C1:(x+2a)2+y2=4和圆C2:x2+(y-b)2=1只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则+的最小值为(　　)

A.2　　　B.4　　　C.8　　　D.9

答案　D

9.(2018江苏镇江期末)已知圆C与圆x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆C的标准方程为　　　　　　　　. 

答案　(x+3)2+(y+3)2=18

10.(2019河北冀州中学第五次模拟,14)过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则线段PQ的长为　　　　. 

答案　4

【五年高考】

1.(2018课标全国Ⅲ,8,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(　　)

A.[2,6]　　　　　B.[4,8]　　　

C.[,3]　　　　　D.[2,3]

答案　A

2.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为(　　)

A.1　　　B.2　　　C.　　　D.2

答案　C

3.(2018北京,7,5分)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为(　　)

A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4

答案　C

4.(2018课标全国Ⅰ,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=　　　　. 

答案　2

5.(2016课标全国Ⅰ,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为　　　　. 

答案　4π

6.(2016课标全国Ⅲ,15,5分)已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|=　　　　. 

答案　4

7.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·=0,则点A的横坐标为　　　　. 

答案　3

8.(2017课标全国Ⅲ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:

(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;

(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

解析　(1)不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:

设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.

又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为·=-,所以不能出现AC⊥BC的情况.

(2)证明:BC的中点坐标为,可得BC的中垂线方程为y-=x2.

由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-.

联立得又+mx2-2=0,可得

所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为,

半径r=.故圆在y轴上截得的弦长为2=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

教师专用题组

1.(2014课标Ⅱ,12,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是(　　)

A.[-1,1]　　　B.　　　C.[-,]　　　D.

答案　A

2.(2014北京,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为(　　)

A.7　　　　　B.6　　　

C.5　　　　　D.4

答案　B

3.(2014安徽,6,5分)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　D

4.(2014浙江,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是(　　)

A.-2　　　　　B.-4　　　

C.-6　　　　　D.-8

答案　B

5.(2014重庆,14,5分)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为　　　　. 

答案　0或6

6.(2019江苏,18,16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).

(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;

(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;

(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.

解析　本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

解法一:

(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.

由已知条件得,四边形ACDE为矩形,

DE=BE=AC=6,AE=CD=8.

因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE==.

所以PB===15.

因此道路PB的长为15(百米).

(2)不能,理由如下:

①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处,连接AD,由(1)知AD==10,

从而cos∠BAD==>0,所以∠BAD为锐角.

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此Q选在D处也不满足规划要求.

综上,P和Q均不能选在D处.

(3)先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;

当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.

设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,

此时P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×=9;

当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.

由上可知,d≥15.

再讨论点Q的位置.

由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ===3. 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=3时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3.

因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米.

解法二:

(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.

以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.

因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为.因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-,直线PB的方程为y=-x-.所以P(-13,9),PB==15.

因此道路PB的长为15(百米).

(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),

所以线段AD:y=-x+6(-4≤x≤4).

在线段AD上取点M,

因为OM=<=5,

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此Q选在D处也不满足规划要求.

综上,P和Q均不能选在D处.

(3)先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;

当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.

设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);

当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.

由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.

由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ==15(a>4),得a=4+3,

所以Q(4+3,9).

此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上,当P(-13,9),Q(4+3,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3-(-13)=17+3.

因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米.

7.(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.

(1)求M的轨迹方程;

(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.

解析　(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.

设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.

由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.

因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,|PM|=,所以△POM的面积为.

评析　本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系,在解决直线与圆的相关问题时,利用图形的几何性质可简化运算.

8.(2013四川,20,13分)已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M,N两点.

(1)求k的取值范围;

(2)设Q(m,n)是线段MN上的点,且=+.请将n表示为m的函数.

解析　(1)将y=kx代入x2+(y-4)2=4中,得

(1+k2)x2-8kx+12=0.(*)

由Δ=(-8k)2-4(1+k2)×12>0,得k2>3,

所以,k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).

(2)因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则|OM|2=(1+k2),|ON|2=(1+k2).

又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2,

由=+,得

=+,

即=+=.

由(*)式可知,x1+x2=,x1x2=,所以m2=.

因为点Q在直线y=kx上,所以k=,代入m2=中并化简,得5n2-3m2=36.由m2=及k2>3,可知0<m2<3,即m∈(-,0)∪(0,),根据题意知,点Q在圆C内,则n>0,所以n==.于是,n与m的函数关系为n=(m∈(-,0)∪(0,)).

评析　本题主要考查直线、圆、函数、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程等数学思想,并考查思维的严谨性.

【三年模拟】

一、单项选择题(每题5分,共35分)

1.(2019广东广州调研,4)a=3是直线ax+2y+3a=0和3x+(a-1)y=a-7平行的(　　)

A.充分不必要条件　　　　　B.必要不充分条件

C.充要条件　　　　　D.既不充分也不必要条件

答案　C

2.(2019安徽合肥调研,8)已知直线l:x+y-5=0与圆C:(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0)相交所得的弦长为2,则圆C的半径r=(　　)

A.　　　B.2　　　C.2　　　D.4

答案　B

3.(2019湖南五市十校联考,6)两圆x2+y2+4x-4y=0和x2+y2+2x-8=0相交于两点M,N,则线段MN的长为(　　)

A.　　　B.4　　　C.　　　D.

答案　D

4.(2019河南信阳二模,9)若直线y=kx+1(k≠0)与圆x2+(y-1)2=1相交于A,B两点,C点坐标为(3,0),若点M(a,b)满足++=0,则a+b等于(　　)

A.1　　　B.　　　C.　　　D.

答案　C

5.(2019豫西南五校3月联考,7)已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线l1:y=x,l2:y=kx-1,若l1,l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2,则k的值为(　　)

A.　　　B.1　　　C.　　　D.

答案　C

6.(2019赣中南五校4月联考,8)已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A,B两点,O为坐标原点,若·=,则实数m=(　　)

A.±1　　　B.±　　　C.±　　　D.±

答案　C

7.(2020届广东珠海9月摸底测试,11)已知点M(-1,0),N(1,0),若直线l:x+y=m上存在点P使得PM⊥PN,则实数m的取值范围是(　　)

A.[-1,1]　　　B.(-1,1)　　　C.[-,]　　　D.(-,)

答案　C

二、多项选择题(每题5分,共10分)

8.(改编题)若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能围成三角形,则a的可能取值为(　　)

A.a=1　　　B.a=-1　　　C.a=-2　　　D.a=2

答案　ABC

9.(改编题)已知两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a=(　　)

A.±2　　　　　B.±2

C.0　　　　　D.以上均有可能

答案　BC

三、填空题(每题5分,共30分)

10.(2020届山东滕州一中10月月考)过点M的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,当∠ACB最小时,直线l的方程为　　　　　　. 

答案　2x-4y+3=0

11.(2020届重庆第二外国语学校第三次质量检测,15)若直线ax+by=1(a,b都是正实数)与圆x2+y2=4相交于A,B两点,当OA⊥OB(O是坐标原点)时,ab的最大值为　　　　. 

答案　

12.(2020届江苏南京六校联合体10月联考,13)已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x+a+3)2+(y-2a)2=1(a为实数).若圆O与圆M上分别存在点P,Q,使得∠OQP=30°,则a的取值范围为　　　　. 

答案　

13.(2020届广东惠州综合高级中学月考,15)曲线y=1+(|x|≤2)与直线y=k(x-2)+4只有一个公共点时,实数k的取值范围是　　　　　　　　. 

答案　

14.(2020届江苏南京期中,13)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=1,圆C:(x-4)2+y2=4,动点P在直线x+y-2=0上的两点E,F之间,过点P分别作圆O,圆C的切线,切点为A,B,若满足PB≥2PA,则线段EF的长度为　　　　. 

答案　

15.(2020届江苏南京六校联合体期中检测,13)已知圆C1:(x+1)2+(y-6)2=25,圆C2:(x-17)2+(y-30)2=r2.若圆C2上存在一点P,使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A,B,满足PA=2AB,则半径r的取值范围是　　　　. 

答案　[5,55]

四、解答题(共10分)

16.(2018河北武邑中学4月模拟,20)已知☉H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四部分,且☉H截x轴所得线段的长为2.

(1)求☉H的方程;

(2)若存在过点P(a,0)的直线与☉H相交于M,N两点,且|PM|=|MN|,求实数a的取值范围.

解析　(1)设☉H的方程为(x-m)2+(y-n)2=r2(r>0),

因为☉H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四部分,所以圆心H(m,n)一定是两互相垂直的直线x-y-1=0,x+y-3=0的交点,易得交点坐标为(2,1),所以m=2,n=1.

又☉H截x轴所得线段的长为2,所以r2=12+n2=2.

所以☉H的方程为(x-2)2+(y-1)2=2.

(2)设N(x0,y0),由题意易知点M是PN的中点,所以M.

因为M,N两点均在☉H上,所以(x0-2)2+(y0-1)2=2①,

+=2,即(x0+a-4)2+(y0-2)2=8②,

设☉I:(x+a-4)2+(y-2)2=8,

由①②知☉H与☉I:(x+a-4)2+(y-2)2=8有公共点,

从而2-≤|HI|≤2+,即≤≤3,整理可得2≤a2-4a+5≤18,

解得2-≤a≤1或3≤a≤2+,所以实数a的取值范围是[2-,1]∪[3,2+].

思路分析　(1)先设出圆H的标准方程,然后结合已知得到圆心坐标,最后由弦长求出半径即可;(2)先设出点N的坐标,依据M是PN的中点,得到点M的坐标,将N、M的坐标代入圆H的方程,进而得两相应圆有公共点,由此确定a的取值范围.