高中数学人教版新课标A选修4-5第三讲 柯西不等式与排序不等式一 二维形式的柯西不等式测试题

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柯西不等式与排序不等式一　二维形式的柯西不等式课后篇巩固探究1.若a2+b2=2,则a+b的最大值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.1 B. C.2 D.4解析由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,即(a+b)2≤4,所以-2≤a+b≤2(当且仅当a=1,b=1或a=-1,b=-1时,等号成立),即a+b的最大值为2.答案C2.已知=2,x,y>0,则x+y的最小值是(　　)A. B. C. D.5解析由=2,可得x+y=≥(2+3)2=.当且仅当,即x=5,y=时等号成立.答案A3.已知3x+2y=1,则当x2+y2取最小值时,实数x,y的值为(　　)A. B.C. D.解析因为x2+y2=(x2+y2)(32+22)≥(3x+2y)2=,所以当x2+y2有最小值,当且仅当时,等号成立,得答案A4.函数y=+2的最大值是(　　)A. B. C.3 D.5解析根据柯西不等式,知y=1×+2×,当且仅当=2,即x=时,等号成立.答案B5.已知m2+n2=,则m+2n的最大值为(　　)A. B. C. D.6解析由柯西不等式可得(m2+n2)[()2+22]≥(m+2n)2,即×6≥(m+2n)2,则m+2n≤,故m+2n的最大值为.答案B6.导学号26394051若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形,则长方形ABCD周长的最大值为(　　)A.2R B.2R C.4R D.4R解析如图,设圆内接长方形ABCD的长为x,则宽为,于是ABCD的周长l=2(x+)=2(1×x+1×).由柯西不等式得l≤2[x2+()2(12+12=2×2R×=4R,当且仅当x·1=·1,即x=R时,等号成立.此时R,即四边形ABCD为正方形,故周长为最大的内接长方形是正方形,其周长为4R.答案D7.若3x+4y=2,则x2+y2的最小值为　　　　　. 解析由柯西不等式(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2,得25(x2+y2)≥4,所以x2+y2≥.解方程组因此,当x=,y=时,x2+y2取得最小值,最小值为.答案8.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=,Q=,则P与Q的大小关系是　　　　. 解析P=≤==Q当且仅当时,等号成立.答案P≤Q9.已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为　　　　　. 解析由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,可得(am+bn)(bm+an)≥()2=mn(a+b)2=2,即(am+bn)(bm+an)的最小值为2.答案210.函数y=的最大值为　　　　　. 解析∵y=,∴y=1×≤当且仅当,即x=时等号成立.答案11.已知a,b∈R+,且a+b=1,则的最小值是　　　　　. 解析因为a,b∈R+,且a+b=1,所以=(a+b)·,由柯西不等式得(a+b),当且仅当,且a+b=1,即a=-1,b=2-时,取最小值.答案12.已知a,b,c为正数,且满足acos2θ+bsin2θ<c,求证cos2θ+sin2θ<.证明由柯西不等式得cos2θ+sin2θ≤=,故不等式成立.13.设a,b∈R+,且a+b=2.求证≥2.证明由柯西不等式,有[(2-a)+(2-b)]=[()2+()2]≥=(a+b)2=4.则=2.故原不等式成立.14.导学号26394052已知x2+y2=2,且|x|≠|y|,求的最小值.解令u=x+y,v=x-y,则x=,y=.∵x2+y2=2,∴(u+v)2+(u-v)2=8,∴u2+v2=4.由柯西不等式,得(u2+v2)≥4,当且仅当u2=v2=2,即x=±,y=0,或x=0,y=±时,的最小值是1.15.导学号26394053求函数y=的最小值.解y=,根据柯西不等式,有y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2≥(x-1)2+2+(3-x)2+5+2[(x-1)(3-x)+]=[(x-1)+(3-x)]2+()2=11+2.当且仅当(x-1)=(3-x),即x=时,等号成立.此时ymin=+1.