数学选修4-5第二讲 讲明不等式的基本方法综合与测试精练

第二讲测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.已知,则下列不等式成立的是(　　)

A.a<b B.

C.  D. <0

.

答案D

2.若a∈R,且p=,q=a2-a+1,则(　　)

A.p≥q B.p>q C.p≤q D.p<q

解析因为a∈R,所以p,q>0,且=(a2-a+1)(a2+a+1)=a4+a2+1≥1,所以q≥p.

答案C

3.(2017江西二模)求证,p=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2,q=(x1-a)2+(x2-a)2+…+(xn-a)2,若a≠,则一定有(　　)

A.p>q B.p<q

C.p,q的大小不定 D.以上都不对

解析设f(x)=(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2,则f(x)=nx2-2(x1+x2+…+xn)x++…+.

当x=时,f(x)取得最小值,即p<q,故选B.

答案B

4.对“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列判断:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b与a<b及a≠c中至少有一个成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立,其中判断正确的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

解析对于①,假设(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,这时a=b=c,与已知矛盾,故(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0,故①正确;对于②,假设a>b与a<b及a≠c都不成立时,有a=b=c,与已知矛盾,故a>b与a<b及a≠c中至少有一个成立,故②正确;对于③,显然不正确.

答案C

5.已知函数f(x)是R上的单调递增函数且为奇函数,数列{an}是等差数列,a3>0,则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值              (　　)

A.恒为正数 B.恒为负数

C.恒为0 D.可正可负

解析因为f(x)是R上的单调递增函数且为奇函数,且a3>0,所以f(a3)>f(0)=0,而a1+a5=2a3,所以a1+a5>0,则a1>-a5,于是f(a1)>f(-a5),即f(a1)>-f(a5),所以f(a1)+f(a5)>0,故f(a1)+f(a3)+f(a5)>0.

答案A

6.要使成立,a,b应满足的条件是(　　)

A.ab<0,且a>b

B.ab>0,且a>b

C.ab<0,且a<b

D.ab>0,且a>b或ab<0,且a<b

解析⇔a-b+3-3<a-b⇔,所以当ab>0时,有,即b<a;

当ab<0时,有,即b>a.

答案D

7.设a,b,c∈R,且a,b,c不全相等,则不等式a3+b3+c3≥3abc成立的一个充要条件是(　　)

A.a,b,c全为正数 B.a,b,c全为非负实数

C.a+b+c≥0 D.a+b+c>0

解析a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2],而a,b,c不全相等⇔(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2>0.故a3+b3+c3-3abc≥0⇔a+b+c≥0.

答案C

8.设a,b,c,d∈R,若a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,则有 (　　)

A.ad=bc B.ad<bc

C.ad>bc D.ad≤bc

解析|a-d|<|b-c|⇒(a-d)2<(b-c)2⇒a2+d2-2ad<b2+c2-2bc,因为a+d=b+c⇒(a+d)2=(b+c)2⇒a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,所以-4ad<-4bc,所以ad>bc.

答案C

9.使不等式>1+成立的正整数a的最大值是 (　　)

A.10 B.11 C.12 D.13

解析用分析法可证当a=12时不等式成立,当a=13时不等式不成立.

答案C

10.已知a,b,c∈(0,+∞),若,则(　　)

A.c<a<b B.b<c<a

C.a<b<c D.c<b<a

解析由可得+1<+1<+1,即,所以a+b>b+c>c+a.由a+b>b+c可得a>c,由b+c>c+a可得b>a,于是有c<a<b.

答案A

11.设m>n,m,n∈N+,a=(lg x)m+(lg x)-m,b=(lg x)n+(lg x)-n,其中x>1,则(　　)

A.a>b B.a≥b

C.a≤b D.a<b

解析a-b=[(lgx)m-(lgx)n]-[(lgx)-n-(lgx)-m]

=[(lgx)m-(lgx)n]-

=(lgmx-lgnx)-

=(lgmx-lgnx).

因为x>1,所以lgx>0.

当lgx=1时,a-b=0,所以a=b;

当lgx>1时,a-b>0,所以a>b;

当0<lgx<1时,a-b>0,所以a>b.

综上,a≥b.

答案B

12.导学号26394041已知x,y>0,且xy-(x+y)=1,则 (　　)

A.x+y≥2(+1) B.xy≤+1

C.x+y≤(+1)2 D.xy≥+1

解析由xy-(x+y)=1可得xy=1+x+y≥1+2,即()2-2-1≥0,所以+1,则xy≥(+1)2,排除B和D;因为xy=x+y+1≤,解得x+y≥2(+1).故选A.

答案A

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.当x>1时,x3与x2-x+1的大小关系是　　　　　. 

解析因为x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),且x>1,

所以(x-1)(x2+1)>0.

因此x3-(x2-x+1)>0,即x3>x2-x+1.

答案x3>x2-x+1

14.设0<m<n<a<b,函数y=f(x)在R上是减函数,下列四个数f,f,f,f的大小顺序是　. 

解析∵<1<,y=f(x)在R上是减函数,

∴f>f>f>f.

答案f>f>f>f

15.若a+b>a+b,则a,b应满足的条件是　　　　　　　　　　　　　. 

解析因为a+b>a+b⇔()2()>0⇔a≥0,b≥0,且a≠b.

答案a≥0,b≥0,且a≠b

16.设a,b为正数,α为锐角,M=,N=()2,则M,N的大小关系是　　　　　. 

解析因为a>0,b>0,α为锐角,

所以N=ab+2+2,M=ab+≥ab+2当且仅当时,等号成立.

又sin2α≤1,所以M≥ab+2+2=N,当且仅当a=b,且α=时,等号成立.

答案M≥N

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(本小题满分10分)设a>b>0,求证.

证明因为a>b>0,所以>0,>0.

又=1+>1,

故.

18.(本小题满分12分)设a,b>0,a≠b,求证>a+b.

证明-(a+b)=

=(a3-b3)

=,

因为a,b>0,a≠b,所以a+b>0,(a-b)2>0,a2+ab+b2>0,a2b2>0,

所以>0.

故>a+b.

19.(本小题满分12分)已知a2+b2=1,x2+y2=1,试用分析法证明ax+by≤1.

证明要证ax+by≤1成立,

只需证1-(ax+by)≥0,

只需证2-2ax-2by≥0.

因为a2+b2=1,x2+y2=1,

只需证a2+b2+x2+y2-2ax-2by≥0,

即证(a-x)2+(b-y)2≥0,显然成立.

所以ax+by≤1.

20.(本小题满分12分)设a,b,c,d是正数,试证明下列三个不等式:

①a+b<c+d;②(a+b)(c+d)<ab+cd;③(a+b)cd<ab(c+d)中至少有一个不正确.

证明假设不等式①②③都正确.

因为a,b,c,d都是正数,所以①②两不等式相乘并整理,得(a+b)2<ab+cd. ④

由③式,得(a+b)cd<ab(c+d)≤·(c+d).

又a+b>0,(a+b)(c+d)<ab+cd,

所以4cd<ab+cd.

所以3cd<ab,即cd<.

由④式,得(a+b)2<,即a2+b2<-ab,与平方和为正数矛盾.

故假设不成立,即不等式①②③中至少有一个不正确.

21.导学号26394042(本小题满分12分)已知正数a,b,c满足a+b+c=6,求证.

证明由已知及三个正数的算术-几何平均不等式可得

≥3

=

=

≥(当且仅当a=b=c=2时,等号成立),

故原不等式成立.

22.导学号26394043(本小题满分12分)设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=nan-3n(n-1)(n∈N+),且a2=11.

(1)求a1的值;

(2)求数列{an}的前n项和Sn;

(3)设数列{bn}满足bn=,求证b1+b2+…+bn<.

(1)解当n=2时,由Sn=nan-3n(n-1),

得a1+a2=2a2-3×2(2-1),

又a2=11,可得a1=5.

(2)解当n≥2时,由an=Sn-Sn-1,得an=nan-3n(n-1)-[(n-1)an-1-3(n-1)(n-2)],

整理,得an-an-1=6(n∈N,n≥2).

又a2-a1=6,所以数列{an}是首项为5,公差为6的等差数列.所以an=5+6(n-1)=6n-1.

故Sn==3n2+2n.

(3)证明bn=

=

=

=),

所以b1+b2+…+bn<[()+()+()+…+()]

=)<.

故b1+b2+…+bn<成立.