高中数学人教版新课标A选修4-5三 排序不等式课后复习题

三　排序不等式

课后篇巩固探究

A组

1.顺序和S、反序和S'、乱序和S″的大小关系是(　　)

A.S≤S'≤S″ B.S≥S'≥S″

C.S≥S″≥S' D.S≤S″≤S'

解析由排序不等式可得反序和≤乱序和≤顺序和.

答案C

2.设x,y,z均为正数,P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则P与Q的大小关系是(　　)

A.P≥Q B.P>Q C.P≤Q D.P<Q

解析不妨设x≥y≥z>0,则x2≥y2≥z2,则由排序不等式可得顺序和为P,乱序和为Q,则P≥Q.

答案A

3.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是(　　)

A.ax+cy+bz B.bx+ay+cz

C.bx+cy+az D.ax+by+cz

解析∵a<b<c,x<y<z,

由排序不等式得反序和≤乱序和≤顺序和,

得顺序和ax+by+cz最大.故选D.

答案D

4.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中最大的是(　　)

A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2

C.a1b2+a2b1 D.

解析∵a1b1+a2b2+a1b2+a2b1=(a1+a2)(b1+b2)=1,a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=(a1-a2)(b1-b2)>0,

∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.

且a1b1+a2b2>>a1b2+a2b1.

又1=a1+a2≥2,∴a1a2≤.

∵0<a1<a2,∴a1a2<.同理b1b2<,

∴a1a2+b1b2<.

∴a1b1+a2b2>>a1a2+b1b2,

∴a1b1+a2b2最大.

答案A

5.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)(　　)

A.大于零 B.大于或等于零

C.小于零 D.小于或等于零

解析设a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,根据排序原理,

得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.

因为ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,

所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.

所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,

即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.

答案B

6.设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排序,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是　　　　　　　　. 

解析a1+2a2+3a3+4a4的最大值为顺序和12+22+32+42=30,最小值为反序和1×4+2×3+3×2+4×1=20.

答案[20,30]

7.如图所示,在矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,若阴影部分的面积为S1,空白部分的面积之和为S2,则S1与S2的大小关系是　　　　　　　　. 

解析由题图可知,S1=a1b1+a2b2,而S2=a1b2+a2b1,根据顺序和≥反序和,得S1≥S2.

答案S1≥S2

8.若a,b,c为正数,求证a3+b3+c3≥3abc.

证明不妨设a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2>0,

由排序不等式,得a3+b3≥a2b+ab2,c3+b3≥c2b+cb2,a3+c3≥a2c+ac2,

三式相加,得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2).

因为a2+b2≥2ab,c2+b2≥2cb,a2+c2≥2ac,

所以2(a3+b3+c3)≥6abc,

即a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立).

9.设a,b均为正数,求证.

证明不妨设a≥b>0,则a2≥b2>0,>0,

由不等式性质,得>0.

则由排序不等式,可得,即.

10.设a,b,c都是正数,求证a+b+c≤.

证明由题意不妨设a≥b≥c>0.

由不等式的性质,知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.

根据排序原理,得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b. ①

又由不等式的性质,知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c.

再根据排序原理,得a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4. ②

由①②及不等式的传递性,得a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4.

两边同除以abc,得a+b+c≤(当且仅当a=b=c时,等号成立).

B组

1.设a,b,c>0,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是(　　)

A.M≥0

B.M≤0

C.M与0的大小关系与a,b,c的大小有关

D.不能确定

解析不妨设a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,且a4≥b4≥c4,则a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4≥a·c4+b·a4+c·b4.

又a3≥b3≥c3,且ab≥ac≥bc,

∴a4b+b4c+c4a=a3·ab+b3·bc+c3·ca

≥a3bc+b3ac+c3ab.

∴a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.∴M≥0.

答案A

2.若0<α<β<γ<,F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ),则(　　)

A.F>0 B.F≥0

C.F≤0 D.F<0

解析因为0<α<β<γ<,

所以0<sinα<sinβ<sinγ,0<cosγ<cosβ<cosα,

由排序不等式可知,

sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα>sinαcosα+sinβcosβ+sinγcosγ,

而F=sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα-(sin2α+sin2β+sin2γ)

=sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα-(sinαcosα+sinβcosβ+sinγcosγ)>0.

答案A

3.导学号26394057车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min、8 min、6 min、10 min、5 min,每台机床停产1 min损失5元,经合理安排损失最少为(　　)

A.420元 B.400元 

C.450元 D.570元

解析设从第1台到第5台的修复时间依次为t1,t2,t3,t4,t5,若按照从第1台到第5台的顺序修复,则修复第一台需要t1分钟,则停产总时间为5t1,修复第2台需要t2分钟,则停产总时间为4t2,…,修复第5台需要t5分钟,则停产总时间为t5,因此修复5台机床一共需要停产的时间为5t1+4t2+3t3+2t4+t5,要使损失最小,应使停产时间最少,亦即使5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值.由排序不等式可知,当t1<t2<t3<t4<t5时,5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值,最小值为5×4+4×5+3×6+2×8+10=84分钟,故损失最小为84×5=420元.

答案A

4.导学号26394058在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边依次为a,b,c,试比较的大小关系.

解不妨设a≥b≥c,则有A≥B≥C.

由排序不等式,可得aA+bB+cC≥aA+bC+cB,

aA+bB+cC≥aB+bA+cC,

aA+bB+cC≥aC+bB+cA.

将以上三个式子两边分别相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c)π.

所以.

5.导学号26394059设x>0,求证1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.

证明当x≥1时,因为1≤x≤x2≤…≤xn,

所以由排序原理得1·1+x·x+x2·x2+…+xn·xn≥1·xn+x·xn-1+…+·x+xn·1,

即1+x2+x4+…+≥(n+1)xn. ①

又x,x2,…,xn,1为序列1,x,x2,…,xn的一个排列,

所以1·x+x·x2+…+xn-1xn+xn·1≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1,

因此x+x3+…++xn≥(n+1)xn, ②

①+②,得1+x+x2+…+≥(2n+1)xn. ③

当0<x<1时,1>x≥x2≥…≥xn,①②仍成立,

故③也成立.综上,原不等式成立.