数学选修4-5第二讲 讲明不等式的基本方法三 反证法与放缩法课后作业题

三　反证法与放缩法

课后篇巩固探究

1.设实数a,b,c满足a+b+c=,则a,b,c中(　　)

A.至多有一个不大于

B.至少有一个不小于

C.至多有两个不小于

D.至少有两个不小于

解析假设a,b,c都小于,即a<,b<,c<,则a+b+c<,这与a+b+c=矛盾,因此假设错误,即a,b,c中至少有一个不小于.

答案B

2.已知三角形的三边长分别为a,b,c,设M=,N=,Q=,则M,N与Q的大小关系是(　　)

A.M<N<Q

B.M<Q<N

C.Q<N<M

D.N<Q<M

解析由题意知a+b>c>0,

则.

∴+1<+1,

即.

∴,

故N<Q.

M-Q==0,

∴M>Q,故M>Q>N.

答案D

3.导学号26394038设M=+…+,则(　　)

A.M=1

B.M<1

C.M>1

D.M与1大小关系不确定

解析分母全换成210,共有210个单项.

答案B

4.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证|f(x1)-f(x2)|<.那么它的假设应该是　　　　　. 

答案|f(x1)-f(x2)|≥

5.设a,b,c均为正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的　　　　　条件. 

解析必要性是显然成立的;当PQR>0时,若P,Q,R不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=2c<0,这与c>0矛盾,即充分性也成立.

答案充要

6.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是　　　　　.(填序号) 

解析①可取a=0.5,b=0.6,故不正确;②a+b=2,可取a=1,b=1,故不正确;③a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,正确;④a2+b2>2,可取a=-2,b=-1,故不正确;⑤ab>1,可取a=-2,b=-1,故不正确.

答案③

7.设f(x)=x2-x+13,a,b∈[0,1],求证|f(a)-f(b)|≤|a-b|.

证明|f(a)-f(b)|=|a2-a-b2+b|

=|(a-b)(a+b-1)|

=|a-b||a+b-1|,

因为0≤a≤1,0≤b≤1,

所以0≤a+b≤2.

所以-1≤a+b-1≤1,

所以|a+b-1|≤1.

故|f(a)-f(b)|≤|a-b|.

8.已知x>0,y>0,且x+y>2,试证:中至少有一个小于2.

证明假设都不小于2,即

≥2,且≥2.

因为x>0,y>0,

所以1+x≥2y,且1+y≥2x.

把这两个不等式相加,得2+x+y≥2(x+y),

从而x+y≤2,这与已知条件x+y>2矛盾.

因此,都不小于2是不可能的,即原命题成立.

9.导学号26394039已知Sn=+…+,求证:对于正整数m,n,当m>n时,|Sm-Sn|<.

证明记ak=(k∈N+),则|ak|≤.

于是,当m>n时,|Sm-Sn|

=|+…+am|

≤||+||+…+|am|

≤+…+

=

=.

10.导学号26394040若数列{xn}的通项公式为xn=,求证x1·x3·x5·…·x2n-1<.

证明因为,

又

==1,

所以,

所以x1·x3·x5·…·x2n-1

=×…×

<,

故x1·x3·x5·…·x2n-1<.