2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第7讲抛物线学案含解析北师大版

第7讲　抛物线
基础知识整合

1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离).
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下

抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.

1．抛物线y＝2x2的准线方程为(　　)
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝－ D．y＝－1
答案　A
解析　由y＝2x2，得x2＝y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－，故选A．
2．(2019·黑龙江联考)若抛物线x2＝4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n＝(　　)
A． B．
C．3 D．4
答案　D
解析　抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1.根据抛物线的定义可知5＝n＋1，解得n＝4.故选D．
3．过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x或x2＝y
B．y2＝x或x2＝y
C．y2＝x或x2＝－y
D．y2＝－x或x2＝－y
答案　A
解析　设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y，选A．
4．已知抛物线C：y＝的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0＝(　　)
A．2 B．±2
C．4 D．±4
答案　D
解析　由y＝，得x2＝8y，∴抛物线C的准线方程为y＝－2，焦点为F(0,2)．由抛物线的性质及题意，得|AF|＝2y0＝y0＋2.解得y0＝2，∴x0＝±4.故选D．
5．(2019·广东中山统测)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝(　　)
A．6 B．8
C．9 D．10
答案　B
解析　由题意知，抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.∵过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，∴|AB|＝x1＋x2＋2.又x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8.故选B．
6．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
答案　C
解析　利用|PF|＝xP＋＝4，可得xP＝3，
∴yP＝±2.∴S△POF＝|OF|·|yP|＝2.
故选C．
核心考向突破
精准设计考向，多角度探究突破
考向一　抛物线的定义
角度1　到焦点与到定点距离之和最小问题
例1　(2019·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为(　　)
A．(0,0) B．
C．(1，) D．(2,2)
答案　D
解析　过M点作准线的垂线，垂足为N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．
角度2　到点与准线的距离之和最小问题
例2　(2020·邢台模拟)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
答案　5
解析　依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.
角度3　到定直线的距离最小问题
例3　已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)
A． B．2
C． D．3
答案　B
解析　由题意可知l2：x＝－1 是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，如图所示，所以最小值是＝2.


与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
[即时训练]　1.(2019·潍坊质检)在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是(　　)
A．(－2,1) B．(1,2)
C．(2,1) D．(－1,2)
答案　B
解析　如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义，知|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，即当且仅当A，P，N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同，即为1，则可排除A，C，D，故选B．

2．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是(　　)
A． B．
C．2 D．－1
答案　D
解析　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
考向二　抛物线的方程
例4　(1)若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是(　　)
A．x＝－4 B．x＝4
C．y2＝8x D．y2＝16x
答案　D
解析　∵点M到F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，得点M的轨迹方程为y2＝16x.
(2)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________.
答案　x2＝4y
解析　因为△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线的方程为x2＝4y.

抛物线标准方程的求法
求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法．对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定，也就是说，不必设为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，这样能减少计算量；同理，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)．

[即时训练]　3.(2019·衡水中学调研卷)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝4x B．y2＝36x
C．y2＝4x或y2＝36x D．y2＝8x或y2＝32x
答案　C
解析　因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以设该点为P(x0，±6)．因为P到抛物线的焦点F的距离为10，所以由抛物线的定义得x0＋＝10　①.因为P在抛物线上，所以36＝2px0　②.由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，则抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x.
4．(2019·运城模拟)已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为(　　)
A．x2＝y B．x2＝6y
C．x2＝－3y D．x2＝3y
答案　D
解析　设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，因此所求的抛物线方程是x2＝3y.
考向三　抛物线的性质
例5　(1)过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)
A．有且只有一条 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有且只有四条
答案　B
解析　若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y＝k，代入抛物线y2＝2x，得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，因为A，B两点的横坐标之和为2.所以k＝±.所以这样的直线有两条．
(2)(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．
答案　(1,0)
解析　如图，由题意可得，点P(1,2)在抛物线上，将P(1,2)代入y2＝4ax，解得a＝1，∴y2＝4x，由抛物线方程可得，2p＝4，p＝2，＝1，∴焦点坐标为(1,0)．


(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化．
(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．

[即时训练]　5.(2019·长沙模拟)A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是(　　)
A．x＝－1 B．y＝－1
C．x＝－2 D．y＝－2
答案　A
解析　过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D．因为∠OFA＝120°，所以△ABF为等边三角形，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1，故选A．
6．在平面直角坐标系xOy中有一定点A(4,2)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．
答案　x＝－
解析　OA的中点的坐标为(2,1)，斜率kOA＝，OA的垂直平分线的方程为y－1＝－2(x－2)，即y＝－2x＋5.又抛物线y2＝2px(p>0)的焦点在x轴上，即y＝0.由得抛物线的焦点F的坐标为，∴＝，∴抛物线的准线方程为x＝－.
考向四　直线与抛物线的位置关系
例6　(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．
解　(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.
由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB过定点.
(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.
由可得x2－2tx－1＝0.
于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.
设M为线段AB的中点，则M.
由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.
当t＝0时，||＝2，
所求圆的方程为x2＋2＝4；
当t＝±1时，||＝，
所求圆的方程为x2＋2＝2.
综上，圆的方程为x2＋2＝4或x2＋2＝2.

求解抛物线综合问题的方法
(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．

[即时训练]　7.(2020·福建泉州第一次质量检测)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A，B在C上，F为线段AB的中点，|AB|＝4.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C交于M，N两点．若C上仅存在三个点Ki(i＝1,2,3)，使得△MNKi的面积等于16，求l的方程．
解　解法一：(1)由抛物线的对称性，可知AB∥x轴，且A，B的坐标分别为，，所以4＝2p·，解得p＝2，故C的方程为x2＝4y.
(2)如图，作与l平行且与C相切的直线l′，切点为K.由题意，可知△MNK的面积等于16.

设l的方程为y＝kx＋1，方程x2＝4y可化为y＝x2，则y′＝x，令y′＝k，解得x＝2k，将x＝2k代入x2＝4y，得y＝k2，故K(2k，k2)，所以K到l的距离d＝＝，由消去y，得x2－4kx－4＝0，从而x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以|MN|＝ ＝4(k2＋1)，
故△MNK的面积为|MN|·d＝2(k2＋1)，从而2(k2＋1)＝16，解得k＝或k＝－.
所以l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.
解法二：(1)设A(x0，y0)，B(x0′，y0′)，则x＝2py0，x0′2＝2py0′，因为F为AB的中点，所以x0＋x0′＝0，y0＋y0′＝p，
故y0＝y0′＝，从而|AB|＝2|x0|，故|x0|＝2，
所以4＝2p·，解得p＝2，故C的方程为x2＝4y.
(2)直线l斜率显然存在，设直线l的方程为y＝kx＋1.由消去y，得x2－4kx－4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以|MN|＝ ＝4(k2＋1)，
因为点K在C上，设K，则点K到直线l的距离d＝，△MNK的面积等于16，所以关于m的方程×4(k2＋1)×＝2＝16恰有三个不同实根，即＝恰有三个不同实根，所以m＝2k，＝k2＋1＝，
解得k＝或k＝－.
所以l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.


1．(2019·长沙模拟)已知点A(0,2)，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若＝，则p的值等于________.
答案　2

解析　依题意，得点F的坐标为，设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义，知|MF|＝|MK|，由＝，则|KN|∶|KM|＝2∶1，即kFN＝＝－，得－＝－2，解得p＝2.
2．(2019·山东临沂三模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线m与C交于A，B两点，AF⊥BF，线段AB的中点为M，过点M作抛物线C准线的垂线，垂足为N，则的最小值为________．
答案　
解析　如图所示，设抛物线的准线为l，作AQ⊥l于点Q，BP⊥l于点P，由抛物线的定义可设|AF|＝|AQ|＝a，|BF|＝|BP|＝b，由勾股定理可知|AB|＝＝，

由梯形中位线的性质可得|MN|＝，则＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，即的最小值为.
答题启示
圆锥曲线中存在线段比值问题，应采用化归转化思想方法转化为向量关系，或有关点的坐标关系，有时还利用相似比或三角函数求解．
对点训练
1．(2019·安徽宣城第二次调研)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AF|>|BF|，则＝________.
答案　3
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，∵直线l的倾斜角为60°，∴直线l的方程为y－0＝，设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，联立方程组，消去y并整理，得12x2－20px＋3p2＝0，解得x1＝，x2＝，∴|AF|＝x1＋＝2p，|BF|＝x2＋＝，∴|AF|∶|BF|＝3∶1，∴的值为3.
2．(2019·湖北八校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过F作斜率大于0的直线与抛物线C交于M，N两点(M在x轴上方)，且与直线l交于点Q.若＝，|MF|＝16，则p的值为________．
答案　4
解析　过M，N分别作l的垂线，垂足分别为M1，N1，过F作MM1的垂线，垂足为P.

∵＝，∴＝，∴＝，
∴|MP|＝|MF|，
∴|MF|＝|MM1|＝|MP|＋p＝|MF|＋p，
∴p＝4.