2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第8讲直线与圆锥曲线的位置关系学案含解析北师大版

第8讲　直线与圆锥曲线的位置关系
基础知识整合

1．直线与圆锥曲线的位置关系
要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，可把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或消去x)得到关于x(或关于y)的一元二次方程．如联立后得到以下方程：
Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)，Δ＝B2－4AC．
若Δ0，则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点．
2．弦长公式
直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程．当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交，设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则直线被圆锥曲线截得的弦长
|AB|＝
＝ |x1－x2|
＝ ·.
再利用根与系数的关系得出x1＋x2，x1x2的值，代入上式计算即可．
3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题
中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．
(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．
(2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．

解决直线与圆锥曲线关系问题的一般方法
(1)解决焦点弦(过圆锥曲线焦点的弦)的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义．
(2)已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．
(3)圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解．
(4)圆锥曲线以P(x0，y0)(y≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表：
圆锥曲线方程
直线斜率
椭圆：＋＝1(a>b>0)
k＝－
双曲线：－＝1(a>0，b>0)
k＝
抛物线：y2＝2px(p>0)
k＝

1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
答案　A
解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
2．若过原点的直线l与双曲线－＝1有两个不同交点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．∪
答案　B
解析　因为－＝1，其两条渐近线的斜率分别为k1＝－，k2＝，要使过原点的直线l与双曲线有两个不同的交点，画图可知，直线l的斜率的取值范围应是∪.
3．已知椭圆x2＋2y2 ＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为(　　)
A．3 B．2
C． D．
答案　C
解析　设以(1,1)为中点的弦的两端点为(x1，y1)(x2，y2)，则∴(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＝－，∴弦所在直线方程为x＋2y－3＝0.由可得弦长为.
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝－1 D．x＝－2
答案　C
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为，所以过焦点且斜率为－1的直线方程为y＝－，代入抛物线方程，整理得x2－3px＋＝0，由AB中点的横坐标为3，得3p＝6，解得p＝2，故抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1.
5．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
答案　D
解析　根据题意，过点(－2,0)且斜率为的直线方程为y＝(x＋2)，与抛物线方程联立消去x并整理，得y2－6y＋8＝0，解得M(1,2)，N(4,4)，又F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，从而可以求得·＝0×3＋2×4＝8，故选D．
6．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
答案　
解析　设P(x，y)(x≥1)，因为直线x－y＋1＝0平行于渐近线x－y＝0，所以c的最大值为直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0之间距离，为＝.
核心考向突破
考向一　直线与圆锥曲线的位置关系
例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.　③
方程③根的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－30，
化简，得m2