（山东专用）2021版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第十讲函数模型及其应用学案（含解析）
展开第十讲 函数模型及其应用
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测
知识点 函数模型及其应用
1．几类常见的函数模型
函数模型 | 函数解析式 |
一次函数模型 | f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) |
反比例函数模型 | f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) |
二次函数模型 | f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) |
指数函数模型 | f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) |
对数函数模型 | f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) |
幂函数模型 | f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) |
2.三种函数模型的性质
函数 性质 | y＝ax(a>1) | y＝logax(a>1) | y＝xn(n>0) |
在(0，＋∞)上的增减性 | 单调递增 | 单调递增 | 单调递增 |
增长速度 | 越来越快 | 越来越慢 | 相对平稳 |
图象的变化 | 随x的增大逐渐表现为 与y轴平行 | 随x的增大逐渐表现为 与x轴平行 | 随n值变化而各有不同 |
值的比较 | 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax | ||
3.解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
1．函数f(x)＝＋(a>0，b>0，x>0)在区间(0，]内单调递减，在区间[，＋∞)内单调递增．
2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸
题组一 走出误区
1．(多选题)下列结论不正确的是( ABCD )
A．函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大
B．“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻
C．幂函数增长比直线增长更快
D．不存在x0，使ax0<x<logax0
[解析] A．当x＝－1时，2－1<(－1)2.B．“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a·bx＋c.C．幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．D．当a∈(0,1)时存在x0，使ax0<x<logax0.故选A、B、C、D．
题组二 走进教材
2．(必修1P107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )
A．收入最高值与收入最低值的比是31
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
3．(必修1P104例5改编)某种动物繁殖量y只与时间x年的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )
A．200只 B．300只
C．400只 D．500只
[解析] ∵繁殖数量y只与时间x年的关系为y＝alog3(x＋1)，这种动物第2年有100只，
∴100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，
∴当x＝8时，y＝100log3(8＋1)＝100×2＝200.故选A．
4．(必修1P107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．
[解析] 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，
当x＝18时，L(x)有最大值．
题组三 考题再现
5．(2015·北京，5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间 | 加油量/升 | 加油时的累计里程/千米 |
2015年5月1日 | 12 | 35 000 |
2015年5月15日 | 48 | 35 600 |
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( B )
A．6升 B．8升
C．10升 D．12升
[解析] 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 600－35 000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B．
6．(2015·四川，5分)某食品的保鲜时间y(单位：时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．
[解析] 由题意得即所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y＝e33k＋6＝(e11k)3·eb＝()3×192＝24(时)．
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点 函数模型及应用
考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透
例1 (1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( A )
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是( ABC )
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
(3)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为( B )
[解析] (1)通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B正确．从图观察C是正确的，D也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A．
(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D错误．故选A、B、C．
(3)由题意知，f(x)＝|cosx|·sinx，当x∈[0，]时，f(x)＝cosx·sinx＝sin2x；当x∈(，π]时，f(x)＝－cosx·sinx＝－sin2x，故选B．
名师点拨 ☞
1．用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．
2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
考向2 已知函数模型解决实际问题——师生共研
例2 (2020·北京十一中月考)已知14C的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C的残余量占原始量的一半)．设14C的原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系为b＝ae－kx，其中x表示经过的时间，k为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年．(参考数据：log20.767≈－0.4)．
[解析] 由题意可知，当x＝5 730时，ae－5 730k＝a，解得k＝.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.
所以76.7%＝e－x，得ln 0.767＝－x，
x＝－5 730×＝－5 730×log2 0.767≈2 292.
〔变式训练1〕
(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元，若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b(其中x为销售额，y为相应的奖金)．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1_024万元．
[解析] 依题意得即解得
所以y＝2log4x－2，当y＝8时，有2log4x－2＝8，解得x＝1 024.
考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究
角度1 一次函数、二次函数分段函数模型
例3 季节性商品的销售当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某商品开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该商品不再销售．
(1)试建立价格p与周次t之间的函数关系式；
(2)若此商品每周进货一次，每件进价Q与周次之间的关系式为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N，试问该商品第几周每件销售利润最大？最大值是多少？
[解析] (1)p＝
(2)设第t周时每件销售利润为L(t)，
则L(t)＝
＝
当t∈[0,5]，t∈N时，L(t)max＝L(5)＝9.125；
当t∈(5,10]，t∈N时，L(t)max＝L(6)＝L(10)＝8.5；
当t∈(10,16]，t∈N时，L(t)单调递减，
L(t)max＝L(11)＝7.125.
由9.125>8.5>7.125，知L(t)max＝9.125.
从而第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元．
名师点拨 ☞
(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．
(3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值．
角度2 指数函数与对数函数模型
例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
[分析]
(1)→
(2)→
[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，则a＋blog3＝0，即a＋b＝0；
当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，
则a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组得
(2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3.
所以要使飞行速度不低于2 m/s，则v≥2，
所以－1＋log3≥2，即log3≥3，解得≥27，即Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位．
名师点拨 ☞
指数函数与对数函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2020·四川绵阳诊断性测试)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为( C )
A．13立方米 B．14立方米
C．15立方米 D．16立方米
(2)(角度2)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图所示，据图中提供的信息，回答下列问题：
①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y＝；
②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
[解析] (1)设该职工某月的实际用水为x立方米时，水费为y元，由题意得y＝即y＝易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x－20＝55，解得x＝15，故选C．
(2)①设y＝kt，由图象知y＝kt过点(0.1,1)，则1＝k×0.1，k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1)．
由y＝()t－a过点(0.1,1)，得1＝()0.1－a，解得a＝0.1，∴y＝()t－0.1(t>0.1)．
②由()t－0.1≤0.25＝，得t≥0.6.
故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
函数y＝x＋(a>0)模型及应用
例5 (2019·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元，依题意得：
当0<x<8时，L(x)＝5x－(x2＋x)－3＝－x2＋4x－3.
当x≥8时，L(x)＝5x－(6x＋－38)－3＝35－(x＋)．
所以L(x)＝
(2)当0<x<8时，L(x)＝－(x－6)2＋9，
此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．
当x≥8时，L(x)＝35－(x＋)≤35－2＝35－20＝15(万元)．
此时，当且仅当x＝，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．
因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
名师点拨 ☞
(1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．
(2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
〔变式训练3〕
某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为40_m,20_m时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m2.
[解析] 设矩形温室的左侧边长为x m，则后侧边长为 m，所以蔬菜种植面积y＝(x－4)(－2)＝808－2(x＋)(4<x<400)．
因为x＋≥2＝80，所以y≤808－2×80＝648.
当且仅当x＝，即x＝40时取等号，此时＝20，ymax＝648.
即当矩形温室的相邻边长分别为40 m,20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m2.
