（山东专用）2021版高考数学一轮复习第七章立体几何第四讲直线、平面平行的判定与性质学案（含解析）

第四讲　直线、平面平行的判定与性质

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　直线与平面平行的判定与性质

判定
性质
定义
定理
图形




条件
a∩α＝∅
a⊂α，b⊄α，
__a∥b__
__a∥α__
a∥α，a⊂β，
__α∩β＝b__
结论
a∥α
b∥α
a∩α＝∅
__a∥b__

知识点二　面面平行的判定与性质

判定
性质
定义
定理
图形




条件
__α∩β＝∅__
__a⊂β，b⊂β，__
__a∩b＝P，__
__a∥α，b∥α__
__α∥β，__
__α∩γ＝a，__
__β∩γ＝b__
α∥β，a⊂β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α


1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，则α∥β”．　
2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a⊥α，b⊥α，则a∥b”．　
3．平行于同一个平面的两个平面平行，即“若α∥β，β∥γ，则α∥γ”．　

题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论正确的是(　BD　)
A．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行
B．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面
C．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α
D．若α∥β，直线a⊂α，则a∥β
题组二　走进教材
2．(必修2P58练习T3)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　D　)
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
[解析]　对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到—个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D．
题组三　考题再现
3．(2019·课标全国Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　B　)
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
4．(2019·湖南长沙模拟)设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，给出下列命题：
①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；
③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b．
其中真命题的个数是(　A　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　只有①正确，故选A．
5．(2019·福建师大附中期中)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是(　D　)
A．若l∥α，m∥α，则l⊥m B．若l∥α，m⊥l，则m⊥α
C．若l⊥α，m⊥l，则m∥α D．若l⊥α，m⊥α，则l∥m
[解析]　若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交或l与m异面；若l∥α，m⊥l，则m∥α或m与α相交；若l⊥α，m⊥l，则m∥α或m⊂α，∴A、B、C都错，选D．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　空间平行关系的基本问题——自主练透
例1　(1)(多选题)(2020·河南名校联盟质检改编)设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出下列四个命题中，其中正确的是(　CD　)
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a∥α，a∥β，则α∥β
C．若a⊥α，b⊥α，则a∥b
D．若a⊥α，a⊥β，则α∥β
(2)(2020·辽宁省沈阳市质监)下列三个命题在“(　　)”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l，m为直线，α，β为平面)，则此条件是__l⊄α__．
①⇒l∥α；②⇒l∥α；③⇒l∥α．
[解析]　(1)对于A，若a∥α，b∥α， 则直线a和直线b可以相交也可以异面，故A错误；对于B，若a∥α，a∥β，则平面a和平面β可以相交，故B错误；对于C，若a⊥α，b⊥α，则根据线面垂直性质定理，a∥b，故C正确；对于D，若a⊥α，a⊥β，则α∥β成立；故选CD．
(2)①l∥m，m∥α⇒l∥α或l⊂α，由l⊄α⇒l∥α；②l⊄α，m⊂α，l∥m⇒l∥α；③l⊥m，m⊥α⇒l∥α或l⊂α，由l⊄α⇒l∥α.故答案为l⊄α．
〔变式训练1〕
(多选题)(2020·吉林省吉林市调研改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为所在棱的中点，则下列各直线、平面中，与平面ACD1平行的是(　ABD　)

A．直线EF B．直线GH
C．平面EHF D．平面A1BC1
[解析]　首先直线EF、GH、A1B都不在平面ACD1内，由中点及正方体的性质知EF∥AC，GH∥A1C1∥AC，A1B∥D1C，∴直线EF，GH，A1B都与平面ACD1平行，又A1C1∥AC，由面面平行判定易知平面A1BC1∥平面ACD1，由EH∥AB1，AB1∩平面ACD1＝A，∴EH与平面ACD1相交，从而平面EHF与平面ACD1相交，∴C错，故选A、B、D．
考点二　直线与平面平行的判定与性质——多维探究
角度1　线面平行的判定
例2　(2019·辽宁抚顺模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，∠BAD＝60°，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．

(1)证明：BE∥平面PAD；
(2)求三棱锥E－PBD的体积．
[解析]　(1)证法一：如图，取PD的中点F，连接EF，FA．

由题意知EF为△PDC的中位线，
∴EF∥CD，且EF＝CD＝2．
又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綊EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF．
又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD．
证法二：延长DA、CB相交于H，连PH，

∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
∴＝＝，
即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，
又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD，
证法三：取CD的中点H，连BH，HE，

∵E为PC中点，∴EH∥PD，
又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB綊DH，∴BH∥AD，
又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，
∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，
∴平面BHE∥平面PAD，∴BE∥平面PAD．
(2)∵E为PC的中点，
∴V三棱锥E－PBD＝V三棱锥E－BCD＝·V三棱锥P－BCD．
又∵AD＝AB，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝2．
又∵CD＝4，∠BDC＝∠BAD＝60°，
∴BD⊥BC．∴BC＝＝2．
∵PD⊥平面ABCD，
∴三棱锥P－BCD的体积V三棱锥P－BCD＝PD·S△BCD＝×2××2×2＝，
∴三棱锥E－PBD的体积V三棱锥E－PBD＝．
名师点拨 ☞
判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
注：线面平行的关键是线线平行，证明中常构造三角形中位线或平行四边形．
角度2　线面平行的性质
例3　如图，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∠BAD＝60°，AB＝2，DE＝EF＝1．

(1)求证：BC∥EF；
(2)求三棱锥B－DEF的体积．
[解析]　(1)证明：∵AD∥BC，AD⊂平面ADEF，
BC⊄平面ADEF，∴BC∥平面ADEF．
又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∴BC∥EF．
(2)过点B作BH⊥AD于点H，

∵DE⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴DE⊥BH．
∵AD⊂平面ADEF，
DE⊂平面ADEF，AD∩DE＝D，
∴BH⊥平面ADEF．
∴BH是三棱锥B－DEF的高．
在Rt△ABH中，∠BAD＝60°，AB＝2，故BH＝．
∵DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴DE⊥AD．
由(1)知BC∥EF，且AD∥BC，
∴AD∥EF，∴DE⊥EF．
∴三棱锥B－DEF的体积V＝×S△DEF×BH＝××1×1×＝．
名师点拨 ☞
空间中证明两条直线平行的常用方法
(1)利用线面平行的性质定理，即a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b．
(2)利用平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行．
(3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行．
〔变式训练2〕
(1)(角度2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH．

求证：PA∥GH．
(2)(角度1)(2019·贵州黔东南州二模)在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别为BC，AP的中点．
①求证：EF∥平面PCD；
②若AD＝AP＝PB＝AB＝1.求三棱锥P－DEF的体积．

[解析]　(1)证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，∴PA∥MO．
又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
∴PA∥平面BMD．
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA⊂平面PAHG，
∴PA∥GH．

(2)①证明：如图，取PD中点G，连接GF，GC．
在△PAD中，G，F分别为PD，AP的中点，
∴GF綊AD．
在矩形ABCD中，E为BC的中点，
∴CE綊AD，∴GF綊EC，
∴四边形EFGC是平行四边形，∴GC∥EF．
∵GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，
∴EF∥平面PCD．
②∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥AB，AD∥BC．
又AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
∴BC∥平面PAD．
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD⊂平面ABCD，
∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥BP，平面PAD⊥平面PAB．
AD＝AP＝PB＝AB＝1，
∵AB＝，∴AP2＋PB2＝AB2，
∴AP⊥BP.∵AD∩AP＝A，
∴BP⊥平面PAD．∵BC∥平面PAD，
∴点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离．
∵S△PDF＝PF·AD＝××1＝，
∴V三棱锥P－DEF＝V三棱锥E－PDF＝S△PDF·BP＝××1＝，
∴ 三棱锥P－DEF的体积为．
考点三　空间两个平面平行的判定与性质
——师生共研
例4　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG．
[证明]　(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，
所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．
(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，
所以EF∥BC，
因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG．
又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，
所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB．
因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG．
又因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG．
[引申1]在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA．
[证明]　

如图所示，连接HD，A1B，
因为D为BC1的中点，
H为A1C1的中点，
所以HD∥A1B，
又HD⊄平面A1B1BA，
A1B⊂平面A1B1BA，
所以HD∥平面A1B1BA．
[引申2]在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D．
[证明]　如图所示，连接A1C交AC1于点M，

因为四边形A1ACC1是平行四边形，
所以M是A1C的中点，连接MD，
因为D为BC的中点，所以A1B∥DM．
因为A1B⊂平面A1BD1，
DM⊄平面A1BD1，
所以DM∥平面A1BD1．
又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，
所以四边形BDC1D1为平行四边形，
所以DC1∥BD1．
又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，
所以DC1∥平面A1BD1，
又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，
所以平面A1BD1∥平面AC1D．
名师点拨 ☞
证明面面平行的方法有
(1)面面平行的定义．
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．

〔变式训练3〕
(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．

(1)求证：平面CMN∥平面PAB；
(2)求三棱锥P－ABM的体积．
[解析]　(1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，
∴MN∥PA，又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴MN∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，
∴∠ACN＝60°．
又∠BAC＝60°，∴CN∥AB．
∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴CN∥平面PAB．
又CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CMN，
∴平面CMN∥平面PAB．
(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，
∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．
∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝，
∴三棱锥P－ABM的体积V＝VM－PAB＝VC－PAB＝VP－ABC＝××1××2＝．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
平行中的探索性问题求解策略
例5　(2019·湖南雅礼中学联考)如图，在等腰梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB＝，BC＝1，AD＝3，BP⊥AD，垂足为P，将△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，连接AD，AC，M为棱AD的中点，连接CM．
(1)试分别在PB，CD上确定点E，F，使平面MEF∥平面ABC；
(2)求三棱锥A－PCM的体积．

[解析]　(1)E，F分别为BP，CD的中点时，可使平面MEF∥平面ABC，证明如下：

取BP的中点E，CD的中点F，连接ME，MF，EF．
∵M，F分别为AD，CD的中点，∴MF∥AC．
又E为BP的中点，且四边形PBCD为梯形，∴EF∥BC．
∵MF∩EF＝F，AC∩BC＝C，
∴平面MEF∥平面ABC．
(2)∵平面ABP⊥平面PBCD，平面ABP∩平面PBCD＝BP，AP⊥BP，∴AP⊥平面PBCD，
取PD的中点E′，连接AE′，ME′，E′C．
易知ME′∥AP，PE′＝1，CE′＝1，AP＝1．
∴VM－APC＝VE′－PAC，
又VA－PCM＝VM－APC，且VA－PCE′＝VE′－APC，
∴VA－PCM＝VA－PCE′＝S△PCE′·AP＝×PE′·E′C·AP＝，
∴三棱锥A－PCM的体积为．
名师点拨 ☞
平行中的探索性问题
(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：
①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；
②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；
③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．
(2)对命题结论的探索常采用以下方法：
首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．
〔变式训练4〕
在三棱柱ABC－A1B1C1的棱BC上是否存在一点H，使A1B∥平面AC1H？并证明．
[解析]　BC上存在点H(即BC的中点)使A1B∥平面AC1H．

证明如下：连A1C交AC1于O，
则O为A1C的中点
连HO，又H为BC的中点，
∴HO∥A1B，
又OH⊂平面AHC1，A1B⊄平面AHC1，
∴A1B∥平面AC1H．