（山东专用）2021版高考数学一轮复习第七章立体几何第六讲空间向量及其运算学案（含解析）

第六讲　空间向量及其运算

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识点一　空间向量的有关概念

1．空间向量的有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量，其大小叫做向量的__长度__或__模__．

(2)相等向量：方向__相同__且模__相等__的向量．

(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线__平行__或__重合__，则这些向量叫做__共线向量__或__平行向量__．

(4)共面向量：平行于同一__平面__的向量叫做共面向量．

2．空间向量中的有关定理

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一确定的λ∈R，使a＝λb．

(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．空间向量的数量积及运算律

(1)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作　a，b　，其范围是　0≤a，b≤π　，若a，b＝，则称a与b__互相垂直__，记作a⊥b．

向量a，b的数量积a·b＝　|a||b|cos〈a，b〉　．

(2)空间向量数量积的运算律

结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

交换律：a·b＝b·a；

分配律：a·(b＋c)＝　a·b＋a·c　．

知识点二　空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

1．向量三点共线定理

在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．

2．向量四点共面定理

在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．

题组一　走出误区

1．(多选题)下列结论中正确的是(　AC　)

A．空间中任意两个非零向量a，b共面

B．对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c

C．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0

D．若a·b<0，则a，b是钝角

题组二　走进教材

2．(必修2P97A组T2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　A　)

A．－a＋b＋c  B．a＋b＋c

C．－a－b＋c  D．a－b＋c

[解析]　＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c．

3．(必修2P98T3)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为　　．

[解析]　||2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，

∴||＝，∴EF的长的．

题组三　考题再现

4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝(　D　)

A．－1  B．

C．  D．

[解析]　由题意，得ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝．

5．(2019·晋江模拟)设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为　(，，)　．

[解析]　如图所示，取BC的中点E，连接AE．

则＝＝(＋)＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝(＋＋)，∴x＝y＝z＝．

6．(2020·吉林省吉林市调研)在空间直角坐标系O－xyz中，A(，0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,5)，D(，3,5)，则四面体ABCD的外接球的体积为　36π　　．

[分析]　由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体ABCD外接球的直径．

[解析]　取E(，0,5)，F(，3,0)，G(0,3,5)，O(0,0,0)，则OAFB－CEDG是长方体，其对角线长为l＝＝6，∴四面体ABCD外接球半径为r＝＝3.V＝πr3＝π×33＝36π，故答案为：36π．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　空间向量的线性运算——自主练透

例1　(1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．

①化简－－＝　　．

②用，，，表示，则＝　＋＋　．

(2)在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，．

[解析]　(1)①－－＝－(＋)＝－＝＋＝．

②因为＝＝(＋)．

所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋．

(2)＝＋＝＋

＝＋(－)

＝＋[(＋)－]

＝－＋＋．

＝＋＝－＋＋

＝＋＋．

名师点拨 ☞

(1)用基向量表示指定向量的方法

用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．

(2)向量加法的多边形法则

首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．

提醒：空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算． 

〔变式训练1〕

如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)；

(2)＋．

[解析]　(1)因为P是C1D1的中点，

所以＝＋＋

＝a＋＋

＝a＋c＋＝a＋c＋b．

(2)因为M是AA1的中点，

所以＝＋＝＋

＝－a＋(a＋c＋b)

＝a＋b＋c．

又＝＋＝＋

＝＋＝c＋a，

所以＋＝(a＋b＋c)＋(a＋c)

＝a＋b＋c．

考点二　空间向量共线、共面定理的应用——师生共研

例2　如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．

(1)向量是否与向量，共面？

(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？

[解析]　(1)∵＝k，＝k，

∴＝＋＋

＝k＋＋k

＝k(＋)＋

＝k(＋)＋

＝k＋＝－k

＝－k(＋)

＝(1－k)－k，

∴由共面向量定理知向量与向量，共面．

(2)当k＝0时，点M、A重合，点N、B重合，

MN在平面ABB1A1内，当0<k≤1时，

MN不在平面ABB1A1内，

又由(1)知与、共面，

所以MN∥平面ABB1A1．

名师点拨 ☞

1．证明空间三点P、A、B共线的方法

(1)＝λ(λ∈R)；

(2)对空间任一点O，＝＋t(t∈R)；

(3)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．

2．证明空间四点共面的方法

对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面．

(1)＝x＋y；

(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；

(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；

(4)∥(或∥或∥)．

〔变式训练2〕

已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．

(1)判断，，三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC内．

[解析]　(1)由题知＋＋＝3，

所以－＝(－)＋(－)，

即＝＋＝－－，

所以，，共面．

(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，

所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．

考点三　空间向量的坐标运算——师生共研

例3　(2019·安庆模拟)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝．

(1)若|c|＝3，且c∥，求c；

(2)求a和b的夹角的余弦值；

(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值；

(4)若λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，求λ，μ应满足的关系．

[解析]　(1)∵c∥，

所以c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)．

所以|c|＝＝3|m|＝3．

即m＝±1.所以c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．

(2)因为a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，

所以a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1．

又|a|＝＝，

|b|＝＝，

所以cosa，b＝＝＝－．

所以a和b夹角的余弦值为－．

(3)解法一：因为ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，所以(k－1，k,2)(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0．

所以k＝2或k＝－．

即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－．

解法二：由(2)知|a|＝，|b|＝，a·b＝－1，

所以(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－．

(4)因为a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，

所以λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)．

因为[λ(a＋b)＋μ(a－b)]·(0,0,1)＝2λ－2μ＝0，

即当λ，μ满足关系λ－μ＝0时，可使λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直．

名师点拨 ☞

空间向量的坐标运算与平面向量坐标运算类似，可对比应用．

〔变式训练3〕

(1)与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是(　A　)

A．(，，－)和(－，－，)

B．(，，－)

C．(－，－，)

D．(，，)或(－，－，－)

(2)已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　D　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　(1)与向量a＝(－3，－4,5)共线的向量为±＝±(－3，－4,5)＝(－，－，)或(，，－)．

(2)∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1,1,2)，

∴cosa，b＝＝＝，

又∵a，b∈[0，π]，∴a与b的夹角为，故选D．

例4　(1)(多选题)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是(　ACD　)

A．当＝2时，B1，P，D三点共线

B．当⊥时，⊥

C．当＝3时，D1P∥平面BDC1

D．当＝5时，A1C⊥平面D1AP

(2)(多选题)(2020·广东珠海期末改编)已知球O的半径为2，A，B是球面上的两点，且AB＝2，若点P是球面上任意一点，则·的取值可能是(　ABCD　)

A．－2  B．0

C．2  D．4

[解析]　(1)如图建立空间直角坐标系，A1(1,0,1)，C(0，，0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，B1(1，，1)，D(0,0,0)，

当＝2时，＝(－，，－)，

＝＋＝(，，)，而＝(1，，1)，

∴＝，

∴B1、P、D三点共线，A正确；

＝＋＝＋λ＝(－λ，λ，1－λ)．

当⊥时，·＝5λ－1＝0，∴λ＝，

∴·＝(－，，)·(，，－)＝－≠0，

∴⊥错；

当＝3时，＝(－，，－)，

＝－＝(，，－)，

又＝(1，，0)，＝(0，，1)，

∴＝－，

∴D1P∥平面BDC1，C正确；

当＝5时，＝(－，，－)，

从而＝(－，，)，

又·＝(－1,0,1)·(－1，，－1)＝0，

∴A1C⊥AD1，

·＝(－，，)·(－1，，－1)＝0，

∴A1C⊥AP，

∴A1C⊥平面D1AP，D正确，故选A、C、D．

(2)由球O的半径为2，A，B是球面上的两点，

且AB＝2，可得∠AOB＝，

·＝2×2×(－)＝－2，|＋|＝2，

·＝(－)·(－)＝·－(＋)·＋2＝－2－|＋|·||cos θ＋4＝2－4cos θ∈[－2,6]，故选A、B、C、D．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

向量在立体几何中的简单应用

例5　如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点．

(1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

[解析]　解法一：由题意可知CA、CB、CC′两两垂直，如图建立空间直角坐标系，且设AC＝BC＝AA′＝2a，

则＝(0,2a，a)，＝(－a，a，－2a)，＝(－2a,0,2a)

(1)∵·＝0＋2a2－2a2＝0，

∴⊥，即CE⊥A′D．

(2)记异面直线CE与AC′所成角为θ，

则cos θ＝|cos，|＝＝＝．

解法二：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，

根据题意得|a|＝|b|＝|c|，

且a·b＝b·c＝c·a＝0，

∴＝b＋c，＝－c＋b－a，

∴·＝－c2＋b2＝0，

∴⊥，即CE⊥A′D．

(2)∵＝－a＋c，||＝|a|，＝b＋a，

||＝|a|，

·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2，

∴cos，C＝＝＝，

即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为．

名师点拨 ☞

空间向量数量积的应用中的主要题型

(1)求夹角：设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角．

(2)求长度(距离)：运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．

(3)解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．

注：若几何体中存在两两垂直的三线，可建空间直角坐标系，“坐标化”求解．

〔变式训练4〕

(1)如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.则AC1＝　　；BD1与AC夹角的余弦值为　　．

(2)(2019·沈阳模拟)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　A　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　(1)记＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，a，b＝b，c＝c，a＝60°，

∴a·b＝b·c＝c·a＝．

∴||2＝(a＋b＋c)2

＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)

＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6．

∴||＝，即A1C的长为．

又＝b＋c－a，＝a＋b，

∴||＝，||＝．

∴·＝(b＋c－a)·(a＋b)

＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．

∴cos，＝＝．

∴AC与BD1夹角的余弦值为．

(2)设CA＝CC1＝2CB＝2，

则A(2,0,0)，B(0,0,1)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，

所以＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，

从而cos，＝＝＝．

所以直线BC与直线AB1夹角的余弦值为．