（山东专用）2021版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数学案（含解析）

第三章　三角函数、解三角形第一讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测 知识点一　角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角.(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z.知识点二　弧度制及弧长、扇形面积公式(1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(2)角α的弧度数如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝.(3)角度与弧度的换算①1°＝rad；②1rad＝()°.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝lr＝|α|·r2.知识点三　任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.1．终边相同的角与对称性拓展(1)β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.(2)β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.(3)β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.(4)β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.2．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．题组一　走出误区1．(多选题)下列结论不正确的是(　ABCD　)A．小于90°的角是锐角B．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°C．角a＝kπ＋(k∈Z)是第一象限角D．若sin α＝sin ，则α＝[解析]　根据任意角的概念知ABCD均是错误的．题组二　走进教材2．(必修4P10AT8改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　C　)A．2kπ＋45°(k∈Z)　　　　  B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)  D．kπ＋(k∈Z)[解析]　由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z)．3．(必修4P15T6改编)若角θ满足tanθ>0，sinθ<0，则角θ所在的象限是(　C　)A．第一象限  B．第二象限 C．第三象限  D．第四象限[解析]　由tanθ>0知，θ是一、三象限角，由sinθ<0知，θ是三、四象限角或终边在y轴负半轴上，故θ是第三象限角．4．(必修4P10BT1改编)已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为6π.[解析]　设此扇形的半径为r，由题意得r＝2π，所以r＝6，所以此扇形的面积为×2π×6＝6π.题组三　考题再现5．(2019·浙江，14分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，－)．则sin(α＋π)的值为.[解析]　由角α的终边过点P(－，－)得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝.6. (2018·北京，5分)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α<cos α<sin α，则P所在的圆弧是(　C　)A．  B． C．  D．[解析]　设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得<x<y，所以x<0，y>0，所以P所在的圆弧是，故选C． KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究 考点一　角的基本概念——自主练透例1 (1)已知α1＝－350°，α2＝860°，β＝.将α1用弧度制表示为－，它是第一象限角；将α2用弧度制表示为，它是第二象限角．将β用角度制表示为750°，在－720°～0°之间与它终边相同的角为－330°，－690°.与β终边相同的最小正角是30°.(2)如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　C　)A．{α|－45°≤α<120°}B．{α|120°<α≤315°}C．{α|－45°＋k·360°≤α<120°＋k·360°，k∈Z}D．{α|120°＋k·360°<α≤315°＋k·360°，k∈Z}(3)(多选题)已知角α的终边在第二象限，则的终边在第几象限(　AC　)A．一  B．二 C．三  D．四[分析]　(1)关于角度制与弧度制的互化主要是利用公式1°＝rad,1rad＝()°求解．(2)注意角的旋转方向和实虚线．(3)根据象限角及不等式的性质求解. [解析]　(1)α1＝－350°＝－π＝－＝－2π＋，α2＝860°＝π＝π＝4π＋π.∴α1在第一象限，α2在第二象限．又β＝π＝(π×)°＝750°，∵750°＝720°＋30°，∴与750°终边相同的角为k·360°＋30°(k∈Z)．当k＝－1时，β1＝－330°，当k＝－2时，β2＝－690°，∴在[－720°，0°]内与750°终边相同的角为－330°，－690°.与β终边相同的最小正角为30°.(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α<120°＋k·360°，k∈Z}，故选C．(3)由角α的终边在第二象限，所以＋k·2π<α<π＋k·2π，k∈Z，所以＋·2π<<＋·2π，k∈Z，当k＝2m，m∈Z时，＋m·2π<<＋m·2π，m∈Z，所以终边在第一象限；当k＝2m＋1，m∈Z时，＋m·2π<<＋m·2π，m∈Z，所以终边在第三象限，综上，的终边在第一或三象限．故选A、C．[引申](1)本例题(3)中，若把第二象限改为第三象限，则结果如何？[答案]　的终边在第二或第四象限．(2)在本例题(3)中，条件不变，的终边所在的位置是在第一、二或四象限.(3)在本例(3)中，条件不变，则π－α是第一象限角，2α终边的位置是第三或第四象限或y轴负半轴上. 名师点拨 ☞1．迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识必备的基本功，若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化成2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断，这里要特别注意是π的偶数倍，而不是π的整数倍．2．终边相同角的表达式的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需角．3．确定(k∈N*)的终边位置的方法(1)讨论法：①用终边相同角的形式表示出角α的范围．②写出的范围．③根据k的可能取值讨论确定的终边所在位置．(2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求是第几象限角．①等分：将每个象限分成k等份．②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴．③选答：出现数字m的区域，即为所在的象限．如判断象限问题可采用等分象限法．考点二　扇形的弧长、面积公式的应用——师生共研例2 (1)(2020·广东珠海模拟)已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是(　A　)A．2  B．1 C．  D．3(2)(2020·山东潍坊期中)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为6 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(≈1.73)(　C　)A．16 m2  B．18 m2 C．20 m2  D．25 m2[解析]　(1)设扇形的半径为R，则弧长l＝4－2R，∴扇形面积S＝lR＝R(2－R)＝－R2＋2R＝－(R－1)2＋1，当R＝1时，S最大，此时l＝2，扇形圆心角为2弧度．(2)如图，由题意，得∠AOB＝，OA＝6.在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×6＝3，可得矢＝6－3＝3.由AD＝AO·sin ＝6×＝3，可得弦AB＝2AD＝2×3＝6，所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(6×3＋32)＝9＋4.5≈20(m2)，故选C． 名师点拨 ☞弧长和扇形面积的计算方法(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．但要注意圆心角的单位是弧度．(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．(3)记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S是扇形面积．〔变式训练1〕(1)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　C　)A．2  B．sin 2 C．  D．2sin 1(2)(2020·甘肃会宁一中高三上第二次月考)若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于(　B　)A．5  B．2 C．3  D．4[解析]　(1)∵2Rsin 1＝2，∴R＝，∴l＝|α|R＝.故选C．(2)设扇形所在圆的半径为R.扇形弧长为l，因为扇形的周长与面积的数值相等，所以lR＝2R＋l，所以lR＝4R＋2l，所以l＝，因为l>0，所以R>2.故选B．考点三　三角函数的定义——多维探究角度1　定义的直接应用例3 (1)(2020·北京海淀期中)在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴上．在△AOC中，若cos∠AOC＝－，则点A的横坐标为(　A　)A．－  B． C．－3  D．3(2)若角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，则cosθ的值为－.[分析]　利用三角函数的定义求解．[解析]　(1)设点A的横坐标为x，则由题意知＝－，解得x＝或－，又x<0，∴x＝－，故选A．(2)由题意知r＝，所以sinθ＝＝m，因为m≠0，所以m＝±，所以r＝＝2，所以cosθ＝＝－.角度2　三角函数值符号的应用例4 (1)若sinαtanα<0，且<0，则角α是(　C　)A．第一象限角  B．第二象限角C．第三象限角  D．第四象限角(2)(多选题)下列各选项中正确的是(　BD　)A．sin300°>0  B．cos(－305°)>0C．tan(－π)>0  D．sin10<0[解析]　(1)由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，则α为第二或第三象限角．由<0可知cosα，tanα异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．故选C．(2)300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin300°<0，－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0，而－π＝－8π＋，所以－π是第二象限角，故tan(－)<0，因为3π<10<，所以10是第三象限角，故sin10<0.故选B、D． 名师点拨 ☞定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离|OP|＝r，然后利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离r，再利用三角函数的定义求解，应注意分情况讨论．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sinθ＝(　C　)A．  B． C．±  D．±(2)(角度1)已知角α的终边经过点P(x，－6)，且cosα＝－，则x＝－，＋＝－.(3)(角度2)若cosθ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在象限为(　D　)A．第一象限  B．第二象限C．第三象限  D．第四象限[解析]　(1)当x>0时，在y＝2x上任取一点P(1,2)，r＝，sinθ＝＝，当x<0时，在y＝2x上任取一点P(－1，－2)，r＝，sinθ＝＝－，故选C．(2)cosα＝＝－，解得x＝－，sinα＝＝－，tanα＝＝.∴＋＝－.(3)∵sin2θ＝2sinθcosθ<0且cosθ>0，∴sinθ<0，由sinθ<0知θ为第三、第四象限角或终边在y轴负半轴上，由cosθ>0知θ为第一、第四象限角或终边在x轴正半轴上．故θ为第四象限角，故选D． MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛·素养提升 利用三角函数线解三角不等式例5 (1)不等式sinx≥的解集为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}.(2)不等式cosx≥－的解集为{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}.(3)函数f(x)＝＋lg(2cosx－)的定义域为{x|2kπ－≤x<2kπ＋，k∈Z}.[分析]　(3)依据题意列出不等式组，通过画图作出三角函数线，找到边界角，从而求出各不等式的取值范围，最后求交集即可．[解析]　(1)过点(0，)作平行于x轴的直线，交单位圆于点P1(，)，P2(－，)，则以OP1、OP2为终边的角分别为＋2kπ、＋2kπ(k∈Z)，其正弦值为，终边落在阴影部分的角的正弦值不小于，∴sinx≥的解集为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．(2)过点(－，0)作垂直于x轴的直线与单位圆交于点Q1(－，)，Q2(－，－)，则以OQ1，OQ2为终边的角的余弦值为－，其对应的角分别为2kπ＋、2kπ－(k∈Z)，终边落在阴影部分的角的余弦值大于－.∴cosx≥－的解集为{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}．(3)由得在单位圆中分别画出不等式①②的解集对应的区域，其公共区域为不等式组的解集，∴函数f(x)的定义域为{x|2kπ－≤x<2kπ＋，k∈Z}． 名师点拨 ☞(1)利用单位圆解三角不等式的步骤为：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．(2)由图可知sinα>cosα的解集{α|2kπ＋<α<2kπ＋，k∈Z}，sinα<cosα的解集{α|2kπ－<α<2kπ＋，k∈Z}；|sinα|>|cosα|的解集集{α|kπ＋<α<kπ＋，k∈Z}，|sinα|<|cosα|的解集{x|kπ－<α<kπ＋，k∈Z}．〔变式训练3〕(1)函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为(kπ－，kπ＋)(k∈Z).(2)若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是(　C　)A．sinα<tanα<cosα  B．cosα<sinα<tanαC．sinα<cosα<tanα  D．tanα<sinα<cosα[解析]　(1)∵3－4sin2x>0，∴sin2x<.∴－<sinx<.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x∈(kπ－，kπ＋)(k∈Z)．(2)如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可得，AT>OM>MP，故有sinα<cosα<tanα.故选C．