（山东专用）2021版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第四讲三角函数的图象与性质学案（含解析）

第四讲　三角函数的图象与性质
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　周期函数的定义及周期的概念
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__正周期__.
(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，__2kπ(k∈Z，k≠0)__都是它们的周期，最小正周期是__2π__.
知识点二　正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
{x|x∈R}
{x|x∈R}
{x|x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z}
值域
__{y|－1≤y≤1}__
__{y|－1≤y≤1}__
__R__
单调性
在__[－＋2kπ，＋2kπ]__，k∈Z上递增；
在__[＋2kπ，＋2kπ]__，k∈Z上递减
在__[(2k－1)π，2kπ]__，k∈Z上递
增；在__[2kπ，(2k＋1)π]__，k∈Z上
递减
在(－＋kπ，＋kπ)，
k∈Z上递增
最值
x＝__＋2kπ(k∈Z) __
时，ymax＝1；x＝
__－＋2kπ(k∈Z)__
时，ymin＝－1
x＝__2kπ(k∈Z)__
时，ymax＝1；x＝
__π＋2kπ(k∈Z)__
时，ymin＝－1
无最值
奇偶性
__奇__
__偶__
__奇__
对
称
性
对称
中心
__(kπ，0)，k∈Z__
____
(，0)，k∈Z
对称
轴
__x＝kπ＋，k∈Z__
__x＝kπ，k∈Z__
无对称轴
最小正周期
__2π__
__2π__
__π__

1．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是__(0,0)__、__(，1)__、__(π，0)__、__(，－1)__、__(2π，0)__.
函数y＝cos x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__(0,1)__、__(，0)__、__(π，－1)__、__(，0)__、__(2π，1)__.
2．函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cos x的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z)．
3．对于y＝tan x不能认为在其定义域上为增函数，而是在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)内为增函数．

题组一　走出误区
1．(多选题)下列命题错误的是(　ABC　)
A．y＝sin x在第一象限是增函数
B．正切函数y＝tan x在定义域内是增函数
C．y＝sin |x|是周期为π的函数
D．y＝cos x，x∈(0,4π)不是周期函数
题组二　走进教材
2．(必修4P45T3改编)函数y＝tan 2x的定义域是(　D　)
A．{x|x≠kπ＋，k∈Z}　　 B．{x|x≠＋，k∈Z}
C．{x|x≠kπ＋，k∈Z}　　 D．{x|x≠＋，k∈Z}
[解析]　由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以y＝tan 2x的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
3．(必修4P40T4改编)下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　B　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在[－，]上是增函数，在[－π，－]及[，π]上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在[，π]及[－π，－]上是增函数，在[－，]上是减函数
[解析]　函数y＝4sin x在[－π，－]和[，π]上单调递减，在[－，]上单调递增．故选B．
4．(必修4P38T3改编)函数y＝3－2cos (x＋)的最大值为__5__，此时x＝__＋2kπ(k∈Z)__.
[解析]　函数y＝3－2cos (x＋)的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
题组三　考题再现
5．(2019·全国卷Ⅱ，5分)下列函数中，以为周期且在区间(，)上单调递增的是(　A　)
A．f(x)＝|cos 2x|　　 B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos |x|　　 D．f(x)＝sin |x|
[解析]　A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈(，)时，2x∈(，π)，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈(，)时，2x∈(，π)，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos |x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin |x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x