高中数学人教版新课标A选修4-51.不等式的基本性质精品课后复习题

第一讲  不等式和绝对值不等式

(本卷满分150分，考试时间120分钟)

一、选择题(每小题5分，共60分)

1.下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是

A.a＞b＋1　　　　　　　　    B.a＞b－1

C.a2＞b2          D.a3＞b3

解析　A项：若a＞b＋1，则必有a＞b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a＞b，但不能推出a＞b＋1，故a＞b＋1是a＞b成立的充分而不必要条件；B项：当a＝b＝1时，满足a＞b－1，反之，由a＞b－1不能推出a＞b；C项：当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但a＞b不成立；D项：a＞b是a3＞b3的充要条件，综上所述答案选A.

答案　A

2.若a>b，x>y，则下列不等式不正确的是

A.a＋x>b＋y        B.y－a<x－b

C.|a|x>|a|y         D.(a－b)x>(a－b)y

答案　C

3.不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是

A.[－5，7]        B.[－4，6]

C.(－∞，－5]∪[7，＋∞)     D.(－∞，－4]∪[6，＋∞)

解析　解法一　当x≤－3时，不等式化为5－x－x－3≥10，即x≤－4；

当－3＜x＜5时，不等式化为5－x＋x＋3≥10，

即8≥10，故x∈∅；

当x≥5时，不等式化为x－5＋x＋3≥10，即x≥6.

综上，原不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)，故选D.

解法二　利用绝对值的几何意义，即在数轴上的点x到5和－3的距离之和不小于10，所以x≤－4或x≥6，故选D.

答案　D

4.若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为

A.(0，＋∞)        B.(－1，0)∪(2，＋∞)

C.(2，＋∞)        D.(－1，0)

解析　f′(x)＝2x－2－＝，

则f′(x)＞0，也就是＞0，

得－1＜x＜0或x＞2，又f(x)的定义域为(0，＋∞)，

∴f′(x)＞0的解集为{x|x＞2}，故选C.

答案　C

5.若实数x，y满足＋＝1，则x2＋2y2有

A.最大值3＋2　　　　    B.最小值3＋2

C.最大值6         D.最小值6

解析　由题意知，x2＋2y2＝(x2＋2y2)·＝3＋＋≥3＋2，

当且仅当＝时，等号成立，故选B.

答案　B

6.函数y＝3x＋(x>0)的最小值是

A.6　　　　  B.6　　　  C.9　　　　 D.12

解析　y＝3x＋＝＋＋≥3 ＝9.

答案　C

7.设x>0，则y＝3－3x－的最大值是

A.3           B.3－3

C.3－2          D.－1

解析　y＝3－3x－＝3－≤3－2 ＝3－2.

当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立.

答案　C

8.若a、b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是

A.a2＋b2＞2ab         B.a＋b≥2

C.＋＞         D.＋≥2

解析　对A：当a＝b＝1时满足ab＞0，但a2＋b2＝2ab，所以A错；对B、C：当a＝b＝－1时满足ab＞0，但a＋b＜0，＋＜0，而2＞0，＞0，显然B、C不对；对D：当ab＞0时，由均值定理＋≥2 ＝2，故选D.

答案　D

9.某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，设住第n层楼，上下楼造成的不满意度为n；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n层楼时，环境不满意程度为，则此人应选

A.1楼      B.2楼      C.3楼      D.4楼

解析　设第n层总的不满意度为f(n)，

则f(n)＝n＋≥2＝6，

当且仅当n＝，即n＝3时等号成立.

答案　C

10.已知f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数， f(2)＝0，则不等式xf(x)<0的解集是

A.{x|－2<x<0，或x>2}

B.{x|x<－2，或0<x<2}

C.{x|x<－2，或x>2}

D.{x|－2<x<0，或0<x<2}

解析　画出草图，(图略)

则当0＜x＜2或x＜－2时，f(x)＜0；

当x＞2或－2＜x＜0时，f(x)＞0.

所以x·f(x)＜0⇔或，

即为0＜x＜2或－2＜x＜0.

答案　D

11.若0＜x＜，则x2(1－2x)有

A.最小值        B.最大值

C.最小值        D.最大值

答案　B

12.设0<x<1，a，b都为大于零的常数，若＋≥m恒成立，则m的最大值是

A.(a－b)2         B.(a＋b)2

C.a2b2         D.a2

解析　＋＝[x＋(1－x)]

＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，

当且仅当＝时取等号.

由＋≥m恒成立，可知m≤(a＋b)2.

故m的最大值是(a＋b)2.

答案　B

二、填空题(每小题5分，共20分)

13.不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________.

解析　由题意得|x＋1|≥|x－3|，

∴(x＋1)2≥(x－3)2，即8x≥8，∴x≥1.

答案　[1，＋∞)

14.已知不等式|2x－t|＋t－1＜0的解集为，则t的值为________.

解析　|2x－t|＜1－t，t－1＜2x－t＜1－t，2t－1＜2x＜1，t－＜x＜.∴t＝0.

答案　0

15.设x，y为实数.若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________.

解析　依题意有(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋×2x×y≤1＋·，

得(2x＋y)2≤1，即|2x＋y|≤.

当且仅当2x＝y＝时，2x＋y达到最大值.

答案　

16.下面四个命题：

①若a>b，c>1，则alg c>blg c；

②若a>b，c>0，则alg c>blg c；

③若a>b，则2ca>2cb；

④若a<b<0，c>0，则>.

其中正确命题的个数为________.

解析　①正确，∵c>1，lg c>0，∴alg c>blg c；②不正确，由于当0<c<1时，lg c<0，alg c<blg c；③正确，∵2c>0，∴2ca>2cb；④正确，∵a<b<0，∴0>>，又c>0，∴>.

答案　3

三、解答题(共70分)

17.(10分)设不等式|x－2|<a(a∈N*)的解集为A，且∈A，∉A.

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值.

解析　(1)因为∈A，且∉A，所以<a，且≥a，解得<a≤.

又a∈N*，所以a＝1.

(2)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，

当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.

18.(12分)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；

(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值.

解析　(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.

由此可得x≥3或x≤－1.

故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}.

(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.

此不等式化为不等式组

或

即或

因为a>0，所以不等式组的解集为.

由题设可得－＝－1，则a＝2.故a的值为2.

19.(12分)设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.

(1)求M；

(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.

解析　f(x)＝

当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；

当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.

所以f(x)≤1的解集为M＝.

(2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，

得16≤4，解得－≤x≤.

因此N＝.

故M∩N＝.

当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是

x2f(x)＋x[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝x(1－x)＝－≤.

20.(12分)(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；

(2)若f(x)≤1，求a的取值范围.

解析　(1)当a＝1时，f(x)＝

可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}.

(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.

而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立.

故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.

由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.

所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).

21.(12分)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，求证：

(1)若ab>cd，则＋>＋；

(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件.

证明　(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，

(＋)2＝c＋d＋2，

由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.

因此＋>＋.

(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，

即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.

因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.

由(1)得＋>＋.

②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，

即a＋b＋2>c＋d＋2.

因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.

于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.

因此|a－b|<|c－d|.

综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件.

22.(12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a).

(1)当a＝1时，求不等式f(x)＜0的解集；

(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)＜0，求a的取值范围.

解析　(1)当a＝1时，

f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1).

当x＜1时，f(x)＝－2(x－1)2＜0；

当x≥1时，f(x)≥0.

所以，不等式f(x)＜0的解集为(－∞，1).

(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.

当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)＜0.

所以，a的取值范围是[1，＋∞).