高中数学人教版新课标A选修2-2第一章 导数及其应用1.2导数的计算优秀练习

§1.2.1　几个常用函数的导数 §1.2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

[限时50分钟，满分80分]

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．下列结论不正确的是

A．若y＝3，则y′＝0　 　 　    B．若y＝，则y′＝－

C．若y＝，则y′＝      D．若y＝x，则y′＝1

解析　对于A，常数的导数为零，故A正确；

对于B，y′＝(x)′＝－x＝－，故B错误；

对于C，y′＝(x)′＝x＝，故C正确；

对于D，y′＝x′＝1，故D正确．

答案　B

2．已知曲线f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有

A．1条          B．2条

C．3条          D．不确定

解析　∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1，

切点有两个，即可得切线有两条．

答案　B

3．曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为

A．1           B．2

C．e           D.

解析　由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，

可得k＝y′|＝e0＝1.

答案　A

4．曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程为

A．y＝x－1         B．y＝－x＋1

C．y＝2x－2         D．y＝－2x＋2

解析　由题意，得y′＝3x2－2，

所以切线的斜率k＝f′(1)＝3－2＝1.

由直线的点斜式方程，得切线方程为y＝x－1.

答案　A

5．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为

A．y＝－2x         B．y＝－x

C．y＝2x          D．y＝x

解析　通解　因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1.所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.

优解一　因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.

优解二　易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.

答案　D

6．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为

A．4x－y－3＝0        B．x＋4y－5＝0

C．4x－y＋3＝0        D．x＋4y＋3＝0

解析　y′＝(x4)′＝4x3.

设切点为(x0，y0)，则4x×＝－1，∴x0＝1.∴切点为(1，1)．

∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0，故选A.

答案　A

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．已知f(x)＝x2＋2xf′，则f′＝________．

解析　对f(x)求导，

得f′(x)＝2x＋2f′，

f′＝2×＋2f′，

所以f′＝.

答案　

8．已知f(x)＝ln x，且f′(x0)＝，则x0＝________．

解析　f′(x)＝，所以f′(x0)＝，

又f′(x0)＝，所以＝，

x0＝1.

答案　1

9．若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________．

解析　因为y′＝α·xα－1，所以在点(1，2)处的切线斜率k＝α，

则切线方程为y－2＝α(x－1)．

又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.

答案　2

三、解答题(本大题共3小题，共35分)

10．(10分)已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，且过点(1，1)的抛物线的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．

解析　∵抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，

∴1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0.

又∵经过点(1，1)的抛物线的切线方程为4x－y－3＝0，其斜率为4，f′(x)＝2ax＋b，

∴f′(1)＝4，即2a＋b－4＝0，

故解得

11．(12分)已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．

解析　设两曲线的交点为(x0，y0)，

f′(x)＝，g′(x)＝，x＞0，

由已知得

解得a＝e，x0＝e2.

∴两条曲线的交点坐标为(e2，e)，

切线的斜率为k＝f′(e2)＝，

所以切线方程为y－e＝(x－e2)，

即x－2ey＋e2＝0.

12．(13分)设抛物线y＝x2与直线y＝x＋a(a是常数)有两个不同的交点，记抛物线在两交点处的切线分别为l1，l2，求a值变化时l1与l2交点的轨迹．

解析　将y＝x＋a代入y＝x2整理得x2－x－a＝0，①

为使直线与抛物线有两个不同的交点，

必须Δ＝(－1)2＋4a>0，所以a>－.

设此两交点为(α，α2)，(β，β 2)，α<β，由y＝x2知y′＝2x，

则切线l1，l2的方程为y＝2αx－α2，y＝2βx－β 2.设两切线交点为(x，y)，

则.②

因为α，β是①的解，由根与系数的关系，

可知α＋β＝1，αβ＝－a.

代入②可得x＝，y＝－a<.

从而，所求的轨迹为直线x＝上的y<的部分．