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2020年辽宁省阜新市中考数学试卷 解析版
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2020年辽宁省阜新市中考数学试卷
一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数﹣，﹣1，0，1中，最小的是（ ）
A．﹣ B．﹣1 C．0 D．1
2．（3分）下列立体图形中，左视图与主视图不同的是（ ）
A．正方体 B．圆柱
C．圆锥 D．球
3．（3分）如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．众数是9 B．中位数是8.5
C．平均数是9 D．方差是7
4．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（ ）
A．57° B．52° C．38° D．26°
5．（3分）掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（3分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）若A（2，4）与B（﹣2，a）都是反比例函数y＝（k≠0）图象上的点，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
8．（3分）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝30
B．﹣＝30
C．﹣＝30
D．﹣＝30
9．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi∁iDiEi，则正六边形OAiBi∁iDiEi（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（ ）
A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：（）﹣1+（π﹣）0＝ ．
12．（3分）如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为 ．
13．（3分）如图，把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，图中所示的三角形的面积S1与四边形的面积S2之比为4：5，若AB＝4，则此三角形移动的距离AA1是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2．将△ABC绕点B逆时针旋转60°，得到△A1BC1，则AC边的中点D与其对应点D1的距离是 ．
15．（3分）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝20°，两树间的坡面距离AB＝5m，则这两棵树的水平距离约为 m（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）．
16．（3分）甲、乙两人沿笔直公路匀速由A地到B地，甲先出发30分钟，到达B地后原路原速返回与乙在C地相遇．甲的速度比乙的速度快35km/h，甲、乙两人与A地的距离y（km）和乙行驶的时间x（h）之间的函数关系如图所示，则B，C两地的距离为 km（结果精确到1km）．
三、解答题（17、18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，共52分）
17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
18．（8分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A （4，4），B （1，1），C （4，1）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O1顺时针旋转90°得到△A2B2C2，AA2弧是点A所经过的路径，则旋转中心O1的坐标为 ；
（3）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
19．（8分）在“尚科学，爱运动”主题活动中，某校在七年级学生中随机抽取部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并将测试成绩x（单位：次）进行整理后分成六个等级，分别用A，B，C，D，E，F表示，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图表．请根据图表中所给出的信息解答下列问题：
组别
成绩x（单位：次）
人数
A
70≤x＜90
4
B
90≤x＜110
15
C
110≤x＜130
18
D
130≤x＜150
12
E
150≤x＜170
m
F
170≤x＜190
5
（1）本次测试随机抽取的人数是 人，m＝ ；
（2）求C等级所在扇形的圆心角的度数；
（3）若该校七年级学生共有300人，且规定不低于130次的成绩为优秀，请你估计该校七年级学生中有多少人能够达到优秀．
20．（8分）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．
（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？
21．（10分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．
（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；
（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．
22．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年辽宁省阜新市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数﹣，﹣1，0，1中，最小的是（ ）
A．﹣ B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据实数的大小比较方法，找出最小的数即可．
【解答】解：∵﹣＜﹣1＜0＜1，
∴最小的数是﹣，
故选：A．
2．（3分）下列立体图形中，左视图与主视图不同的是（ ）
A．正方体 B．圆柱
C．圆锥 D．球
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，进而分别判断得出答案．
【解答】解：A．左视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；
B．左视图是圆，主视图都是矩形，故选项B符合题意；
C．左视图与主视图都是三角形；故选项C不合题意；
D．左视图与主视图都是圆，故选项D不合题意；
故选：B．
3．（3分）如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．众数是9 B．中位数是8.5
C．平均数是9 D．方差是7
【分析】由折线图得到一周内每天跑步圈数的数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．
【解答】解：A．数据10出现的次数最多，即众数是10，故本选项错误；
B．排序后的数据中，最中间的数据为9，即中位数为9，故本选项错误；
C．平均数为：（7+8+9+9+10+10+10）＝9，故本选项正确；
D．方差为[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2]＝，故本选项错误；
故选：C．
4．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（ ）
A．57° B．52° C．38° D．26°
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由∠ABC＝38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．
【解答】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝38°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝52°，
∴∠BDC＝∠BAC＝52°．
故选：B．
5．（3分）掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．
【解答】解：∵掷质地均匀硬币的试验，每次正面向上和向下的概率相同，
∴再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是．
故选：D．
6．（3分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式1﹣x≥0，得：x≤1，
解不等式2x﹣1＞﹣5，得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
故选：D．
7．（3分）若A（2，4）与B（﹣2，a）都是反比例函数y＝（k≠0）图象上的点，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【分析】反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k，据此可得a的值．
【解答】解：∵A（2，4）与B（﹣2，a）都是反比例函数y＝（k≠0）图象上的点，
∴k＝2×4＝﹣2a，
∴a＝﹣4，
故选：B．
8．（3分）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝30
B．﹣＝30
C．﹣＝30
D．﹣＝30
【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设实际每天铺xm管道，
根据题意，得﹣＝30，
故选：C．
9．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
【分析】先利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+5，可根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程﹣x2+2x+4＝0可对D进行判断．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，
解方程﹣x2+2x+4＝0，解得x1＝1+，x2＝1﹣，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi∁iDiEi，则正六边形OAiBi∁iDiEi（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（ ）
A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
【分析】由题意旋转8次应该循环，因为2020÷8＝252…4，所以∁i的坐标与C4的坐标相同．
【解答】解：由题意旋转8次应该循环，
∵2020÷8＝252…4，
∴∁i的坐标与C4的坐标相同，
∵C（﹣1，），点C与C4关于原点对称，
∴C4（1，﹣），
∴顶点∁i的坐标是（1，﹣），
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：（）﹣1+（π﹣）0＝ 4 ．
【分析】首先计算乘方，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（）﹣1+（π﹣）0
＝3+1
＝4．
故答案为：4．
12．（3分）如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为 102° ．
【分析】由等边三角形的性质得∠BAC＝60°，由平角定义求出∠CAD＝78°，再由平行线的性质得出∠2+∠CAD＝180°，即可得出答案．
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠1＝42°，
∴∠CAD＝180°﹣60°﹣42°＝78°，
∵a∥b，
∴∠2+∠CAD＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠CAD＝102°；
故答案为：102°．
13．（3分）如图，把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，图中所示的三角形的面积S1与四边形的面积S2之比为4：5，若AB＝4，则此三角形移动的距离AA1是 ．
【分析】根据题意可以推出△ABC∽△A1BD，结合它们的面积比，即可推出对应边的比，即可推出AA′的长度．
【解答】解：∵把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，
∴AC∥A1C1，
∴△ABC∽△A1BD，
∵S△A1BD：S四边形ACDA1＝4：5，
∴S：S△ABC＝4：9，
∴A1B：AB＝2：3，
∵AB＝4，
∴A1B＝，
∴AA1＝4﹣＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2．将△ABC绕点B逆时针旋转60°，得到△A1BC1，则AC边的中点D与其对应点D1的距离是 ．
【分析】连接BD、BD1，如图，利用等腰三角形斜边上的中线性质得到BD＝AC＝，再利用旋转的性质得BD1＝BD，∠DBD1＝60°，则可判断△BDD1为等边三角形，从而得到DD1＝BD＝．
【解答】解：连接BD、BD1，如图，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝2，
∵D点为AC的中点，
∴BD＝AC＝，
∵△ABC绕点B逆时针旋转60°，得到△A1BC1，
∴BD1＝BD，∠DBD1＝60°，
∴△BDD1为等边三角形，
∴DD1＝BD＝．
故答案为．
15．（3分）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝20°，两树间的坡面距离AB＝5m，则这两棵树的水平距离约为 4.7 m（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）．
【分析】根据余弦的定义求出AH，得到答案．
【解答】解：过点A作水平面的平行线AH，作BH⊥AH于H，
由题意得，∠BAH＝α＝20°，
在Rt△BAH中，cos∠BAH＝，
∴AH＝AB•cos∠BAH≈5×≈4.7（m），
故答案为：4.7．
16．（3分）甲、乙两人沿笔直公路匀速由A地到B地，甲先出发30分钟，到达B地后原路原速返回与乙在C地相遇．甲的速度比乙的速度快35km/h，甲、乙两人与A地的距离y（km）和乙行驶的时间x（h）之间的函数关系如图所示，则B，C两地的距离为 73 km（结果精确到1km）．
【分析】根据题意结合图象可得甲行驶的速度以及A、B两地之间的距离，进而得出乙行驶的速度，然后求出两人相遇的时间，即可求出B，C两地的距离．
【解答】解：由题意可知，甲行驶的速度为：（km/h），A、B两地之间的距离为：25+50×2＝125（km），
乙的速度为：50﹣35＝15（km/h），
2+（125﹣15×2）÷（50+15）＝，
即乙出发小时后与甲相遇，
所以B，C两地的距离为：（km）．
故答案为：73．
三、解答题（17、18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，共52分）
17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝，然后把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝＝1﹣．
18．（8分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A （4，4），B （1，1），C （4，1）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O1顺时针旋转90°得到△A2B2C2，AA2弧是点A所经过的路径，则旋转中心O1的坐标为 （2，0） ；
（3）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）作对应点A、A2，B、B2的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心；
（3）利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）旋转中心O1的坐标为 （2，0），
故答案为（2，0）；
（3）设旋转半径为r，则r2＝22+42＝20，
∴阴影部分的图形面积为：＝5π﹣．
19．（8分）在“尚科学，爱运动”主题活动中，某校在七年级学生中随机抽取部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并将测试成绩x（单位：次）进行整理后分成六个等级，分别用A，B，C，D，E，F表示，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图表．请根据图表中所给出的信息解答下列问题：
组别
成绩x（单位：次）
人数
A
70≤x＜90
4
B
90≤x＜110
15
C
110≤x＜130
18
D
130≤x＜150
12
E
150≤x＜170
m
F
170≤x＜190
5
（1）本次测试随机抽取的人数是 60 人，m＝ 6 ；
（2）求C等级所在扇形的圆心角的度数；
（3）若该校七年级学生共有300人，且规定不低于130次的成绩为优秀，请你估计该校七年级学生中有多少人能够达到优秀．
【分析】（1）根据B等级的人数以及百分比，即可解决问题；
（2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可，根据D等级人数画出直方图即可；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）15÷25%＝60（人），
m＝60﹣4﹣15﹣18﹣12﹣5＝6（人）；
答：本次测试随机抽取的人数是60人；
（2）C等级所在扇形的圆心角的度数＝360°×＝108°，
（3）该校七年级学生能够达到优秀的人数为
300×＝115（人）．
20．（8分）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．
（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶；
（2）设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精2m瓶，根据“购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元”列出不等式．
【解答】（1）解：设购买酒精x瓶，消毒液y瓶，
根据题意列方程组，得
．
解得，．
答：每次购买的酒精和消毒液分别是20瓶，30瓶；
（2）解：设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精2m瓶，
根据题意，得 10×（1﹣30%）•2m+5（1﹣20%）•m≤200，
解得：m≤＝11．
∵m为正整数，
∴m＝11．
所以，最多能购买消毒液11瓶．
21．（10分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．
（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；
（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．
【分析】（1）证明△BCG≌△DCE（SAS）可得结论．
（2）①如图2中，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．证明△BCK≌△DCH（SAS），推出CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，推出△KCH是等腰直角三角形，即可解决问题．
②分两种情形：如图3﹣1中，当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．如图3﹣2中，当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD，分别求解即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
证明：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，
∵∠CDE+∠DEC＝90°，
∴∠HBE+∠BEH＝90°，
∴∠BHE＝90°，
∴BG⊥DE．
（2）①如图2中，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．
由（1）可知，∠CBK＝∠CDH，
∵BK＝DH，BC＝DC，
∴△BCK≌△DCH（SAS），
∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，
∴∠KCH＝∠BCD＝90°，
∴△KCH是等腰直角三角形，
∴HK＝CH，
∴BH﹣DH＝BH﹣BK＝KH＝CH．
②如图3﹣1中，当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．
由（1）可知，BH＝DE，且CE＝CH＝1，EHCH，
∵BC＝3，
∴BD＝BC＝3，
设DH＝x，则BH＝DE＝x+，
在Rt△BDH中，∵BH2+DH2＝BD2，
∴（x+）2+x2＝（3）2，
解得x＝或（舍弃）．
如图3﹣2中，当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．
设DH＝x，
∵BG＝DH，
∴BH＝DH﹣HG＝x﹣，
在Rt△BDH中，∵BH2+DH2＝BD2，
∴（x﹣）2+x2＝（3）2，
解得x＝或（舍弃），
综上所述，满足条件的DH的值为或．
22．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，构建方程组解决问题即可．
（2）①构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
②分三种情形：如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．如图2﹣2中，当NC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，分别求解即可．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b．得，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．
∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴此函数有最大值．又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，
∴当m＝﹣时，MN有最大值．
②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．
∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，
∴﹣m2﹣3m＝﹣m，
解得m＝﹣3+或0（舍弃）
∴MN＝3﹣2，
∴CQ＝MN＝3﹣2，
∴OQ＝3+1，
∴Q（0，﹣3﹣1）．
如图2﹣2中，当NC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．
如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，
则有；m2+3m＝﹣m，
解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），
∴MN＝CQ＝3+2，
∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，
∴Q（0，3﹣1）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．
一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数﹣，﹣1，0，1中，最小的是（ ）
A．﹣ B．﹣1 C．0 D．1
2．（3分）下列立体图形中，左视图与主视图不同的是（ ）
A．正方体 B．圆柱
C．圆锥 D．球
3．（3分）如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．众数是9 B．中位数是8.5
C．平均数是9 D．方差是7
4．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（ ）
A．57° B．52° C．38° D．26°
5．（3分）掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（3分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）若A（2，4）与B（﹣2，a）都是反比例函数y＝（k≠0）图象上的点，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
8．（3分）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝30
B．﹣＝30
C．﹣＝30
D．﹣＝30
9．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi∁iDiEi，则正六边形OAiBi∁iDiEi（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（ ）
A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：（）﹣1+（π﹣）0＝ ．
12．（3分）如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为 ．
13．（3分）如图，把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，图中所示的三角形的面积S1与四边形的面积S2之比为4：5，若AB＝4，则此三角形移动的距离AA1是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2．将△ABC绕点B逆时针旋转60°，得到△A1BC1，则AC边的中点D与其对应点D1的距离是 ．
15．（3分）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝20°，两树间的坡面距离AB＝5m，则这两棵树的水平距离约为 m（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）．
16．（3分）甲、乙两人沿笔直公路匀速由A地到B地，甲先出发30分钟，到达B地后原路原速返回与乙在C地相遇．甲的速度比乙的速度快35km/h，甲、乙两人与A地的距离y（km）和乙行驶的时间x（h）之间的函数关系如图所示，则B，C两地的距离为 km（结果精确到1km）．
三、解答题（17、18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，共52分）
17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
18．（8分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A （4，4），B （1，1），C （4，1）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O1顺时针旋转90°得到△A2B2C2，AA2弧是点A所经过的路径，则旋转中心O1的坐标为 ；
（3）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
19．（8分）在“尚科学，爱运动”主题活动中，某校在七年级学生中随机抽取部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并将测试成绩x（单位：次）进行整理后分成六个等级，分别用A，B，C，D，E，F表示，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图表．请根据图表中所给出的信息解答下列问题：
组别
成绩x（单位：次）
人数
A
70≤x＜90
4
B
90≤x＜110
15
C
110≤x＜130
18
D
130≤x＜150
12
E
150≤x＜170
m
F
170≤x＜190
5
（1）本次测试随机抽取的人数是 人，m＝ ；
（2）求C等级所在扇形的圆心角的度数；
（3）若该校七年级学生共有300人，且规定不低于130次的成绩为优秀，请你估计该校七年级学生中有多少人能够达到优秀．
20．（8分）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．
（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？
21．（10分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．
（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；
（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．
22．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年辽宁省阜新市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数﹣，﹣1，0，1中，最小的是（ ）
A．﹣ B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据实数的大小比较方法，找出最小的数即可．
【解答】解：∵﹣＜﹣1＜0＜1，
∴最小的数是﹣，
故选：A．
2．（3分）下列立体图形中，左视图与主视图不同的是（ ）
A．正方体 B．圆柱
C．圆锥 D．球
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，进而分别判断得出答案．
【解答】解：A．左视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；
B．左视图是圆，主视图都是矩形，故选项B符合题意；
C．左视图与主视图都是三角形；故选项C不合题意；
D．左视图与主视图都是圆，故选项D不合题意；
故选：B．
3．（3分）如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．众数是9 B．中位数是8.5
C．平均数是9 D．方差是7
【分析】由折线图得到一周内每天跑步圈数的数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．
【解答】解：A．数据10出现的次数最多，即众数是10，故本选项错误；
B．排序后的数据中，最中间的数据为9，即中位数为9，故本选项错误；
C．平均数为：（7+8+9+9+10+10+10）＝9，故本选项正确；
D．方差为[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2]＝，故本选项错误；
故选：C．
4．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（ ）
A．57° B．52° C．38° D．26°
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由∠ABC＝38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．
【解答】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝38°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝52°，
∴∠BDC＝∠BAC＝52°．
故选：B．
5．（3分）掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．
【解答】解：∵掷质地均匀硬币的试验，每次正面向上和向下的概率相同，
∴再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是．
故选：D．
6．（3分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式1﹣x≥0，得：x≤1，
解不等式2x﹣1＞﹣5，得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
故选：D．
7．（3分）若A（2，4）与B（﹣2，a）都是反比例函数y＝（k≠0）图象上的点，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【分析】反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k，据此可得a的值．
【解答】解：∵A（2，4）与B（﹣2，a）都是反比例函数y＝（k≠0）图象上的点，
∴k＝2×4＝﹣2a，
∴a＝﹣4，
故选：B．
8．（3分）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝30
B．﹣＝30
C．﹣＝30
D．﹣＝30
【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设实际每天铺xm管道，
根据题意，得﹣＝30，
故选：C．
9．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
【分析】先利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+5，可根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程﹣x2+2x+4＝0可对D进行判断．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，
解方程﹣x2+2x+4＝0，解得x1＝1+，x2＝1﹣，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi∁iDiEi，则正六边形OAiBi∁iDiEi（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（ ）
A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
【分析】由题意旋转8次应该循环，因为2020÷8＝252…4，所以∁i的坐标与C4的坐标相同．
【解答】解：由题意旋转8次应该循环，
∵2020÷8＝252…4，
∴∁i的坐标与C4的坐标相同，
∵C（﹣1，），点C与C4关于原点对称，
∴C4（1，﹣），
∴顶点∁i的坐标是（1，﹣），
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：（）﹣1+（π﹣）0＝ 4 ．
【分析】首先计算乘方，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（）﹣1+（π﹣）0
＝3+1
＝4．
故答案为：4．
12．（3分）如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为 102° ．
【分析】由等边三角形的性质得∠BAC＝60°，由平角定义求出∠CAD＝78°，再由平行线的性质得出∠2+∠CAD＝180°，即可得出答案．
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠1＝42°，
∴∠CAD＝180°﹣60°﹣42°＝78°，
∵a∥b，
∴∠2+∠CAD＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠CAD＝102°；
故答案为：102°．
13．（3分）如图，把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，图中所示的三角形的面积S1与四边形的面积S2之比为4：5，若AB＝4，则此三角形移动的距离AA1是 ．
【分析】根据题意可以推出△ABC∽△A1BD，结合它们的面积比，即可推出对应边的比，即可推出AA′的长度．
【解答】解：∵把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，
∴AC∥A1C1，
∴△ABC∽△A1BD，
∵S△A1BD：S四边形ACDA1＝4：5，
∴S：S△ABC＝4：9，
∴A1B：AB＝2：3，
∵AB＝4，
∴A1B＝，
∴AA1＝4﹣＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2．将△ABC绕点B逆时针旋转60°，得到△A1BC1，则AC边的中点D与其对应点D1的距离是 ．
【分析】连接BD、BD1，如图，利用等腰三角形斜边上的中线性质得到BD＝AC＝，再利用旋转的性质得BD1＝BD，∠DBD1＝60°，则可判断△BDD1为等边三角形，从而得到DD1＝BD＝．
【解答】解：连接BD、BD1，如图，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝2，
∵D点为AC的中点，
∴BD＝AC＝，
∵△ABC绕点B逆时针旋转60°，得到△A1BC1，
∴BD1＝BD，∠DBD1＝60°，
∴△BDD1为等边三角形，
∴DD1＝BD＝．
故答案为．
15．（3分）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝20°，两树间的坡面距离AB＝5m，则这两棵树的水平距离约为 4.7 m（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）．
【分析】根据余弦的定义求出AH，得到答案．
【解答】解：过点A作水平面的平行线AH，作BH⊥AH于H，
由题意得，∠BAH＝α＝20°，
在Rt△BAH中，cos∠BAH＝，
∴AH＝AB•cos∠BAH≈5×≈4.7（m），
故答案为：4.7．
16．（3分）甲、乙两人沿笔直公路匀速由A地到B地，甲先出发30分钟，到达B地后原路原速返回与乙在C地相遇．甲的速度比乙的速度快35km/h，甲、乙两人与A地的距离y（km）和乙行驶的时间x（h）之间的函数关系如图所示，则B，C两地的距离为 73 km（结果精确到1km）．
【分析】根据题意结合图象可得甲行驶的速度以及A、B两地之间的距离，进而得出乙行驶的速度，然后求出两人相遇的时间，即可求出B，C两地的距离．
【解答】解：由题意可知，甲行驶的速度为：（km/h），A、B两地之间的距离为：25+50×2＝125（km），
乙的速度为：50﹣35＝15（km/h），
2+（125﹣15×2）÷（50+15）＝，
即乙出发小时后与甲相遇，
所以B，C两地的距离为：（km）．
故答案为：73．
三、解答题（17、18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，共52分）
17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝，然后把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝＝1﹣．
18．（8分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A （4，4），B （1，1），C （4，1）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O1顺时针旋转90°得到△A2B2C2，AA2弧是点A所经过的路径，则旋转中心O1的坐标为 （2，0） ；
（3）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）作对应点A、A2，B、B2的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心；
（3）利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）旋转中心O1的坐标为 （2，0），
故答案为（2，0）；
（3）设旋转半径为r，则r2＝22+42＝20，
∴阴影部分的图形面积为：＝5π﹣．
19．（8分）在“尚科学，爱运动”主题活动中，某校在七年级学生中随机抽取部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并将测试成绩x（单位：次）进行整理后分成六个等级，分别用A，B，C，D，E，F表示，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图表．请根据图表中所给出的信息解答下列问题：
组别
成绩x（单位：次）
人数
A
70≤x＜90
4
B
90≤x＜110
15
C
110≤x＜130
18
D
130≤x＜150
12
E
150≤x＜170
m
F
170≤x＜190
5
（1）本次测试随机抽取的人数是 60 人，m＝ 6 ；
（2）求C等级所在扇形的圆心角的度数；
（3）若该校七年级学生共有300人，且规定不低于130次的成绩为优秀，请你估计该校七年级学生中有多少人能够达到优秀．
【分析】（1）根据B等级的人数以及百分比，即可解决问题；
（2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可，根据D等级人数画出直方图即可；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）15÷25%＝60（人），
m＝60﹣4﹣15﹣18﹣12﹣5＝6（人）；
答：本次测试随机抽取的人数是60人；
（2）C等级所在扇形的圆心角的度数＝360°×＝108°，
（3）该校七年级学生能够达到优秀的人数为
300×＝115（人）．
20．（8分）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．
（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶；
（2）设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精2m瓶，根据“购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元”列出不等式．
【解答】（1）解：设购买酒精x瓶，消毒液y瓶，
根据题意列方程组，得
．
解得，．
答：每次购买的酒精和消毒液分别是20瓶，30瓶；
（2）解：设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精2m瓶，
根据题意，得 10×（1﹣30%）•2m+5（1﹣20%）•m≤200，
解得：m≤＝11．
∵m为正整数，
∴m＝11．
所以，最多能购买消毒液11瓶．
21．（10分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．
（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；
（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．
【分析】（1）证明△BCG≌△DCE（SAS）可得结论．
（2）①如图2中，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．证明△BCK≌△DCH（SAS），推出CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，推出△KCH是等腰直角三角形，即可解决问题．
②分两种情形：如图3﹣1中，当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．如图3﹣2中，当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD，分别求解即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
证明：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，
∵∠CDE+∠DEC＝90°，
∴∠HBE+∠BEH＝90°，
∴∠BHE＝90°，
∴BG⊥DE．
（2）①如图2中，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．
由（1）可知，∠CBK＝∠CDH，
∵BK＝DH，BC＝DC，
∴△BCK≌△DCH（SAS），
∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，
∴∠KCH＝∠BCD＝90°，
∴△KCH是等腰直角三角形，
∴HK＝CH，
∴BH﹣DH＝BH﹣BK＝KH＝CH．
②如图3﹣1中，当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．
由（1）可知，BH＝DE，且CE＝CH＝1，EHCH，
∵BC＝3，
∴BD＝BC＝3，
设DH＝x，则BH＝DE＝x+，
在Rt△BDH中，∵BH2+DH2＝BD2，
∴（x+）2+x2＝（3）2，
解得x＝或（舍弃）．
如图3﹣2中，当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．
设DH＝x，
∵BG＝DH，
∴BH＝DH﹣HG＝x﹣，
在Rt△BDH中，∵BH2+DH2＝BD2，
∴（x﹣）2+x2＝（3）2，
解得x＝或（舍弃），
综上所述，满足条件的DH的值为或．
22．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，构建方程组解决问题即可．
（2）①构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
②分三种情形：如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．如图2﹣2中，当NC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，分别求解即可．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b．得，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．
∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴此函数有最大值．又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，
∴当m＝﹣时，MN有最大值．
②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．
∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，
∴﹣m2﹣3m＝﹣m，
解得m＝﹣3+或0（舍弃）
∴MN＝3﹣2，
∴CQ＝MN＝3﹣2，
∴OQ＝3+1，
∴Q（0，﹣3﹣1）．
如图2﹣2中，当NC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．
如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，
则有；m2+3m＝﹣m，
解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），
∴MN＝CQ＝3+2，
∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，
∴Q（0，3﹣1）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．
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