2019-2020学年北京市首都师大附中七年级（下）期末数学试卷

2019-2020学年北京市首都师大附中七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1．（3分）3的算术平方根是（　　）
A．± B． C．﹣ D．9
2．（3分）点（﹣7，0）在（　　）
A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上
C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．a3÷a＝a3 C．a2•a3＝a5 D．（a2）4＝a6
4．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判定直线a与b平行的是（　　）

A．∠1＝∠3 B．∠3＝∠4 C．∠2＝∠3 D．∠1+∠4＝180°
5．（3分）下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）若a＞b，则（　　）
A．a＞﹣b B．a＜﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．﹣2a＜﹣2b
7．（3分）若是关于x、y的方程组的一个解，则的a+b值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2
8．（3分）一个正数的两个不同的平方根是a+3和2a﹣6，则这个正数是（　　）
A．1 B．4 C．9 D．16
9．（3分）下列命题：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
②内错角相等；③在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；
④相等的角是对顶角．其中，真命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如图两个统计图．

根据图中信息，有下面四个推断：
①这5期的集训共有56天；
②小明5次测试的平均成绩是11.68秒；
③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑；
④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4期出现，建议集训时间定为14天．
所有合理推断的序号是（　　）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（3分）端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是　 　．（填“全面调查”或“抽样调查”）
12．（3分）将3写成两个无理数的和，则这两个无理数为　 　．
13．（3分）因式分解：a3﹣9a＝　 　．
14．（3分）计算：（）0×4﹣2×24＝　 　．
15．（3分）如图所示，小迪将两个完全相同的三角板拼在一起，沿着三角板的斜边，画出线段AB，CD．则我们可以判定AB∥CD的依据是　 　．

16．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，则x＝　 　．
17．（3分）已知点P（2，﹣3）与Q（x，y）在同一条平行y轴的直线上，PQ＝5，则点Q的坐标为　 　．
18．（3分）化简÷（1﹣）的结果为　 　．
19．（3分）若关于x的不等式x≥a的负整数解是﹣1，﹣2，﹣3，则实数a满足的条件是　 　．
20．（3分）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对36进行如下操作：
36[]＝6[]＝2[]＝1，这样对36进行3次操作后就会变为1，类似地，对81只需要进行　 　次上述操作后会变为1；在只需要进行2次操作后就会变为1的所有正整数中，最大的是　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共40分）
21．（4分）计算：|﹣3|+﹣（﹣1）2019+．
22．（4分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
23．（4分）解方程：+1＝．
24．（4分）在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（2，4），BC∥y轴，与x轴相交于点C，BD∥x轴，与y轴相交于点D．
（1）如图，直接写出①C点坐标　 　，②D点坐标　 　；
（2）在图中，平移三角形ABD，使点B的对应点为原点O，点A、D的对应点分别为点A'、D'，请画出图形，并解答下列问题：
①AD与A'D'的关系是：　 　，
②四边形AA'OD的面积为　 　平方单位．

25．（6分）白色污染（Whitepollution）是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓．为了让全校同学感受丢弃塑料袋对环境的影响，小彬随机抽取某小区40户居民，记录了这些家庭2018年某个月丢弃塑料袋的数量（单位：个）
29 39 35 39 39 27 33 35 31 31 32 32 34 31 33 39 38 40 38 42
31 31 38 31 39 27 33 35 40 38 29 39 35 33 39 39 38 42 37 32
请根据上述数据，解答以下问题：
（1）小彬按“组距为5”列出了如下的频数分布表（每组数据含最小值不含最大值），请将表中空缺的部分补充完整，并补全频数直方图；
分组
划记
频数
A：25～30
　 　
　 　
B：30～35
正正
14
C：35～40
　 　
　 　
D：40～45

4
合计
/
40
（2）根据（1）中的直方图可以看出，这40户居民家这个月丢弃塑料袋的个数在　 　组的家庭最多；（填分组序号）
（3）根据频数分布表，小彬又画出了如图所示的扇形统计图．请将统计图中各组占总数的百分比填在图中，并求出C组对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该小区共有1000户居民家庭，请你估计每月丢弃的塑料袋数量不小于30个的家庭个数．

26．（5分）为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好师生测温和教室消毒工作．
（1）若原价购买一瓶消毒剂和一支测温枪需400元，一支测温枪的价格比一瓶消毒剂价格的6倍还贵15元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的原价．
（2）由于采购量大，厂家推出两种优惠套餐．套餐一：一次性购买10支测温枪和110瓶消毒剂，套餐二：一次性购买20支测温枪和100瓶消毒剂．设优惠后每支测温枪a元，每瓶消毒剂b元，已知a＞b＞0，你知道哪个套餐总价更低吗？请通过运算加以说明．
27．（6分）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　 　度；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．

28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：
若b′＝，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，2），点（﹣2，﹣5）的限变点的坐标是（﹣2，5），点（1，3）的限变点的坐标是（1，3）．
（1）①点（，﹣1）的限变点的坐标是　 　；
②如图1，在点A（﹣2，1）、B（2，1）中有一个点是直线y＝2上某一个点的限变点，这个点是　 　；（填“A”或“B”）
（2）如图2，已知点C（﹣2，﹣2），点D（2，2），若点P在射线OC和OD上，其限变点Q的纵坐标b的取值范围是b′≥m或b′≤n，其中m＞n，令s＝m﹣n，直接写出s的值．
（3）如图3，若点P在线段EF上，点E（﹣2，﹣5），点F（k，k﹣3），其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣2≤b′≤5，直接写出k的取值范围．

2019-2020学年北京市首都师大附中七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1．（3分）3的算术平方根是（　　）
A．± B． C．﹣ D．9
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：3的算术平方根是，
故选：B．
2．（3分）点（﹣7，0）在（　　）
A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上
C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上
【分析】根据x轴上点的纵坐标都为0，可知点（﹣7，0）在x轴上，由横坐标为负，可知点在x轴负半轴上．
【解答】解：∵点（﹣7，0）的纵坐标为0，且横坐标﹣7＜0，
∴此点在x轴的负半轴上，
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．a3÷a＝a3 C．a2•a3＝a5 D．（a2）4＝a6
【分析】根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故A错误；
B、a3÷a＝a2，故B错误；
C、a2•a3＝a5，故C正确；
D、（a2）3＝a8，故D错误．
故选：C．
4．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判定直线a与b平行的是（　　）

A．∠1＝∠3 B．∠3＝∠4 C．∠2＝∠3 D．∠1+∠4＝180°
【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行判断即可．
【解答】解：由∠1＝∠3，可得直线a与b平行，故A符合题意；
由∠3＝∠4，不能判定直线a与b平行，故B不合题意；
由∠3＝∠2，不能判定直线a与b平行，故C不合题意；
由∠1+∠4＝180°，不能判定直线a与b平行，故D不合题意；
故选：A．
5．（3分）下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用点到直线的距离的定义分析可知．
【解答】解：利用点到直线的距离的定义可知：线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是A图．
故选：A．
6．（3分）若a＞b，则（　　）
A．a＞﹣b B．a＜﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．﹣2a＜﹣2b
【分析】由于a、b的取值范围不确定，故可考虑利用特例来说明，若能直接利用不等式性质的就用不等式性质．
【解答】解：由于a、b的 取值范围不确定，故可考虑利用特例来说明，
A、例如a＝0，b＝﹣1，a＜﹣b，故A选项错误，
B、例如a＝1，b＝0，a＞﹣b，故B选项错误，
C、利用不等式性质3，同乘以﹣2，不等号改变，则有﹣2a＜﹣2b，故C选项错误，
D、利用不等式性质3，同乘以﹣2，不等号改变，则有﹣2a＜﹣2b，故D选项正确，
故选：D．
7．（3分）若是关于x、y的方程组的一个解，则的a+b值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2
【分析】把x与y的值代入方程组求出a与b的值，进而求出a+b的值即可．
【解答】解：把代入方程组得：，
①+②得：a+b＝﹣1，
故选：B．
8．（3分）一个正数的两个不同的平方根是a+3和2a﹣6，则这个正数是（　　）
A．1 B．4 C．9 D．16
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数可得出a的值，代入后即可得出这个正数．
【解答】解：由题意得a+3+2a﹣6＝0，
解得：a＝1，
则这个正数为：（a+3）2＝16．
故选：D．
9．（3分）下列命题：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
②内错角相等；③在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；
④相等的角是对顶角．其中，真命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用平行线的传递性对①进行判断；根据平行线的性质对②进行判断；根据平行线的判定方法对③进行判断；根据对顶角的定义对④进行判断．
【解答】解：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，所以①为真命题；
两直线平行，内错角相等，所以②为假命题；
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，所以③为真命题；
相等的角不一定为对顶角，所以④为假命题．
故选：B．
10．（3分）小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如图两个统计图．

根据图中信息，有下面四个推断：
①这5期的集训共有56天；
②小明5次测试的平均成绩是11.68秒；
③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑；
④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4期出现，建议集训时间定为14天．
所有合理推断的序号是（　　）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【分析】根据图中的信息可以求得这5期的集训共有多少天和小明5次测试的平均成绩，根据图中的信心和题意，说明自己的观点即可．
【解答】解：①这5期的集训共有：5+7+10+14+20＝56（天），故正确；
②小明5次测试的平均成绩是：（11.83+11.72+11.52+11.58+11.65）÷5＝11.66（秒），故错误；
③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑，故正确；
④从测试成绩看，两人的最好的平均成绩是小明在第三期，小聪在第四期出现，建议集训时间定为10∽14天．故错误；
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（3分）端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是　抽样调查　．（填“全面调查”或“抽样调查”）
【分析】根据全面调查与抽样调查的意义进行解答．
【解答】解：∵市场上的粽子数量较大，
∴适合采用抽样调查．
故答案为：抽样调查．
12．（3分）将3写成两个无理数的和，则这两个无理数为　3+π，﹣π　．
【分析】本题答案不唯一，符合题意即可．
【解答】解：∵3＝3+π﹣π，
∴这两个无理数为3+π，﹣π，
故答案为：3+π，﹣π．
13．（3分）因式分解：a3﹣9a＝　a（a+3）（a﹣3）　．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣9）
＝a（a+3）（a﹣3），
故答案为：a（a+3）（a﹣3）．
14．（3分）计算：（）0×4﹣2×24＝　1　．
【分析】根据负整数幂的意义以及零指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：原式＝1××42
＝1
故答案为：1
15．（3分）如图所示，小迪将两个完全相同的三角板拼在一起，沿着三角板的斜边，画出线段AB，CD．则我们可以判定AB∥CD的依据是　内错角相等，两直线平行　．

【分析】根据内错角相等，两直线平行即可判断．
【解答】解：由题意：∠BAD＝∠ADC＝30°，
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行），
故答案为内错角相等两直线平行．
16．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，则x＝　40或80　．
【分析】根据两条直线交叉相交，形成4个角，对顶角相等，在同一条直线的两个角的和是180°解答即可．
【解答】解：两条直线相交所成的四个角中，对顶角相等，邻补角互补，
根据题意可得：（2x﹣10）°＝（110﹣x）°或（2x﹣10）°+（110﹣x）°＝180°，
解得：x＝40或x＝80，
故答案为：40或80
17．（3分）已知点P（2，﹣3）与Q（x，y）在同一条平行y轴的直线上，PQ＝5，则点Q的坐标为　（2，2）或（2，﹣8）　．
【分析】根据平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同得到x＝2，再利用PQ＝5得到|y﹣（﹣3）|＝5，然后去绝对值求出y的值，从而得到点Q的坐标．
【解答】解：∵点P（2，﹣3）与Q（x，y）在同一条平行y轴的直线上，
∴x＝2，
∵PQ＝5，
∴|y﹣（﹣3）|＝5，解得y＝2或﹣8，
∴点Q的坐标为（2，2）或（2，﹣8）．
故答案为（2，2）或（2，﹣8）．
18．（3分）化简÷（1﹣）的结果为　　．
【分析】先将被除式分子、分母因式分解，计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝•
＝，
故答案为：．
19．（3分）若关于x的不等式x≥a的负整数解是﹣1，﹣2，﹣3，则实数a满足的条件是　﹣4＜a≤﹣3　．
【分析】根据关于x的不等式x≥a的负整数解是﹣1，﹣2，﹣3，即可求出实数a满足的条件．
【解答】解：∵关于x的不等式x≥a的负整数解是﹣1，﹣2，﹣3，
∴实数a满足的条件是﹣4＜a≤﹣3．
故答案为﹣4＜a≤﹣3．
20．（3分）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对36进行如下操作：
36[]＝6[]＝2[]＝1，这样对36进行3次操作后就会变为1，类似地，对81只需要进行　3　次上述操作后会变为1；在只需要进行2次操作后就会变为1的所有正整数中，最大的是　15　．
【分析】根据规律依次求出即可；
要想确定只需进行2次操作后变为1的所有正整数，关键是确定一次操作后数的大小不能大于等于4，二次操作时根号内的数必须小于16，而正整数15却好满足这一条件，即最大的正整数为15．
【解答】解：81[]＝9[]＝3[]＝1，
故对81只需要进行3次上述操作后会变为1；
②最大的是15，
[]＝3，[]＝1，而[]＝4，[]＝2，[]＝1，
即在只需要进行2次操作后就会变为1的所有正整数中，最大的是15．
故答案为：3；15．
三、解答题（本大题共8小题，共40分）
21．（4分）计算：|﹣3|+﹣（﹣1）2019+．
【分析】先去绝对值符号、计算算术平方根、乘方和立方根，再计算加减可得．
【解答】解：原式＝3﹣+3+1﹣3
＝4﹣．
22．（4分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
解①式，得x≥﹣1，
解②式，得＜2，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，
将解集表示在数轴上为：．
23．（4分）解方程：+1＝．
【分析】直接找出公分母进而去分母解方程即可．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）得：
x﹣3+x﹣2＝﹣3
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2≠0，故x＝1是此方程的解．
24．（4分）在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（2，4），BC∥y轴，与x轴相交于点C，BD∥x轴，与y轴相交于点D．
（1）如图，直接写出①C点坐标　（2，0）　，②D点坐标　（0，4）　；
（2）在图中，平移三角形ABD，使点B的对应点为原点O，点A、D的对应点分别为点A'、D'，请画出图形，并解答下列问题：
①AD与A'D'的关系是：　平行且相等　，
②四边形AA'OD的面积为　16　平方单位．

【分析】（1）直接利用平面直角坐标系得出各点坐标即可；
（2）①利用平移的性质得出AD与A'D'的关系；
②分割平行四边形利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：（1）①C点坐标为：（2，0）；
②D点坐标为：（0，4）；
故答案为：（2，0），（0，4）；

（2）如图所示：△A′D′O即为所求；
①AD与A'D'的关系是：平行且相等；
②四边形AA'OD的面积为：×4×4+×4×4＝16．
故答案为：平行且相等；16．

25．（6分）白色污染（Whitepollution）是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓．为了让全校同学感受丢弃塑料袋对环境的影响，小彬随机抽取某小区40户居民，记录了这些家庭2018年某个月丢弃塑料袋的数量（单位：个）
29 39 35 39 39 27 33 35 31 31 32 32 34 31 33 39 38 40 38 42
31 31 38 31 39 27 33 35 40 38 29 39 35 33 39 39 38 42 37 32
请根据上述数据，解答以下问题：
（1）小彬按“组距为5”列出了如下的频数分布表（每组数据含最小值不含最大值），请将表中空缺的部分补充完整，并补全频数直方图；
分组
划记
频数
A：25～30
　　
　4　
B：30～35
正正
14
C：35～40
　正正正　
　18　
D：40～45

4
合计
/
40
（2）根据（1）中的直方图可以看出，这40户居民家这个月丢弃塑料袋的个数在　C　组的家庭最多；（填分组序号）
（3）根据频数分布表，小彬又画出了如图所示的扇形统计图．请将统计图中各组占总数的百分比填在图中，并求出C组对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该小区共有1000户居民家庭，请你估计每月丢弃的塑料袋数量不小于30个的家庭个数．

【分析】（1）根据题干中数据可得，由频数分布表中数据可补全直方图；
（2）根据（1）中的直方图即可得到结论；
（3）根据题意列式计算即可得到答案；
（4）根据题意列式计算即可得到结论．
【解答】解：（1）补全频数分布直方图如图所示：
分组
划记
频数
A：25～30

4
B：30～35
正正
14
C：35～40
正正正
18
D：40～45

4
合计
/
40



（2）根据（1）中的直方图可以看出，这40户居民家这个月丢弃塑料袋的个数在C组的家庭最多，
故答案为：C；
（3）如图，360°×45%＝162°，
答：C组对应的扇形圆心角的度数为162°；
（4）×100%＝90%，
1000×90%＝900（个）
答：丢弃的塑料袋数量不小于30个的家庭个数为900个．

26．（5分）为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好师生测温和教室消毒工作．
（1）若原价购买一瓶消毒剂和一支测温枪需400元，一支测温枪的价格比一瓶消毒剂价格的6倍还贵15元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的原价．
（2）由于采购量大，厂家推出两种优惠套餐．套餐一：一次性购买10支测温枪和110瓶消毒剂，套餐二：一次性购买20支测温枪和100瓶消毒剂．设优惠后每支测温枪a元，每瓶消毒剂b元，已知a＞b＞0，你知道哪个套餐总价更低吗？请通过运算加以说明．
【分析】（1）设每瓶消毒剂的原价为x元，每支测温枪的原价为y元，根据“原价购买一瓶消毒剂和一支测温枪需400元，一支测温枪的价格比一瓶消毒剂价格的6倍还贵15元”，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×数量，可分别用含a，b的代数式表示出A，B两优惠套餐的总价，做差后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每瓶消毒剂的原价为x元，每支测温枪的原价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每瓶消毒剂的原价为55元，每支测温枪的原价为345元．
（2）套餐A的总价为（10a+110b）元；
套餐B的总价为（20a+100b）元，
（20a+100b）﹣（10a+110b）＝10a﹣10b＝10（a﹣b），
又∵a＞b＞0，
∴a﹣b＞0，
∴10（a﹣b）＞0，
∴（20a+100b）﹣（10a+110b）＞0，
∴套餐A的总价更低．
27．（6分）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　110　度；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．

【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．

（2）∠APC＝α+β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，

∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α＝∠APE，β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β；

（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA＝α﹣β；

如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝β﹣α．

28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：
若b′＝，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，2），点（﹣2，﹣5）的限变点的坐标是（﹣2，5），点（1，3）的限变点的坐标是（1，3）．
（1）①点（，﹣1）的限变点的坐标是　（，1）　；
②如图1，在点A（﹣2，1）、B（2，1）中有一个点是直线y＝2上某一个点的限变点，这个点是　B　；（填“A”或“B”）
（2）如图2，已知点C（﹣2，﹣2），点D（2，2），若点P在射线OC和OD上，其限变点Q的纵坐标b的取值范围是b′≥m或b′≤n，其中m＞n，令s＝m﹣n，直接写出s的值．
（3）如图3，若点P在线段EF上，点E（﹣2，﹣5），点F（k，k﹣3），其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣2≤b′≤5，直接写出k的取值范围．
【分析】（ 1）①利用限变点的定义直接解答即可；
②先利用逆推原理求出限变点A（﹣2，1）、B（2，1）对应的原来点坐标，然后把原来点坐标代入到y＝2，满足解析式的就是答案；
（2）先OC，OD 的关系式，再求出点P的限变点Q满足的关系式，然后根据图象求出m，n的值，从而求出S即可；
（3）先求出线段的关系式，再求出点P的限变点所满足的关系式，根据图象求解即可．
【解答】（1）①∵a＝＜2，
∴b′＝|b|＝|﹣1|＝1，
∴坐标为（，1）．
故答案为（，1）．
②s＝3．
∵对于限变点来说，横坐标保持不变，
∴限变点A（﹣2，1）对应的原来点的坐标为：（﹣2，1）或（﹣2，﹣1），
限变点B（2，1]对应的原来点的坐标为：（2.2），
∵（2，2）满足y＝2，
∴这个点是B，
故答案为：B；
（ 2）∵点C的坐标为（﹣2，﹣2），
∴OC的关系式为：y＝x（x≤0），
∵点D的坐标为（2，﹣2），
∴OD的关系式为：y＝﹣x（x≥0），
∴点P满足的关系式为：y＝，
当x≥2时：b'＝一x﹣1，
当0＜x＜2时：b'＝﹣x﹣1，
当x≤0时，b＝|x|＝﹣x，
图象如图1所示，
通过图象可以得出：当x≥2时，b'≤﹣3，n＝﹣3，
当x＜2时，b'≥0，
∴m＝0，
∴s＝m﹣n＝0﹣（﹣3）＝3；
（3）设线段E的关系式为：y＝ax+c（a≠0，﹣2≤x≤k，k＞﹣2），
把E（﹣2，﹣5），F（k，k﹣3）代入，
得，
解得，
∴线段EP的关系式为y＝x一3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2），
∴线段E上的点P的限变点Q的纵坐标满足的关系式b'＝
，

图象如图2所示：
当x＝2时，b'取最小值，b'＝2﹣4＝﹣2，
当b'＝5时，
x﹣4＝5或﹣x+3＝5，解得：x＝9或x＝﹣2，
当b'＝1时，
x﹣4＝1，解得：x＝5，
∵﹣2≤b'＜5，
∴由图象可知，k的取值范围时：5≤k≤9．